1、高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）第六章 多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。即以右手握住 z 轴，当右手的四个手指从正向 x 轴以 角度转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是 z 轴的正向。空间直角坐标系共有八个卦限 高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）空间的点 有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点 P,Q,R；坐标面上的点 A，B，C；0（0，0，0）高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为 M（x,y,z），0（0，0，0
2、）。二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心 M0（x 0,y0,z0），半径为 R，则对于球面上任意点 M（x，y，z），有，称为球面方程。特别地，以原点为球心，半径为 R 的球面方程是 。2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。例 1、已知 A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段 AB 的垂直平分面的方程。【答疑编号 11060101】解：设 M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程 2x-6y+2z-7=0。 x，y，z 的一次方程表示的图形是一个平面。 3、柱面定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的
3、曲面称为柱面。这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线。 高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。 （1）椭球面高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）椭球面与三个坐标面的交线：（2）x 2+y2=2pz 的图形是一个旋转抛物面。 6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设 P0（x 0,y0）是 xoy 平面上的一个点， 是某一正数，与点 P0（x 0,y0）距离小于 的点P（x,y）的全体，称为点 p0的 邻域，记为
4、U（P 0, ）,。 2、区域平面上的点集 称为开集，如果对任意一点 ，都有 的一个邻域 。 高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）设 D 是开集。如果对于 D 内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于 D，则称开集 D 是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。开区域连同它的边界一起称为闭区域。3、n 维空间设 n 为取定的一个自然数，我们称 n 元数组 的全体为 n 维空间，而每个 n 元数组 称为 n 维空间中的一个点，数 xi称为该点的第 i 个坐标说明：n 维空间的记号为 Rn；n 维空间中两点间距离公式：设两点为高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一)
5、自考 365（）特殊地当 n=1，2，3 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。 二、多元函数的概念1、多元函数的定义设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P（x,y）D，变量 z 按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x,y 的二元函数，记为 z=f（x,y）（或记为 z=f（P）.类似地可定义三元及三元以上函数。当 n2 时，n 元函数统称为多元函数。多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念。 例 1、求 的定义域。【答疑编号 11060102】 高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）解：所求定义域为 .2、二元函数 z=f（x,y）的图
6、形设函数 z=f（x,y）的定义域为 D，对于任意取定的 P（x,y）D，对应的函数值为 z=f（x,y），这样，以 x 为横坐标、y 为纵坐标、z 为竖坐标在空间就确定一点 M（x,y,z），当 x 取遍 D 上一切点时，得一个空间点集 ，这个点集称为二元函数的图形。高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）二元函数的图形通常是一张曲面。 三、多元函数的极限 高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）例 2、求 。【答疑编号 11060103】高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）解：原式。 例 3（教材 332 页习题 6.2，2 题（1
7、）题）、求 。【答疑编号 11060104】 例 4（教材 332 页习题 6.2，2 题（2）题）、求 。【答疑编号 11060105】 高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）四、多元函数的连续性1、定义 设二元函数 f（P）的定义域为点集 D，p 0且 p0D，如果 则称二元函数 f（P）在点 P0处连续。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。一般地，求 时，如果 f（P）是初等函数，且 P0是 f（P）的定义域内的点，则f（P）在点 P0处连续，于是 。例 5（教材 332 页习题 6.2，3 题（1）题）、判断 在原点是否连续？【答疑编号 11060106】 高等
8、教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）6.3 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法定义 设函数 z=f（x,y）在点（x 0,y0）的某一邻域内有定义，当 y 固定在 y0而 x 在 x0处有增量x 时，相应地函数有增量 。如果 存在，则称此极限为函数 z=f（x,y）在点（x 0,y0）处对x 的偏导数，记为 。高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）同理可定义函数 z=f（x,y）在点（x 0,y0）处对 y 的偏导数，为，记为 。如果函数 z=f（x,y）在区域 D 内任一点（x,y）处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y 的函数，它就称为函数
