1、 6.4 数列求和、数列的综合应用,高考理数 (课标专用),考点一 数列求和 1.(2017课标全国,15,5分)等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则 = .,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,答案,解析 本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法求和. 设公差为d,则 an=n. 前n项和Sn=1+2+n= , = =2 , =2 1- + - + - =2 =2 = .,思路分析 求出首项a1和公差d,从而求出Sn. = =2 ,从而运用裂项相消法求和 即可. 解后反思 裂项相消法求和的常见类型: 若an是等差数列,则 = (d0); = ( - ); = - .,2
2、.(2018课标全国,17,12分)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值.,解析 (1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以an的通项公式为an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.,方法总结 求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法 (1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次函数的 最值. (2)邻项变号法: 当a10,d0时,满足 的项数m,
3、可使得Sn取得最小值,最小值为Sm.,3.(2016课标全国,17,12分)Sn为等差数列an的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=lg an,其中x表 示不超过x的最大整数,如0.9=0,lg 99=1. (1)求b1,b11,b101; (2)求数列bn的前1 000项和.,解析 (1)设an的公差为d,据已知有7+21d=28, 解得d=1. 所以an的通项公式为an=n. b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2. (6分) (2)因为bn= (9分) 所以数列bn的前1 000项和为190+2900+31=1 893. (12分),思路分析 (1)
4、利用已知条件求出数列an的公差,进而求出数列an的通项公式,然后求b1,b11, b101; (2)找出数列bn项的规律,然后求数列bn的前1 000项和.,疑难突破 (2)充分理解x的含义,求出bn的表达式,从而求出bn的前1 000项和.,考点二 数列的综合应用 1.(2017课标全国,12,5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大 家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下 面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是20,接下来的两项是2 0,21,再接下来的三项是2
5、0,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 ( ) A.440 B.330 C.220 D.110,答案 A 本题考查了等比数列求和、不等式以及逻辑推理能力. 不妨设1+(1+2)+(1+2+2n-1)+(1+2+2t)=2m(其中m、n、tN,0tn), 则有N= +t+1,因为N100,所以n13. 由等比数列的前n项和公式可得2n+1-n-2+2t+1-1=2m. 因为n13,所以2nn+2, 所以2n+12n+n+2,即2n+1-n-22n, 因为2t+1-10, 所以2m2n+1-n-22n,故mn+1, 因
6、为2t+1-12n+1-1,所以2m2n+2-n-3,故mn+1. 所以m=n+1,从而有n=2t+1-3,因为n13,所以t3. 当t=3时,N=95,不合题意; 当t=4时,N=440,满足题意,故所求N的最小值为440.,解题关键 解决本题的关键在于利用不等式的知识得出m=n+1. 一题多解 本题也可以分别把N=110,220,330代入,利用排除法求解.,2.(2015课标全国,17,12分,0.624)Sn为数列an的前n项和.已知an0, +2an=4Sn+3. (1)求an的通项公式; (2)设bn= ,求数列bn的前n项和.,解析 (1)由 +2an=4Sn+3,可知 +2an
7、+1=4Sn+1+3. 可得 - +2(an+1-an)=4an+1,即 2(an+1+an)= - =(an+1+an)(an+1-an). 由于an0,可得an+1-an=2. 又 +2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3. 所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1. (6分) (2)由an=2n+1可知 bn= = = . 设数列bn的前n项和为Tn,则 Tn=b1+b2+bn = = . (12分),方法总结 解决数列求和问题的两种思路 (1)利用转化的思想将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解 或错位相减来完成. (2)
