1、第三章3-1 设 是 ， 的高斯随机变量，试确定随机变量 的概率密度X0a1YcXd函数 ，其中 均为常数。()fy,cd解： ，Ex222EycE221()()epdfycc3-2 设一个随机过程 可以表示 ()t()2cos()tt式中， 是一个随机变量，且 ， ，试求 及(0)12P1P(1E。(0,1)R解： 由 得到随机变量 的概率密度分布函数为(0)()P，1(22f1cos)()2()(2Ett d 1 1(0,)4cos()2)()22R d 3-3 设 是一随机过程，若 X1 和 X2 是彼此独立且具1020()sinsYtXtt有均值为 0、方差为 2 的正态随机变量，试求
2、：（1） 、 ；()Et()t（2） 的一维分布密度函数 ;Y()fy（3） 和 。12(,)Rt12(,)Bt10202 210202 2110020011()cosini()s)cocosinsinin)EYtXttEttttXtEXtX解 ： （ ）（ ） 因 为 、 2221212001020221121()()exp)3(,)()cossin)(cossin)iYtEYtDtEtyfyRttXtXttEtE为 正 态 分 布 ， 所 以 也 为 正 态 分 布 ，又 ，所 以（ ） 20 01022010212210iicocs()cs(,),()(,)sttttBtRYttRt3-
3、4 已知 和 是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为 和 ，自()Xt xay相关函数分别为 、 。x()y（1）试求乘积 的自相关函数；ZtYt（2）试求和 的自相关函数。()()X1212122,()()()XYRtEztttYR解 ：121212(),()()()(tZttt2112211() )()()(x yxyXXtEtREtYYta 3-5 已知随机过程 ，其中， 是广义平稳过程，且其自相关()cos()ztmt()mt函数为 10()0R其 他随机变量 在 上服从均匀分布，它与 彼此统计独立。(0,2)()mt（1） 证明 是广义平稳的；zt（2） 试画出自相关函数 的波
4、形；()zR（3） 试求出功率谱密度 及功率 。zPfS解： ()()cos)cEztmttE因为 ，得到201cos()os()0cttd()Ezt20,()1cos()cs()()241cos2zmcccmRztttdR所以， （1） 是广义平稳的；()zt（2）略（3） 2()()jfzzPfRed0 12 21 0()cos()cos2jf jfed 22sinin44()()cc其中， 。2f，1(0)zSR或者，2222222()sin)sin()14(ii)()1()42ccccccSPfddfd3-6 已知噪声 的自相关函数为()nt2kRe（1）求出其功率谱密度 及功率 ；(
5、)nPfN（2）试画出 及 的图形。()n解：（1） 20 202022()4kjfjf kjfkjf jfPfedededf(0)nkNR（2）略。3-7 一个均值为 ，自相关函数为 的平稳随机过程 通过一个线性系统后的a()XR()Xt输出过程为， 为延时时间()()YttT（1）画出该系统的框图；（2）试求 的自相关函数和功率谱密度。()t解：（1）略（2）(,)()()()2()yXXRtEYttTtTEtR22()()22()() cos()()4jfY jfTjfTXXXjfXXPffRedefPfffT3-8 一个中心频率为 、带宽为 B 的理想带通滤波器如图 P3-1 所示。假
6、设输入是均c值为 0、功率谱密度为 n0/2 的高斯白噪声，试求： （1 ）滤波器输出噪声的自相关函数；（2）滤波器输出噪声的平均功率；（3）输出噪声的一维概率密度函数。 图 P3-1 0 )(HcB2B2c01002001/2()()2()coscos(2)()3,(0) cnononnonoon BPRFPSaBSaNREtnBD解 ： （ ） 经 过 滤 波 器 后 ， 输 出 噪 声 的 功 率 谱 密 度 为 ：其 余故因 为 输 入 是 高 斯 噪 声 ， 所 以 输 出 仍 为 高 斯 噪 声 。 又 ， 所 以 ， 0200 ()1()exp()ontnBfxB故 输 出 噪
7、声 的 一 维 概 率 密 度 为 ：3-9 一个 RC 低通滤波器如图 P3-2 所示，假设输入是均值为 0、功率谱密度为 n0/2 的白噪声时，试求：（1）输出噪声的功率谱密度和自相关函数。（2）输出噪声的一维概率密度函数。图 P2-2 R C 20211()1()()()exp4noninoHjRCPRCRFP解 ： (1)低 通 滤 波 器 的 传 输 函 数 为经 过 滤 波 器 后 ， 输 出 噪 声 的 功 率 谱 密 度 为 ：故（2） ，20()noNC由题 3-8，输出噪声的一维概率密度函数为： 2002()exp()Rfxn3-10 一个 LR 低通滤波器如图 P3-3
