1、1教 案课程: 电磁场与电磁波内容: 第 4 章 标量位与矢量位课时:2 学时武汉理工大学信息工程学院教师：刘岚2课 题 标量位与矢量位 科目 电磁场与电磁波课 时 2 学时 教师 刘岚授课班级 时间 学年第 学期教学目的与要求知识目标：、理解位函数的定义和概念。、理解矢量位的定义和概念。、理解标量位的定义和概念。、理解如何用位函数 和 表示的非均匀波动方程达朗贝尔方A程。5、理解洛伦兹规范的定义和概念 。6、理解库仑规范的定义和概念。7、理解如何利用场源 和 求解位函数 和 。JA8、基本了解理纳德威切特位函数 的定义和概念。能力目标：根据学生已具备的关于方面数学知识和物理知识，引导学生从“
2、位函数 ”出发了解静 态场的基本分析方法，培养学生的想象力及利用所学知识分析、总结问题的能力。情感目标：引导学生将抽象的数学分析与现实物理世界尽可能融合，激发学生对理论学习的热情。3概述相对于电场与磁场的研究来说，有 时先去研究一个位函数可能会容易很多，当然这个位函数一定是与 场有关的，比如 对这个位函数的微分即可得到场。本章我们将要来 寻找这种适合于电场和磁 场的位函数，本章所得到的结果将成为 我们分析电场和磁场时的基本方法。教学重点 矢量位、标量位、利用场源求解位函数。教学难点 滞后位的概念以及基本应用。教学方法 讲述法、演示法、发现法、讨论法教学环境 多媒体教室教学准备 多媒体课件教学过
3、程1、复习提问 2、引入新课3、讲解新课 4、归纳总结5、布置作业 学时分配 矢量位、标量位、理纳德位 2 学时4小计 2 学时教学环节 教学过程11引入新课讲述新课多媒体课件展示：第 4 章 标量位与矢量位提示：本章的重点内容设置悬念、激发探究提问：你对“位”有什么认识？电位或磁位如何描述？多媒体课件展示：4.1 矢量位 A1、 “任意矢量的旋度的散度恒等于零”所具有的含义与应用。2、矢量位 的引入。A从麦克斯韦第三方程出发，必有BA()0于是我们就得到了一个关于磁场 的位函数。因为 ，而BA是一个微分算子，所以 是关于 的位函数。尽管我们很容易就A找到了与磁场相关的矢量位 ，但它却是一个无
4、任何约束的任意矢量。多媒体课件展示：4.2 标量位 1、 “梯度的旋度恒等于零” 所具有的含义与应用。2、标量位的引入。由麦克斯韦第二方程 ，如果用 代替 ，则BEtAB方程变为 At更一般地，如果 是一个矢量函数并且 ，则有02AEt保证 的唯一方法是令 。则有0/t式中 是一个尚无任何约束的标量函数。在非时变（静态）情况下,方程变为/AtE于是对 的微分即可得到 。提示：可用 来求静态场。多媒体课件展示：4.3 用位函数 和 表示的非均匀波动方程A两个位函数 和 描述如下A和 B/Et这些结果是从 和 这两个方程中得出的，将这0B些结果代入到余下的麦克斯韦方程中去，可得 2222011()
5、AJActct 显然，这个方程中有类似于物理学中所定义的波动方程的部分，比如22ct如果我们选定21At这时，方程将变为2220Jct这是一个关于 的三维波动方程，这个方程也被称为达朗贝尔方程，A方程右边为场源。上面我们选定的条件 可写成21ct2，称其为洛伦兹条件或称为洛伦兹规范，21Actt它是目前我们对于 和 所采用的约束。同理有 022/1tc这是一个关于 的波动方程，它也是一个达朗贝尔方程，方程右边是以电荷密度 为场源的。接下来的任务就是要在给定 和 的情况下求解这两个方程，以J得出 和 ，然后再从 和 得出 和 。AAEB在应用电磁位时，如果不采用洛伦兹条件，而采用所谓的库仑规范，