8、不能转化为等差或等比数列的,往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和.,2.(2014山东,19,12分)已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列. (1)求数列an的通项公式; (2)令bn=(-1)n-1 ,求数列bn的前n项和Tn.,解析 (1)因为S1=a1,S2=2a1+ 2=2a1+2, S4=4a1+ 2=4a1+12, 由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12), 解得a1=1, 所以an=2n-1. (2)bn=(-1)n-1 =(-1)n-1 =(-1)n-1 . 当n为偶数时, Tn= - + - =1- = . 当n为奇数时, Tn=
9、- +- + + + =1+ = .,所以Tn=,3.(2017天津,18,13分)已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且 公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求an和bn的通项公式; (2)求数列a2nb2n-1的前n项和(nN*).,方法总结 (1)等差数列与等比数列中有五个量a1,n,d(或q),an,Sn,一般可以“知三求二”,通过 列方程(组)求关键量a1和d(或q),问题可迎刃而解. (2)数列an是公差为d的等差数列,bn是公比q1的等比数列,求数列anbn的前n项和适用错 位相减法.,考点二 数列的综合
10、应用 1.(2015福建,8,5分)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适 当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9,答案 D 由题可知a,b是x2-px+q=0的两根, a+b=p0,ab=q0,故a,b均为正数. a,b,-2适当排序后成等比数列, -2是a,b的等比中项,得ab=4,q=4. 又a,b,-2适当排序后成等差数列, 所以-2是第一项或第三项,不妨设a0,a=1,此时b=4, p=a+b=5,p+q=9,选D.,2.(2018江苏,14,5分)已知集合A=x
11、|x=2n-1,nN*,B=x|x=2n,nN*.将AB的所有元素从小到 大依次排列构成一个数列an.记Sn为数列an的前n项和,则使得Sn12an+1成立的n的最小值为 .,答案 27,解析 本题考查数列的插项问题. 设An=2n-1,Bn=2n,nN*,当AkBlAk+1(k,lN*)时, 2k-12l2k+1,有k- 2l-1k+ ,则k=2l-1, 设Tl=A1+A2+ +B1+B2+Bl, 则共有k+l=2l-1+l个数,即Tl= , 而A1+A2+ = 2l-1=22l-2, B1+B2+Bl= =2l+1-2. 则Tl=22l-2+2l+1-2,则l,Tl,n,an+1的对应关系
12、为,观察到l=5时,Tl=S2112a39, 则n22,38),nN*时,存在n,使Sn12an+1, 此时T5=A1+A2+A16+B1+B2+B3+B4+B5, 则当n22,38),nN*时,Sn=T5+ =n2-10n+87. an+1=An+1-5=An-4, 12an+1=122(n-4)-1=24n-108, Sn-12an+1=n2-34n+195=(n-17)2-94, 则n27时,Sn-12an+10,即nmin=27.,3.(2017北京,10,5分)若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则 = .,答案 1,解析 本题考查等差数列、等比数列的基
13、础知识,考查运算求解能力. 设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q. a1=b1=-1,a4=b4=8, a2=2,b2=2. = =1.,4.(2018江苏,20,16分)设an是首项为a1,公差为d的等差数列,bn是首项为b1,公比为q的等比数 列. (1)设a1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围; (2)若a1=b10,mN*,q(1, ,证明:存在dR,使得|an-bn|b1对n=2,3,m+1均成立,并求d的 取值范围(用b1,m,q表示).,解析 本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推
14、理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力. (1)由条件知an=(n-1)d,bn=2n-1. 因为|an-bn|b1对n=1,2,3,4均成立, 即11,1d3,32d5,73d9,得 d . 因此,d的取值范围为 . (2)由条件知:an=b1+(n-1)d,bn=b1qn-1. 若存在dR,使得|an-bn|b1(n=2,3,m+1)均成立, 即|b1+(n-1)d-b1qn-1|b1(n=2,3,m+1). 即当n=2,3,m+1时,d满足 b1d b1. 因为q(1, ,所以10,对n=2,3,m+1均成立. 因此,取d=0时,|an-bn|b1对n=2,3,m+1均成立
15、.,疑难突破 本题是数列的综合题,考查等差数列、等比数列的概念和相关性质,第(1)问主要考 查绝对值不等式.第(2)问要求d的范围,使得|an-bn|b1对n=2,3,m+1都成立,首先把d分离出来, 变成 b1d b1,难点在于讨论 b1的最大值和 b1的最小值.对于数列,可以通过作差讨论其单调性,而对于数列 ,要作商讨论单调性, = = q ,当2nm时,1qn2.q ,可以构造函数f(x)=2x(1-x),通过讨论f(x)在 (0,+)上的单调性去证明f 1,得到数列 的单调性,解出最小值.两个数列,一个作差 得到单调性,一个作商得到单调性,都是根据数列本身结构而得,方法自然合理,最后构
