1、实验 1 一元函数的图形实验目的 本实验学习在 Mathematica 系统下绘制一元函数图形的基本方法。学会使用Plot、ListPlot、ParametricPlot 三个作图函数，了解使用选择项对图形外观进行修饰的初步方法，学会使用 Show 函数进行图形的组合。应用所学的作图技巧，根据图像对函数基本性质进行观察和分析。实验工具 一、介绍 Plot 函数 1Plot 函数的使用方法 Plot 是一个用于制作一元显函数 y=f（x）图形的作图函数。格 式 意 义Plotf, x,a,b,选择项 画出 f(x)在a,b区间上的图形其中，f 是作图的目标函数 f（x） 。x，a，b 是 Mat
2、hematica 特有的循环表示方式，说明自变量是 x，其变化范围是a， b区间，注意 x 必须与目标函数中的自变量保持一致。选择项是用来对图形外观进行修饰的补充设定，选择项空缺时系统将采用默认值作图。例 1 画出 y=Tan(x)在-2,2区间上的图形.PlotTanx,x,-2Pi,2Pi-6-4-2 246-30-20-10102030例 2 画出 y=Tan(x)在-, 区间上的图形，并设定 y 的范围为-10,10。 PlotTanx,x,-2Pi,2Pi,PlotRange-10,10 5 55 -graphics-2作图原理Plot 首先以给定的表达式作为计算对象,根据给定的取值
3、范围选取自变量的样点，再计算出相应的函数值，得到函数图像的一组型值点。型值点的个数可以通过选择项(PlotPoints)进行调整，系统本身设计了自适应算法，当型值点变化剧烈时，Plot 会自动增加型值点的个数。根据型值点数据构造出图形的基本要素（如直线、圆弧等） ，进而形成函数曲线的一个图形表达式，表示为 Graphics。调用系统内部定义的显示程序($DisplayFunction)把图形表达式投射到计算机屏幕上，我们就能看到精美的函数图像了。使用 InputForm 可以观察到 Plot 作图的过程的细节。例 3 使用 InputForm 了解作图过程的细节。InputFormPlotTa
4、nx,x,-2Pi,2Pi3画多个函数的图形有时，我们需要在一幅图中同时画几个函数的图像，以便于相互比较和分析。可以采用下述作法：格 式 意 义Plotf1,f2, . ,x,a,b, 选择项画出多个函数 f1(x),f2(x),.在a,b区间上的图形例 4 同时画出函数 y=sin(x)和 y=cos(x)在-2,2区间上的图形. PlotSinx,Cosx,x,-2Pi,2Pi; 二、使用选择项对图形进行修饰Matnematica 绘图时允许使用选择项对绘制图形的细节提出各种要求和设置，例如：指定原点位置、要求不画出坐标轴、给图像加上颜色等要求。每个选择项都有一个确定的名称，以“选择项名-
5、选择项值”的形式放在 Plot 中最后边位置。可以同时列出多个选择项，依次排列，以逗号相隔。通过设置选择项,可以画出更加漂亮的图形.下面让我们解释各个选择项的意义:1 修饰曲线的样式（第一类选择项）选择项名称 选择项的区值及意义 PlotStyle - 指定曲线的外观: 颜色、线形、线宽等(1) 颜色的取值为 RGBColorR，G，B，R，G，B 分别表示三原色红、绿、蓝的分量，在0， 1区间取值。颜色值也可以设定为灰度 GrayLevelg,g 取值于0,1区间,0 为白色 ,1 为黑色.为了方便用户，系统工具栏中设置了调色板按钮，使用的调色板工具可直观地获取设定值。使用方法是 先将鼠标移
6、到文中插入颜色值的位置 用鼠标点开工具栏中调色板按钮，出现调色板对话框（图 1.4-1） 在对话框种选择需要的颜色，点击“确定” ，所选颜色会自动插到文中。图 14-1 调色板对话框(2) 线形用来设定图像所使用的线形，其设定值为 Dashing实线长度，虚线长度。 (3) 线宽用来设定曲线的宽度，其设定值为 Thickness 宽度 。线宽是一个相对数，以占整个图的宽度的比来量度,线宽应在 0，1 之间选择。例 5 画出 y=sin(x)的图形 ,并设定曲线的颜色，并设定曲线的颜色和线宽，函数图像用虚线绘出。PlotSinx,x,-3,3,PlotStyle- Thickness0.008,
7、RGBColor1.000,0.000,0.502,Dashing0.03,0.02 5 12 修饰整幅图的外观（第二类选择项）选择项名称 选择项的取值及意义 Background-GrayLever0.3 指定图的背景颜色，取值为 GrayLever 或 RGBColorGridLines - Automatic 指定是否画网格线,默认值为 None选择 Automatic，则自动绘制网格。PlotRange-a,b 确定所画 y 的范围为a,bAspectRatio-1.3 确定图的纵横比,默认值为 GoldenRatio如果要按实际情况显示,设为 Automatic PlotLabel-
