1、第八章 非线性控制系统分析 一、教学目的与要求：通过对本章内容的讲授，让学生认识到实际系统当中理想的线性系统并不存在，组成系统的各元件，或多或少都存在着不同程度的非线性，研究分析非线性系统的方法十分必要，也很重要。通过学习分析非线性系统的相平面法和描述函数法，掌握分析非线性系统的基本要领，要求学生能对一些常见非线性特性求描述函数，用描述函数方法分析非线性系统的稳定性问题，极限环的存在与消除；熟练掌握二阶线性系统的相轨迹的各种形状，掌握非线性系统的相平面分析方法。二、授课主要内容： 1 非线性控制系统概述1）非线性控制系统的特点2）非线性控制系统的分析方法2 常见非线性特性及其对系统运动的影响1
2、相平面法1）相平面的基本概念2）相轨迹绘制的等倾线法1）线性系统的相平面分析2）非线性系统的相平面分析2描述函数法1）描述函数的基本概念2）典型非线性特性的描述函数3）非线性系统稳定性分析的描述函数法（详细内容见讲稿）三、重点、难点及对学生的要求（掌握、熟悉、了解、自学）1. 掌握什么是非线性系统、非线性系统的特点、一阶线性近似化方法。2. 理解描述函数的概念及计算方法，掌握非线性系统的描述函数分析法。3. 掌握相轨迹的绘制方法、线性二阶系统相轨迹及奇点分析以及非线性系统的相平面分析方法。4. 理解李亚普诺夫各类稳定性的定义及判定方法。四、主要外语词汇非线性控制系统 nonlinear con
3、trol system相平面法 phase-plane method描述函数法 description function method逆系统法 inverse system method等效增益 equivalent gain继电特性 relay characteristic死区特性 dead band characteristic饱和特性 saturation characteristic间隙特性 clearance characteristic根轨迹 root locus相轨迹 phase locus奇点 odd nod奇线 odd line伪线性系统 fake linear system
4、五、辅助教学情况（见课件）六、复习思考题1 什么是非线性系统？它有什么特点？2 常见的非线性特性有哪些？3 非线性系统的分析设计方法有哪些？4 描述函数分析法的实质是什么？试述描述函数的概念及其求取方法。5 如何利用描述函数法来分析具有非线性环节的控制系统的稳定性和极限环振荡问题？6 试述相平面分析法的实质，为什么它是分析二阶系统的有效方法？7 试绘制二阶线性系统的相轨迹的大致形状，并从中找出相轨迹的一些规律是什么？8 相轨迹的绘制方法有哪些？9 如何获得 e 和 e 的信号 ?怎样可获得 e-e 平面上的相轨迹?10 试比较非线性系统中的极限环和线性系统中的无阻尼等幅振荡的异同。11 消除极
5、限环有哪些方法? 七、参考教材（资料）1 现代控制工程 绪方胜彦著（卢伯英 佟明安 罗维铭 译） 科学出版社参考该书第八章有关内容。2 自动控制原理 天津大学 李光泉 主编 机械工业出版社参考该书第八章有关内容。八、讲稿第八章 非线性系统理论8.1.非线性系统特点非线性系统与线性控制系统相比，具有一系列新的特点线性系统满足叠加原理，而非线性控制系统不满足叠加原理。图 81 带滤波器的非线性系统 2.非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件以及外加输入有关系。例：对于一由非线性微分方程X=-x(1x) (8-1)描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即 x1=0
6、和 x2=1。将上式改写为3.非线性系统可能存在自激振荡现象 4.非线性系统在正弦信号作用下，其输出存在极其复杂的情况：（1） 跳跃谐振和多值响应如图 83 所示的非线性弹簧输出的幅频特性。 图 83 跳跃谐振与多值响应(2)分频振荡和倍频振荡非线性系统在正弦信号作用下，其稳态分量除产生同频率振荡外，还可能产生倍频振荡和分频振荡。如图 84 所示波形。8.1.2 研究非线性系统的意义与方法 1.研究非线性系统的意义1）实际的控制系统，存在着大量的非线性因素。这些非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制效果不一致。线性系统理论无法解释非线性因素所产生的影响
7、。2）非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良影响。2.研究非线性系统的方法1）相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分析非线性系统特性的方法。2）描述函数法是受线性系统频率法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。3）计算机求解法是利用计算机运算能力和高速度对非线性微分方程的一种数值解法。8.2典型非线性特性的数学描述及其对系统性能的影响 8.2.1 饱和特性在电子放大器中常见的一种非线性，如图 85 所示，饱和装置的输入特性的数学描述如下：8.2.2 死区特性死区特性也称为不灵敏区