16、造函数 判断 与1的大小是难点,平时多积累,多思考,也是可以得到的.,5.(2017山东,19,12分)已知xn是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2. (1)求数列xn的通项公式; (2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2Pn +1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn.,解析 本题考查等比数列基本量的计算,错位相减法求和. (1)设数列xn的公比为q,由已知知q0. 由题意得 所以3q2-5q-2=0. 因为q0, 所以q=2,x1=1. 因此数列xn
17、的通项公式为xn=2n-1. (2)过P1,P2,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,Qn+1. 由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1, 记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn, 由题意bn= 2n-1=(2n+1)2n-2, 所以Tn=b1+b2+bn =32-1+520+721+(2n-1)2n-3+(2n+1)2n-2, 2Tn=320+521+722+(2n-1)2n-2+(2n+1)2n-1.,-得 -Tn=32-1+(2+22+2n-1)-(2n+1)2n-1 = + -(2n+1)2n-1. 所以Tn= .,解题关键 记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积
18、为bn,以几何图形为背景确定bn的通项公式是关键.,方法总结 一般地,如果an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错 位相减法.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确 写出“Sn-qSn”的表达式.,6.(2016天津,18,13分)已知an是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的nN*,bn是an和an +1的等比中项. (1)设cn= - ,nN*,求证:数列cn是等差数列; (2)设a1=d,Tn= (-1)k ,nN*,求证: .,解析 (1)证明:由题意得 =anan+1,有cn= - =an+1an+2-anan
19、+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2, 所以cn是等差数列. (2)证明:Tn=(- + )+(- + )+(- + ) =2d(a2+a4+a2n)=2d =2d2n(n+1). 所以 = = = .,7.(2015安徽,18,12分)设nN*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标. (1)求数列xn的通项公式; (2)记Tn= ,证明:Tn .,解析 (1)y=(x2n+2+1)=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2. 从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1). 令y=0
20、,解得切线与x轴交点的横坐标xn=1- = . (2)证明:由题设和(1)中的计算结果知 Tn= = . 当n=1时,T1= . 当n2时,因为 = = = = . 所以Tn = . 综上可得对任意的nN*,均有Tn .,8.(2015四川,16,12分)设数列an(n=1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)记数列 的前n项和为Tn,求使得|Tn-1| 成立的n的最小值.,9.(2015天津,18,13分)已知数列an满足an+2=qan(q为实数,且q1),nN*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a
21、 4,a4+a5成等差数列. (1)求q的值和an的通项公式; (2)设bn= ,nN*,求数列bn的前n项和.,考点一 数列求和 1.(2016北京,12,5分)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= .,C组 教师专用题组,答案 6,解析 设等差数列an的公差为d,a1=6,a3+a5=0, 6+2d+6+4d=0,d=-2,S6=66+ (-2)=6.,2.(2015江苏,11,5分)设数列an满足a1=1,且an+1-an=n+1(nN*),则数列 前10项的和为 .,答案,解析 由已知得,a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,
22、an-an-1=n-1+1(n2),则有an-a1=1+2+3+n-1 +(n-1)(n2),因为a1=1,所以an=1+2+3+n(n2),即an= (n2),又当n=1时,a1=1也适合上 式,故an= (nN*),所以 = =2 ,从而 + + + =2 +2+2 +2 =2 = .,3.(2012课标全国,16,5分)数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,则an的前60项和为 .,答案 1 830,解析 当n=2k时,a2k+1+a2k=4k-1,当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3, a2k+1+a2k-1=2,a2k+3+a2k+1=2, a2k-1=a2k+3