8、“xxxx“ 确定图的标题为 xxxx例 6 画出 y=sin(x)的图形, 背景设为灰色,并加上网格.PlotSinx,x,-3,3,PlotStyle-RGBColor1.000,0.000,0.502,GridLines - Automatic,Background-GrayLevel0.6; 1 2 3 5 1例 7 画出 y=tan(x)的图形，指定值域范围为0，5，纵横比为 1：2，并为图形加上标题：“y=tan（x） ”。PlotTanx,x,-2Pi,2Pi,PlotStyle-RGBColor0,0,1,PlotRange-0,5,AspectRatio-1/2，PlotLa
9、bel-“y=Tan(x)“ 1n HxL3对坐标轴外观进行修饰（第二类选择项）选择项名称 选择项的取值及意义 Axes- False 指定是否画坐标轴,默认值为 TrueAxesLabel-xxx,yyy 指定坐标轴的名称Ticks-3,-1.5,1.5,3Ticks-1,2,3,1,2,3指定两坐标轴上刻度的位置.默认值为 AutomaticFrame-True 在图形周围是否加框.FrameLabel-”xxxx” 确定框的周围是否加标志,默认值是 None例 8 画出 y=sin(x)的图形,并对图形进行修饰.1)不画坐标轴,画方框将图形围住2)灰色背景,横轴标为 x,纵轴标为 sin
10、x3)灰色背景,横轴的坐标刻度取-3,-1.5,0,1.5,3,纵轴的坐标刻度取-1,0,1 PlotSinx,x,-3,3,PlotStyle-RGBColor0.502,0.000,1.000,Axes-None,Frame-TruePlotSinx,x,-3,3,PlotStyle-RGBColor1.000,0.000,0.502,Background-GrayLevel0.6,AxesLabel-x,sin(x)PlotSinx,x,-3,3,PlotStyle-RGBColor1.000,0.000,0.502,Background-GrayLevel0.6,Ticks-3,-1.
11、5,0,1.5,3,-1,0,1三、 Show 函数在绘图的过程中，有时要把画过的图像重新调出，或对已绘出的图形作一些修改,也有时要把画过的几幅图组合在一起，这时可以使用 Show 函数。Show 函数用于重现一个或几个图形表达式（Grapics）.它的使用格式为表达式格式 表达式意义 Show 图形名称 ,选择项 再现一个已做好的图形Show 图 1，图 2 ，选择项 再现一组已做好的图形使用函数 Show 重现二维图形时,可以通过设置选择项对图形进行适当修改，前文提到的第二类选择项一般都可以在 Show 中使用。比如我们已经作图: g1=PlotSinx, x,-Pi,Pi如果希望用实际的
12、比例尺度重现这个图形,那么输入Showg1,AspectRatio-Automatic如果想把图形的坐标轴换一个位置,则输入Showg1,Axes-Pi,-1例 9 分别画出 y=sin(x)和 y=tan(x) 在-2,2 区间上的图形.并使用 Show 函数把两幅图形组合在一起. 并调整值域范围,事两幅图的组合比较协调. graph1=PlotSinx,x,-2Pi,2Pi;graph2=PlotTanx,x,-2Pi,2Pi;Showgraph1,graph2, PlotRange-3,3 123四. ParametricPlot 函数使用 Plot 函数绘制函数图形时,由于只能绘制显函
13、数的图形,往往会有不便之处.例如像单位圆这样的图形,尽管很简单,用 Plot 函数却不易绘出.较复杂的函数曲线通常由参数方程给出,参数方程还便于描述点的运动轨迹,极坐标方程也很容易用参数方程表出.Mathematica 系统提供了用于参数方程作图的函数:ParametricPlot.下面介绍函数的用法.1. 画一个函数的图形表达式格式 表达式意义 ParametricPlot,t, t0, t1, 选择项画出由参数方程 x=(t), y=(t) 所确定的函数在区间 t0, t1上的图像.通过设置选择项,可以对 ParametricPlot 的绘图效果进行修饰.选择项的设置方法与Plot 基本相
14、同. 比如,为保证显示图形的实际比例尺度,设置纵横比选择项: AspectRatio -Automatic. 该选择项的默认值为 GoldenRatio,由于纵横比不同,画出来的圆会变成椭圆形状. 例 10 利用参数作图方法,使用蓝色画出单位圆 xysinco的图形. ParametricPlotSint,Cost,t,0,2Pi,AspectRatio-Automatic 例 11. 用 ParametricPlot 可以做出一些有趣的图形.请选择适当的参数值后运行如下绘图程序:a=Inputaaaab=InputbbbbParametricPlotSina t,Cosb t,t,0,2Pi
