1、1习题 11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分：（1） ，其中 为圆周 ，直线 及 轴在第一象限内所围成的2xyLedsAL22xyayx扇形的整个边界；（2） ，其中 为折线 ，这里 、 、 、 依次为点 、2xyzdsABCDBCD(0,)、 、 ；(0,)(1,)(,32)（3） ，其中 为摆线的一拱 ， .2Lyds (sin)xat(1cos)yat(02)22.有一段铁丝成半圆形 ，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，2yax求其质量。解 曲线 的参数方程为Lcos,in0y22sindada依题意 ，所求质量,xy220sinLMyda习题 11-2 对坐
2、标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分：（1） ，其中 是抛物线 上从点 到点 的一段弧；2()Lxyd 2yx(0,)(2,4)（2） ，其中 为圆周 （按逆时针方向绕行） ；2()()LxyyAL22xya（3） ，其中 是从点 到点 的一段直线；(1)xdyxdz(1,)(2,34)3（4） ，其中 为有向闭折线 ，这里 、 、 依次为点 、dxyzAABCBC(1,0)、 ；(0,1)(,)2.计算 ，其中 是：()()LxydxyL（1）抛物线 上从点 到点 的一段弧；21,(4,2)（2）从点 到点 的直线段；(1,)(4,2)（3）先沿直线从点 到点 ，然后再沿直线到 的折线；
3、(1,)(,2)(4,2)4（4）曲线 ， 上从点 到点 的一段弧。21xt2yt(1,)(4,2)3.把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分，其中 为：(,)(,)LPxydQxy L（1）在 面内沿直线从点 到点 ；xOy0,1,（2）沿抛物线 从点 到点 ；2yx(0,)(1,)（3）沿上半圆周 从点 到点 .2xy(0,)(1,)54.设 为曲线 ， ， 上相应于 从 变到 的曲线弧，把对坐标的曲线积分xt2yt3ztt01化成对弧长的曲线积分。LPdQRz习题 11-3 格林公式及其应用1. 利用曲线积分，求星形线 ， 所围成的图形的面积。3cosxat3sinyat2.计算曲线积
4、分 ，其中 为圆周 ， 的方向为逆时针方向。2()LydxAL2(1)xyL63. 证明曲线积分 在整个 面内与路径无关，并计(2,1)42303)(4)xydxyd xOy算积分值。.4.利用格林公式，计算下列曲线积分：（1） ，其中 为三顶点分别为 、 和(24)(536)LxydyxdAL(0,)3,的三角形正向边界；3,)（2） ，其中 是在圆周 上由点 到点22()(sin)Lxydxyd L2yx(0,)的一段弧。1,75.验证下列 在整个 平面内是某一函数 的全微分，并求(,)(,)PxydQxyxOy(,)uxy这样的一个 ：u（1） ；2xy（2） 2 2(cos)(sini
5、)xyxdyxyd86.计算 ，其中 为由点 到点 的曲线弧224()()Lxydxyd L0,O1,Bsin解 2,PQPxyyx原积分与路径无关， 故原式1,0A224OABxydyd11400315习题 11-4 对面积的曲面积分91. 计算曲面积分 ，其中 为抛物面 在 面上方的部分。3zdS2()zxyO3=zdS22()14xyDxyd 2220314d12222016935220341435612.计算下列对面积的曲面积分：（1） ，其中 为平面 在第一卦限中的部分；4(2)3zxydS1234xyz（2） ，其中 为球面 上 的部分；()xyzdS22xyzah(0)a103.
6、求抛物面壳 的质量，此壳的面密度为 .21()zxy(01)zz4.计算 ，其中 为锥面 及平面 所围成的区域的整个边界2()xydS2zxy1z曲面。解 ， ，在 上，1221:zxy1， 在 面的投影为xydsd1o2:1xyD在 上， ， 在 面的投影为2s2xy22xy xyDDxdddxy21201r习题 11-5 对坐标的曲面积分111.计算下列对坐标的曲面积分：（1） ，其中 为球面 的下半部分的下侧.2xyzd22xyzR（2） ，其中(,)2(,)(,)fxyzdfxyzdxfyzdxy为连续函数， 是平面 在第四卦限部分的上侧；,f12.把对坐标的曲面积分 化成对面积的曲(
7、,)(,)(,)PxyzdQxyzdRxyzd面积分，其中（1） 是平面 在第一卦限的部分的上侧；326z12（2） 是抛物面 在 面上方的部分的上侧；28()zxyO习题 11-6 高斯公式1.利用高斯公式计算曲面积分：（1） ，其中 为平面 ， ， ， ，222xdyzxzdyA0xy0zxa， 所围成的立体的表面的外侧.a（2） ，其中 是界于 和 之间的圆柱体xdyzxzdyA0z3的整个表面的外侧；2913（3） ，其中 为平面 ， ， ， ，24xzdyzxydA0xy0z1x， 所围成的立方体的全表面的外侧；12.计算曲面积分 ，其中 是曲面 的外2Izxdyz201zxyz侧.
8、解 添加平面 ，取上侧，使 构成封闭，应用高斯公式地21:1z121 203xy rDIdvdzA习题 11-7 斯托克斯公式1.利用斯托克公式，计算下列曲线积分：（1） ，其中 为圆周 ， ，若从 轴的ydxz22xyza0xyzx正向看去，这圆周是取逆时针方向；14（2） ，其中 为圆周 ， ，若从 轴正向看去，23ydxzydA2xyz2z这圆周是取逆时针方向；（3） ，其中 为圆周 ， ，若从 轴正向看223ydxzdA229xyz0z去，这圆周是取逆时针方向；复习题十一1.计算下列曲线积分：（1） ，其中 为圆周 ；2LxydsAL2xya15（2） ，其中 为摆线 ， 上对应 从(
9、)LaydxL(sin)xat(1cos)yatt到 的一段弧；0（3） ，其中 为上半圆周 ，(sin2)(cos2)xxLeydeyd L22()xay沿逆时针方向；0y162.计算下列曲面积分：（1） ，其中 是界于平面 及 之间的圆柱面 ；22dSxyz0zH22xyR（2） ，其中 为锥面222()()()yzdxdzydx 2zxy的外侧.0h17（3） ，其中 为半球面 上侧.xdyzxzdy22zRxy3.证明： 在整个 平面除去 的负半轴及原点的区域 内是某个二元函数的2xdyxOyG全微分，并求出一个这样的二元函数。184. 计算曲线积分 ，其中 是边长为 4，原点为中心的正方形边界，2()()LxydyAL方向为逆时针方向。解法一 22,xyxyPQ2()xyx在 内作一圆 ： ，方向逆时针L21y由格林公式有=2LxdyA2xdy： cosinty2220()()cosinLxdytdt法二: 由参数法将得积分代入四部分之和