23、, a1=a5=a61. a1+a2+a3+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+(a60+a61)=3+7+11+(260-1)= =3061=1 8 30.,评析 本题考查了数列求和及其综合应用,考查了分类讨论及等价转化的数学思想.,4.(2011课标,17,12分)等比数列an的各项均为正数,且2a1+3a2=1, =9a2a6. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列 的前n项和.,解析 (1)设数列an的公比为q. 由 =9a2a6得 =9 ,所以q2= . 由条件可知q0,故q= . 由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1
24、,所以a1= . 故数列an的通项公式为an= . (2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=- . 故 =- =-2 ,+ + =-2 + + =- . 所以数列 的前n项和为- .,评析 本题主要考查等比数列的通项公式以及裂项求和的基本方法,属容易题.,考点二 数列的综合应用 1.(2013课标全国,12,5分,0.245)设AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,AnBnCn的面积为Sn,n=1,2, 3,.若b1c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1= ,cn+1= ,则 ( ) A.Sn为递减数列 B.Sn为递增数列 C.S2n-1为递增
25、数列,S2n为递减数列 D.S2n-1为递减数列,S2n为递增数列,答案 B 由bn+1= ,cn+1= 得 bn+1+cn+1=an+ (bn+cn), (*) bn+1-cn+1=- (bn-cn), 由an+1=an得an=a1,代入(*)得bn+1+cn+1=a1+ (bn+cn), bn+1+cn+1-2a1= (bn+cn-2a1), b1+c1-2a1=2a1-2a1=0,bn+cn=2a1|BnCn|=a1,所以点An在以Bn、Cn为焦点且长轴长为2a1的椭圆 上(如图).由b1c1得b1-c10,所以|bn+1-cn+1|= (bn-cn),即|bn-cn|=(b1-c1)
26、,所以当n增大时|bn-cn|变 小,即点An向点A处移动,即边BnCn上的高增大,又|BnCn|=an=a1不变,所以Sn为递增数列.,思路分析 由an+1=an,可知AnBnCn的边BnCn的长为定值a1,易知bn+cn=2a1,由此知,An在以Bn、Cn 为焦点的椭圆上,利用极限思想可求得结果.,2.(2015浙江,20,15分)已知数列an满足a1= 且an+1=an- (nN*). (1)证明:1 2(nN*); (2)设数列 的前n项和为Sn,证明: (nN*). 证明 (1)由题意得an+1-an=- 0,即an+1an, 故an . 由an=(1-an-1)an-1得an=(1
27、-an-1)(1-an-2)(1-a1)a10. 由0an 得 = = 1,2, 即1 2. (2)由题意得 =an-an+1,所以Sn=a1-an+1. 由 - = 和1 2得1 - 2, 所以n - 2n,因此 an+1 (nN*). 由得 (nN*).,考点一 数列求和 1.(2017吉林长春二模,6)设an是公差不为零的等差数列,满足 + = + ,则该数列的前10 项和等于 ( ) A.-10 B.-5 C.0 D.5,三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,答案 C 设等差数列an的公差为d(d0), 由 + = + ,得(a1+3d)2+(a1+4d)2=(a1+5d
28、)2+(a1+6d)2, 整理得2a1+9d=0,即a1+a10=0,S10= =0.故选C.,2.(2017内蒙古呼和浩特一模,7)等差数列an中,a2=8,前6项和S6=66,设bn= ,Tn=b1+b2+ bn,则Tn= ( ) A.1- B.1- C. - D. -,答案 D 设等差数列an的公差为d,a2=8,S6=66, a1+d=8,6a1+ d=66, 解得a1=6,d=2.an=6+2(n-1)=2n+4. bn= = = - , Tn=b1+b2+bn= + + = - .故选D.,3.(2018重庆二模,17)将函数f(x)=2sin + cos x在区间(0,+)内的全
29、部极值点按从小到 大的顺序排成数列an(nN*). (1)求数列an的通项公式; (2)设bn= ,数列bn的前n项和为Tn,求Tn的表达式.,解析 (1)函数f(x)=2sin + cos x=2sin xcos -2cos xsin + cos x=sin x. 当x=k+ (kZ)时,函数取得极值,又x0, 所以数列an是以 为首项,为公差的等差数列, 则数列的通项公式为an= +(n-1)= . (2)由(1)得出bn= = - , 所以Tn=b1+b2+b3+bn=2 1- + - + - =2- = .,4.(2018新疆乌鲁木齐二模,17)设数列an是等差数列,数列bn是各项都为
30、正数的等比数列,且 a1=1,b1=2,a3+b3=11,a5+b5=37. (1)求数列an,bn的通项公式; (2)设cn=anbn,数列cn的前n项和为Tn,求证Tnn22n-1+2.,解析 (1)设数列an的公差为d,数列bn的公比为q, a1=1,b1=2,a3+b3=11,a5+b5=37, 解得 又bn0,q=2, 于是an=a1+(n-1)d=n,bn=b1qn-1=2n. (2)证明:易知cn=n2n, Tn=12+222+323+n2n, 2Tn=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1, 两式相减,得-Tn=2+22+23+2n-n2n+1=(1-n)2n+1-