15、 ,AspectRatio-AutomaticPlotStyle-RGBColor0,1,02) 画多个函数的图形表达式格式 表达式意义 ParametricPlotfx,fy, gx,gy,.,t, t0, t1同时画多条参数曲线在区间t0,t1上的图形.例 12 利用参数作图方法同时画出单位圆和抛物线的图形. ParametricPlotSint,Cost,1.5t,t2,t,-Pi,Pi,AspectRatio-Automatic; 123五. ListPlot 函数在很多实际问题中,我们并不知道函数的解析表达式,而仅仅能测量到函数的某些型值点,这些型值点的值可以列成数据表.Mathem
16、atica 系统提供了根据表格画函数图形的方法:ListPlot.表达式格式 表达式意义 ListPloty1,y2, . ListPlotx1,y1,x2,y2, .,xn,yn 画出 y1,y2,.各点的图形, 相应的 x值为 1,2,.描出点 x1,y1,x2,y2,. 的图形使用 ListPlot 作图,实际上是画出型值点的散点图.将各个型值点连接可以构成折线图.在ListPlot 绘图时,经常使用两个选择项选择项格式 选择项意义 PlotStyle-PointSize0.01PlotJoined - True 设定散点图中每个点的大小连接各个型值点构成折线图例 13 根据立方表的 y
17、 值做出函数的散点图 t1=Tablex3,x,-3,3,0.2;ListPlott1,PlotStyle-PointSize0.01;5 0 0 例 14 根据立方表的 x,y 值做出函数的图形 t2=Tablex,x3,x,-3,3,0.2;ListPlott2,PlotJoined - True; 1 2 30 0 在 Mathematica 的系统软件包中 ,提供了 MultipleListPlot 函数,能够根据数据同时绘制两个函数图形.在使用之前,先要把这个软件包调入系统,然后才能使用软件包中所提供的函数.软件包的调用方法是: Needs软件包的路径 +名称NeedsGraphic
18、sMultipleListPlot True 6. 图形动画的设计 在 Mathematica 系统中还为我们设计了一个图形动画播放器. 动画播放器的工作原理是把已经制作好的一组图像按照排列顺序依次播放,利用眼睛的视觉暂留效应,使我们看到连续变化的图形活灵活现地动起来.动画设计首先要考虑好图像怎样随着参数 t 变化,变化的幅度可以由 t 步长来确定.然后用作图函数 Plot,ListPlot,ParametricPlot 等按照时间顺序生成一组图像,通常可以使用 Do 函数来完成这项工作.Do 的使用格式表达式格式 表达式意义 Dof(k),k,k0,k1,d k 从 k0 开始到 k1 结束
19、,步长取为 d,依次执行命令f(k). k,k0,k1,d 是系统特有的循环表达方式图形制作好以后,把这个图形序列构成一个组(group),从工具栏内点击 动画播放工具 就可以进行播放了.播放动画时,在屏幕右下方会出现一排控制按钮,可以控制播放的速度,播放的顺序和播放方式.例 16 制作 sin(x) 的图形动画,动画的时间参数取为初始相位 t.DoPlotSinx-t,x,-2Pi,2Pi,t,0,2Pi,Pi/6;实验指导 1.对函数图像的观察近景图 将 x 的取值范围局限于较小的区间内可以画出函数的近景图,用于显示函数的局部特性。例 17 绘制幂函数 30631,xyy在区间0,2上的图
20、形。px_,p_:=xpPlotpx,1,px,3,px,6,px,30,x,0,2,PlotRange-0,2,AspectRatio-0.8,PlotLabel-“n = 1,3,6,30“,PlotStyle-RGBColor1.000,0.000,0.0,RGBColor1.000,0.502,0.000,RGBColor0.000,1.0,1.000,RGBColor0.000,1.00,0.000; 观察图像,列表记录观察现象.观 察 现 象图像经过的关键点 (0,0),(1,1)函数图形的增减性 单调上升抛物线的开口方向 向上参数 p 的影响 在0,1区间内,指数幂 p 的值越小
21、,函数值越大在1,2区间内,指数幂 p 的值越小,函数值越小局部放大 在绘图时,把 x 的范围逐渐缩小,可把函数的细节部分展现的很清楚.特别是观察极限问题时,这种方法比较便利.例 18 比较函数 33)(,)()( xhgf 在 x0 时函数的性态.Plotx,x+x3,x3,x,0,0.5,AspectRatio-Automatic,PlotStyle-RGBColor0,1,0,RGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0;类似可绘制 x 在区间0,0.2,0,0.05上的函数图像,输出如下: 1 2 1 2 x 0, 0.5 x 0, 0.2 x 0, 0.05观察发现, 当