8、，如图 8-6 所示。其数学描述如下：8.2.3 间隙如图 8-7 所示，它的数学描述如下：8.2.4 继电特性 在使用继电特性时，有四种可供选择的形态，如图 88 所示具死区的继电特性具磁滞回环的继电特性具磁滞回环和死区的继电特性 8.3 描述函数法 8.3.1 描述函数的概念描述函数适用于具有以下特点的非线性系统。1.系统线性部分和非线性环节可以分离。如图 89 所示，图中 NL 为非线性环节，G 为线性部分的传递函数。 2.非线性特性具奇对称特性，且输入输出关系为静特性。3.线性部分应具良好的低通滤波特性。若满足以上条件，描述函数可定义为非线性环节输出基波分量与输入正弦量的复数比。假定，
9、给非线性环节的输入为正弦量 (8-9)一般情况下，其输出为周期函数，可展开成傅立叶级数式中，由于非线性为奇对称特性，所以 A00。而(8-10) 由式（814）可知，描述函数是输入振幅 A 的函数，是一个可变增益的放大系数ttesin)(10co2)(nBAtx0)(s)(tdtxn 20)(sin)(1tdtxn8.3.2 典型非线性的描述函数2.死区特性 具死区和磁滞回环继电特性的描述函数 N（A ）为当 a0 时，可求如图 814 所示继电特性的描述函数为当 m1，a0 时，可求如图815 所示具死区的继电特性的描述函数为当 m1 时，可求得如图 816 所示具滞环的继电特性的描述函数为
10、8.3.3 多重非线性的描述函数 1.串联非线性如图 817 所示串联非线性。串联非线性特性的描述函数绝不等于两个非线性描述函数的乘积。假定图 817 中 NL1 为死区非线性， NL2 为饱和非线性，它们串联后复合非线性如图818 所示N(A)=N1(A)+N2(A)8.3.4 用描述函数法分析非线性系统一非线性系统结构如图 821 所示，假定输入为零，图中 N（A）为非线性环节的描述函数图 821 非线性系统tAXsin2综合公式（835） （836）可得出系统产生自激振荡的条件为由公式（837） ，将乃魁斯特判据推广应用于非线性系统，可判断系统运动稳定性：线性部分为最小相位系统，)(1)
11、(ANjG例:一继电控制系统结构如图 823 所示。继电器参数 a1，b3，试分析系统是否产生自激振荡，若产生自激振荡，求出振幅和振荡频率。若要使系统不产生自激振荡，应如何调整继电器参数。8.4 相平面法 8.4.1 相轨迹及其绘制方法对于一任意二阶非线性微分方程x +f(x,x)= 0令 x1=x,x2= x1=x则 x1= x2,x2=-f(x1,x2)写成一般形式有x1 = P ( x1, x2 )x2 = Q (x1 ,x1 )于是有轴，x 2 为纵坐标的平面上绘制一条 x2 与 x1 的关系曲线，我们把这样一条轨线称为相轨迹，由一族相轨迹组成的图像称为相平面图。而式（841）是相轨迹
12、上某点处切线的斜率。相轨迹上除平衡点外的任意一点只有一根相轨迹通过。可知，相轨迹在平衡点附近切线斜率不定，意味着有无穷多根相轨迹到达或离开平衡点。 根据上式可在相平面上绘制一条线，相轨迹通过这条线上的各点时，其切线的斜率都相同，我们称之为等倾线。如果取不同的值，可在相平面上绘制一系列的等倾线。如图 827 所示。3）重根此时若 a+d0，奇点称为退化的不稳定结点，对应的相轨迹如图 830 所示。2.极限环相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限环。它对应的系统会产生自激振荡。如图833 所示。极限环有稳定的，不稳定的和半稳定的。如图 8-34（a） ,(b),（c）所示。)(4)(2bcad8
13、.4.3 用相平面法分析非线性系统用相平面法分析非线性系统的步骤如下：1. 根据非线性特性将相平面划分为若干区域，建立每个区域的线性微分方程来描述系统的运动特性；2 根据分析问题的需要，适当选择相平面坐标轴，通常为，或作为相平面的坐标轴；3.根据非线性特性建立相平面上切换线方程，必须注意的是，切换线方程的变量应与坐标轴所选坐标变量一致；4.求解每个区域的微分方程，绘制相轨迹;；5.平滑地将各个区域的相轨迹连起来，得到整个系统的相轨迹。据此可用来分析非线性系统的运动特性。例： 如图 8-36 所示非线性控制系统在 t 0 时加上一个幅度为 6 的阶跃输入，系统的初始状态为，问经过多少秒，系统状态可到达原点。相轨迹为一抛物线，如图 8-37 所示系统从 A 出发到达B 点，进入区域（2） 。B 点坐标可求得系统沿抛物线从 B 点运动到 C 点，进入区域（1） ，C 点坐标可求得为（1，1） 由初始条件 c（1，1）可求 系统沿抛物线由 C 点运动到原点。由 A 点出发运动到原点 O 的时间 tAO 可由下式求得