8、所示，假设输入是均值为 0、功率谱密度为 n0/2 的白噪声时，试求：（1）输出噪声的自相关函数。（2）输出噪声的方差。图 P3- L R 解：（1）LR 低通滤波器的传输函数为1()HLjR输出噪声的功率谱密度为220()()nonPL10()()4RnonoRFfe（2） 0()4noRNL0)()4nonoRL3-11 设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为 ，脉冲幅度bT取 的概率相等。现假设任一间隔 内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且具1bT有宽平稳性，试证：（1）自相关函数1/()0bbRT（2）功率谱密度 2()()bbPSaf证明：这是一个等概率发送的
9、双极性矩形脉冲序列，可以证明（见第 6 章 138 页式（6.1-26 ）和 140 页例题 6-2）2()bbTSaf因为 ， 函数 门函数，两个 函数的乘积 两个门函数的卷积，()()PRSa可以证明自相关函数为一三角波。即1/()0bbT3-12 图 P3-4 为单个输入，两个输出的线性过滤器，若输入过程 是平稳的，试求()t和 的互功率谱密度的表达式。1()t2t图 P3-4解： 111222()*()()(thtthd()t1()ht2()t 1()t2()t12121212 2()()()()()()( jf jfjfjfPfFRedEthdthdhte 2() 212)()jf
10、jfehdEted () 2221*1()()()()jf jfjf jf jfReeeHPf 3-13 设平稳过程 的功率谱密度为 ，起自相关函数为 。试求功率Xt()XP()XR谱密度为001()()2XX所对应的过程的相关函数（其中， 为正常数） 。解：所求为100()()2XXFP002201()()2cos()jfjfjfjfXXjfXedefPR3-14 是功率谱密度为 的平稳随机过程，该过程通过图 P3-5 所示的系统。t()Xf（1）求出过程 是否平稳？()Yt（2）求 的功率谱密度。 ()Yt()Xt延时T相加 dt图 P3-5 解：（1）相加运算和微分运算都是线性运算，因为
11、“若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的” ，所以， 是平稳的。()Yt（2） 经过延时 T 后的信号为()Xt，所以)(jTtXte()(1)(jTddYeXtt 所以，系统传输函数为 ()jHe功率谱密度为2 2()()1cos)(YXXPTP3-15 设 是平稳随机过程，其自相关函数在 上为 ，是周Xt ,1)1R期为 的周期性函数。试求 的功率谱密度 ，并用图形表示。2()t()X解：将 按傅立叶级数展开：()XR 2jnfXnRCe00 0120121002()2()()cosinjnfnjf jnfCeded 00022()()22()20si()()insi1()i
12、n(jfnXjfjfnPfededf（图略。 ）20()nSaf期末试题精选与答案1平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而不同，其一维分布与 无关，二维分布只与 有关。2一个均值为零，方差为 的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量是 2过程，均值为 ，方差为 。3均值为零的平稳窄带高斯过程，其包络的一维分布是 ，其相位的一维分布是 。4白噪声在 上，随机变量之间不相关。5高斯过程通过线性系统以后是 过程。答案1时间 时间间隔2平稳高斯 0 2n3瑞利分布 均匀分布4同一时刻5高斯考研试题精选1双边功率谱密度为 的高斯白噪声，通过中心频率为 ，带宽为 的0/2ncf()cBf=理想带通滤波器，
13、其输出包络的一维概率密度函数为 。2功率谱密度为 的平稳过程的自相关函数为 001()()xxP。 3什么是广义平稳、狭义平稳？两者关系如何？4窄带高斯白噪声中的“窄带” 、 “ 高斯”和“白”的含义是什么？5已知 是一幅度调制信号，其中 为常数； 是零均值()cos()msttc()mt平稳随机基带信号， 的自相关函数和功率谱密度分别是 和 ；相位 为在()mRPf 区间服从均匀分布的岁机变量，并且 与 相互独立。,()t（1）试证明 是广义平稳的随机过程；()mst（2）试求 的功率谱密度 。()mPf6设信道噪声具有均匀的双边功率谱密度 ，接收滤波器的传输特性为0/2n()0ckfBfH
14、f其 他（1） 求滤波器的输出噪声功率谱密度和平均噪声功率（2） 求滤波器输入噪声的自相关函数和输出噪声的自相关函数答案1 ，其中 ， 。22()exp()vf20nBv2 ，其中0cosxR()xxPfR3狭义平稳过程：其任意 维分布与时间的起点无关，如一维分布与 无关，二维分t布只与 有关；广义平稳过程：其数学期望与 无关，而其相关函数仅与时间间隔21tt有关。两者关系：狭义平稳一定是广义平稳的，反之不一定成立。4 “窄带”的含义：（1）频带宽度远小于中心频率（ ） ， （2）中心频率原离零cBf=频（ ） ；0cf=“ 高斯”的含义：噪声的瞬时值服从正态分布；“白”的含义：噪声的功率谱密度在通带的范围 内是平坦的（为常数） 。5解：因为 与 独立()mtcos()()cos()0EstEmtt相关函数 (,)()cs)(cs()o)o1()2smcmcRtttttEtE因为均值与时间无关，相关函数只与时间间隔有关， 是广义平稳过程。()mst6解（1）功率谱密度2020 2()()cnnkfBfPfHf其 他平均功率 200()NPfd（2） ()nfR输入噪声的自相关函数： 0()()2nR输出噪声的自相关函数： 0cos2cBkSaf