22、x 趋近于 0 时(比如在区间0,0.05内), 3的图像几乎看不到,并且3的图像与 x 的图像几乎完全重合 .这反映出: 当 x 0 时,低阶项 x 起着决定性的作用,而高阶无穷小项 3的作用微乎其微. 在 3中,x 是无穷小的主要部分. 所以我们说:“无穷小量看低阶” 。远景图 函数的远景图 ,是把 x 的范围取得比较大 ,使我们能够在大范围内观察函数图像.当研究 x 趋向于时,这种方法给我们带来方便. 例 19 比较函数 33)(,)()( xhgf 在 x时函数的性态.Plotx,x+x3,x3,x,10,100,PlotStyle-RGBColor0,1,0,RGBColor0,0,
23、1,RGBColor1,0,0; 6观察发现,当 x 充分大时(比如 x=100), y=x 的图像(绿色曲线)几乎看不到,y= 3x 的图像(蓝色曲线)与 y= 3的图像(红色曲线)几乎完全重合.这反映出:当 x 充分大时,高阶项 3x起着决定性的作用,而低阶项 x 则几乎不起作用. 所以我们说:“无穷大量看高阶” 。2.通过动画观察：p 连续变化时幂函数图像的变化当 p1 时,幂函数的图像是向上开口的抛物线.试想当 p 由-5 到 5 连续变化时,函数曲线将会从双曲线连续地变为向上开口的抛物线.那么,不同曲线类型之间的过渡是怎样形成的?完成下面的动画程序,你就可以直观地看到整个变化过程了.
24、例 20 动画制作: p 连续变化时幂函数图像的变化pdata1=Tablep,p,-5,-1,0.5;pdata2=Tablep,p,-1,0,0.1;pdata3=Tablep,p,0,1,0.1;pdata4=Tablep,p,1,5,0.5;pdata=Jionpdata1, pdata2, pdata3, pdata4;DoPlotx,1,xpdatap,x,0,2,PlotRange-0,3,PlotLabel-“p = “RGBColor1,0,0,RGBColor0,1,0, RGBColor0,0,1,p,1,Lengthpdata;3. 幂函数与指数函数、对数函数的比较在日
25、常生活中我们有这样的经验：与幂函数相比，指数函数是急脾气，对数函数是慢性子。这就是说，当 x时，再小的指数函数也比幂函数变化快，再大的对数函数也比幂函数变化慢。例 21 当 x时,比较 10xy与 x. 的大小.Plotx10,1.1x,x,0,800,PlotRange-0,1029,PlotStyle-RGBColor1,0,0, RGBColor0,0,1; 2 4 8 1 例 22 当 x时,比较 01.xy与 xylg0 的大小.Plotx0.03,100 Log10,x,x,0,5*107,PlotStyle-RGBColor1,0,0, RGBColor0,0,1; 7 2 7
26、3 7 4 7 5 70 0 0 x 0, 5* 10 7 x 0, 5*10 10 实验任务 练习 1. 正整数指数幂的奇偶性设 nxy,n 为正整数.正整数指数幂可以分成两类,所有奇数次幂函数都时期函数,所有偶数次幂函数都是偶函数.作图验证这一事实.练习 2. 函数与反函数幂函数 p,当 p=m 和 p=1/m 是恰好构成一对函数和反函数.它们的图像恰好关于直线 y=x 对称.作图验证这一事实. 练习 3. 由于改良种子和引进新的农业技术,某地区的粮食产量提高了.在 20 年期间,年产量(以百万吨计)如下1970 1975 1980 1985 19905.35 5.90 6.49 7.05
27、 7.64同期人口(以百万计)为1970 1975 1980 1985 199053.2 56.9 60.9 65.2 69.7绘制粮食产量和人口随时间增长的函数图形.针对粮食能否自给自足问题,就过去、现在、将来的形势发表你的见解。练习 4. 使用逐步放大法观察函数)1sin(xy的图形在区间-,上的图像.注意 x=0是函数的第二类间断点(振荡间断,lm0x不存在).练习 5. 观察函数)1sin(y的图形在区间-,上的图像.注意 x=0 是函数的可去间断点( )si(lm0xx=0 ).练习 6. 作图训练1. 画出下列参数曲线的图形:1) 摆线: )sin1(co tay, 0t 62) 星形线: 3i tx2. 画出下列极坐标曲线的图形:1) 心形线: )cos1(tar2) 阿基米德螺线: t3) 三叶玫瑰线: 3 3. 设函数 )(xfy 由隐函数方程 xy63 确定,试选择适当的参数,把函数化为参数方程的形式,并画出函数的图形.(提示: 令 t)