6、即令 ，则 和 所满足的微分方程为022 ()AJtt2/提问： 引入洛伦兹规范或库仑规范，所得方程的区别是什么？多媒体课件展示：4.4 利用场源 和 求解位函数 和JA提示：标量位 已被定义为在静电场中 给定了电场 。E于是，我们有 0()1()4pVrrd这样就得到了静态场中的解，将这个结果扩展到运动电荷的分布场中，则 和 为时间和位置的函数。由于 和 不是在同一个点，并且由于电磁场是以一个极限速度(在真空中为光速 C) 在扰动传播的，所以点 处的场在时间上将会早于r电荷分布的时间 。所以场从源点传播到场点所经历的时间是t2，其时间延迟为 /prc/ptrc因此/pt那么移动电荷的分布则为
7、0(,)1(,)4|pVrtrtd或者写成 0(,|/)(,) ppVrtcrt V式中 是延迟源的位置， 是延迟时间，积分是在延迟体积 V上进行prt的。我们在这里所构造的解给出了位函数 和电荷密度 之间的一般关系。根据这个关系我们可以写出对应的 的表达式为A 20(,|/)1(,) 4ppVJrtcArt dVc式中的电流密度 是在延迟位置 时的值，积分是在延迟体积 VJ(,)pt上进行的。提示：上面的分析说明，在时刻 t，空间某点所观察到的矢量位 和A标量位 ，是由 时刻的电流或电荷产生的，也就是说，(/)ptrc在空间某点并不会立刻感受到波源的影响，而是要滞后一段时间，这个滞后效应是由
8、于电磁波的速度为有限值而引起的，于/prc是我们又可将随时间变化的位函数 和 称为动态位或（ r,t） (,)Art滞后位。2归纳总结多媒体课件展示：4.5 理纳德威切特位函数下列方程称为相对于运动点电荷的理纳德威切特（Lienard-Wiechert）位函数01()4/pqrRvtnc20()(,)/pAtct本章要点1、 矢量 是关于磁场 的矢量位函数，二者的关系为 ，ABBA但此时的 为任意矢量；2、 洛伦兹规范约束了矢量 的行为和范围，并描述了矢量位 与标A量位 之间应满足的关系，洛伦兹规范是21ct3、洛伦兹规范中的 是关于电场 的标量位函数，它与电场的关系E为At在静态电场中， E
9、4、 在电流作为场源的激励之下，矢量位 所满足的三维波动方程为A22201Jct在电荷作为场源的激励之下，标量位 所满足的三维波动方程为2022/1tc5、求解上述波动方程，就可分别得出在各自场源激励下的矢量位 和A标量位 ，而后再通过关系 和 （或BAEt） ，则可求得磁场 和电场 ，这是求解电场和磁场的E一种途径和方法，这种途径和方法往往要比直接求解磁场 和电B场 方便且容易，特别是对于静态场的求解；6、对时间发生变化的电场和磁场而言，如果这时仍使用位函数方法来求解，则由于位函数 或 与激励 或 是时间和位置的函数，并且AJ激励源与位函数不在同一个空间点上，同时由于电磁场是以一个极限速度在
10、扰动传播的，所以场量在时间上将会与激励之间出现一定的延迟，在计算中需考虑这个延迟。通常又将时变条件下的位函数称为动态位或滞后位，这是因为在与场源相距 r 的场点处，时变源在 时刻的改变将反映在0t（c 为光速）时刻的位函数中。0/t7、在 t 时刻，空间某点所观察到的矢量位 和标量位 ，是由A时刻的电流或电荷产生的，也就是说，在空间某点并不(/)prc会立刻感受到波源的影响，而是要滞后一段时间 ，这个滞后/prc效应是由于电磁波的速度为有限值而引起的。将随时间变化的位函数和 称为动态位或滞后位，即为（ r,t） (,)Art 0(,|/)1, 4ppVrtct dV2布置作业 20(,|/)1(,) 4ppVJrtcArt dVc8、相对于运动点电荷的标量位和矢量位 0()1/pqrRvtnc20()(,)4/pAtct又称为理纳德威切特位函数。课后思考：、 矢量位和标量位是如何导出的？、 矢量位和标量位如何应用？、 达朗贝尔方程的物理意义是什么？、 洛伦兹规范起到了什么作用？、 库仑规范起到了什么作用？、 利用场源 和 求解位函数 和 的思路是什么？为什么JA要考虑滞后效应？、 理纳德威切特位函数表达了什么概念？