9、 z=f（x,y）对自变量 x 的偏导数，记作 。同理可以定义函数 z=f（x,y）对自变量 y 的偏导数，记作 。偏导数的概念可以推广到二元以上函数如 u=f（x,y,z）在（x,y,z）处例 1.求 z=x2+3xy+y2在点（1,2）处的偏导数。【答疑编号 11060201】解：高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）例 2.求 z=xy（x0，x1）的一阶偏导数【答疑编号 11060202】有关偏导数说明：偏导数 是一个整体记号，不能拆分；高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）例 3.（336 例 3）求下列函数对 x 和 y 的偏导数。（1）z=
10、（1+3y） 4x。【答疑编号 11060203】（2）z=（lny） xy。【答疑编号 11060204】高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）例 4.（340 页 2（2）求 u=（1+xy） z，在点（1，2，3）的一阶偏导数。【答疑编号 11060205】高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）二、高阶偏导数函数 z=f（x,y）的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。例 5.设 ，求 。【答疑编号 11060206】解：高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）例 6.（338 页例 6）设 z=
11、x2yey，求【答疑编号 11060207】高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）6.4 全微分 一、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得二元函数对 x 和对 y 的偏增量1.全增量的概念如果函数 z=f（x,y）在点（x,y）的某邻域内有定义，并设 为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差 为函数在点 P 对应于自变量x，y 的全增量，记为z，即高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）2.全微分的定义如果函数 z=f（x,y）在点（x,y）的全增量 可以表示为，其中 A，B 不依赖于x，y 而仅与 x,y 有关， ，则称函数 z=f（x,
12、y）在点（x,y）可微分，Ax+By 称为函数 z=f（x,y）在点（x,y）的全微分，记为 dz，即 dz=Ax+By.函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函数在 D 内可微分。二、多元函数连续、可导、可微的关系如果函数 z=f（x,y）在点（x,y）可微分，则函数在该点连续。事上故函数 z=f（x,y）在点（x,y）处连续。定理 1 如果函数 z=f（x,y）在点（x,y）可微分，则该函数在点（x,y）连续，函数在点（x,y）的偏导数 必存在，且函数 z=f（x,y）在点（x,y）的全微分为。说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一)
13、 自考 365（）定理 2 如果函数 z=f（x,y）的偏导数 存在，且在点（x,y）连续，则该函数在点（x,y）可微分。记全微分为全微分的定义可以推广到三元及三元以上函数。三、例题分析例 1.（教材 344 页例 2（3）、求全微分 z=x2y+exsiny。【答疑编号 11060301】例 2.（教材 344 页例 2（2）、求全微分 。【答疑编号 11060302】高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）例 3.（教材 344 页习题 6.4，1 题（2）题）、求全微分 。【答疑编号 11060303】高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）6.5 多
14、元复合函数求导法则 一、链式法则定理 如果函数 都在点 t 可导，函数 z=f（u,v）在对应点（u,v）具有连续偏导数，则复合函数 在对应点 t 可导，则：定理 假设函数 z=f（u,v）可微，函数 u=u（x,y）和 v=f（x,y）有偏导灵敏，则它们的复合函数 z=f（u（x,y）,v（x,y）作为 x,y 的函数有偏导数，且，。例 1.设 ，而 u=xy,v=x+y,求 。【答疑编号 11060304】解：高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）。例 2.（教材 348 页例 2（1）、求导数【答疑编号 11060305】例 3.（教材 348 页例 2（2）、求导数
15、【答疑编号 11060306】高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）例 4.求导数 z=f（xy,x+y）【答疑编号 11060307】例 5.（教材 349 页例 5）、设 z=F（x+y,x 2-y2）。求 。【答疑编号 11060308】高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）例 6.（教材 353 页习题 6.5，4 题）、设【答疑编号 11060309】例 7.（教材 350 页例 6）、设 f（xy,x-y）=x 2+y2。求 。【答疑编号 11060310】解：u=xy,v=x-y,则x 2+y2=（x-y） 2+2xy=v2+2u故 f（u
16、,v）=2u+v 2，或 f（x,y）=2x+y 2高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）（这不是变量代换，而是自变量改变文字）。所以。二、全微分形式不变性设函数 z=f（u,v）具有连续偏导数，则有全微分 、。全微分形式不变性的实质：无论 z 是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v 的函数，它的全微分形式是一样的。高等教育自学考试网上辅导 高等数学(一) 自考 365（）例 8.（教材 351 页例 7（3）、求全微分 z=（x+y）e xy【答疑编号 11060311】例 9.（教材 351 页例 7（3）、求全微分 z=f（2x+3y,e xy）【答疑编号 11060312】6.6 隐函数及其求导法则