31、2, Tn=(n-1)2n+1+2, Tn-(n22n-1+2)=-2n-1(n-2)20, Tnn22n-1+2.,5.(2017辽宁抚顺一模)已知等差数列an的公差d0,且a1a6=11,a3+a4=12. (1)求数列an的通项公式; (2)求数列 的前n项和Tn.,解析 (1)a1a6=11,a3+a4=12=a1+a6,a1,a6是方程x2-12x+11=0的两根,且a1a6,解得a1=1,a6=11. 11-1=5d,即d=2,an=2n-1. (2) = - ,数列 的前n项和 Tn= + + = - .,6.(2018甘肃兰州诊断,17)已知数列an满足an=2n-1. (1)
32、求数列an的前n项和; (2)设数列bn满足bn= ,求数列anbn的前n项和Tn.,解析 (1)an=2n-1, 数列an是首项为1,公差为2的等差数列, 所以Sn= =n2. (2)设数列bn满足bn= =22n=4n,则anbn的通项公式为cn=(2n-1)4n, 则Tn=141+342+(2n-1)4n, 4Tn=142+343+(2n-1)4n+1, -得:-3Tn=2(41+42+4n)-(2n-1)4n+1-4. 整理得:Tn= 4n+ .,考点二 数列的综合应用 1.(2018甘肃兰州新亚中学4月模拟,8)设数列an的前n项和为Sn,已知a1= ,an+1=则S2 018等于
33、( ) A. B. C. D.,答案 B a1= ,a2=2 -1= ,a3=2 -1= ,a4=2 = ,a5=2 = , 数列an是以4为周期的周期数列, a1+a2+a3+a4= + + + =2, S2 018=504(a1+a2+a3+a4)+a1+a2=1 008+ = .故选B.,2.(2016内蒙古包头模拟)公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn,若a3是a2与a6的等比中项, 则 = ( ) A. B. C.1 D.2,答案 C 设等差数列an的公差为d,则d0. a3是a2与a6的等比中项, (a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),2a1d+d2=0, d0,d=-
34、2a1,S3=3a1+ 32d=-3a1,a3=a1+2d=-3a1, =1,故选C.,3.(2018宁夏育才中学二模,17)已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn,且满足a3a4=11 7,a2+a5=22. (1)求通项an; (2)若数列bn满足bn= ,是否存在非零实数c,使得bn为等差数列?若存在,求出c的值;若不 存在,请说明理由.,解析 (1)由等差数列的性质,得a3+a4=a2+a5=22, 又a3a4=117,a3、a4是方程x2-22x+117=0的解, 结合公差大于零,解得a3=9,a4=13, 公差d=a4-a3=13-9=4,首项a1=a3-2d=1. 因此,数
35、列an的通项an=a1+(n-1)d=1+4(n-1)=4n-3. (2)由(1)知:Sn= =2n2-n, 所以bn= = .故b1= ,b2= ,b3= . 令2b2=b1+b3,即 = + ,化简得2c2+c=0. 因为c0,故c=- ,此时bn= =2n. 当n2时,bn-bn-1=2n-2(n-1)=2,符合等差数列的定义, 当n=1时,b1=2,当c=- 时,bn是以2为首项、2为公差的等差数列.,4.(2018陕西西安二模,17)已知Sn为数列an的前n项和,且满足Sn-2an=n-4. (1)证明Sn-n+2为等比数列; (2)设数列Sn的前n项和为Tn,求Tn.,解析 (1)
36、Sn-2an=n-4,an=Sn-Sn-1(n2), 当n2时Sn-2(Sn-Sn-1)=n-4,整理得Sn-n+2=2Sn-1-(n-1)+2, n=1时,a1-2a1=1-4,解得a1=3,S1-1+2=4. Sn-n+2是首项为4,公比为2的等比数列. (2)由(1)知:Sn-n+2=2n+1,可得Sn=2n+1+n-2. 于是Tn=(22+23+2n+1)+(1+2+n)-2n = + -2n =2n+2-4+ .,5.(2017辽宁抚顺一模,17)已知数列an的前n项和Sn=n2+an-1,且a1,a4是等比数列bn的前两项, 记bn与bn+1之间包含的数列an的项数为cn,如b1与
37、b2之间包含的an中的项为a2,a3,则c1=2. (1)求数列an和bn的通项公式; (2)求数列ancn的前n项和.,解析 (1)易知,Sn=n2+an-1,Sn-1=(n-1)2+an-1-1(n2),两式作差得an=2n-1+an-an-1(n2),即an-1=2n-1(n 2).所以an=2n+1,则a1=3,a4=9, 所以b1=3,b2=9,所以公比q= =3,所以bn=b1qn-1=3n. (2)由(1)知bn=3n,bn+1=3n+1,因为数列an是由连续的奇数组成的数列,而bn和bn+1都是奇数,所以bn 与bn+1之间包含的奇数个数为 -1=3n-1,所以cn=3n-1.
38、 ancn=(2n+1)(3n-1)=(2n+1)3n-(2n+1).设(2n+1)3n的前n项和为Tn,则Tn=331+532+(2n+1)3n, 3Tn=332+533+(2n+1)3n+1,-,得-2Tn=9+2 -(2n+1)3n+1=-2n3n+1, 则Tn=n3n+1, 所以数列ancn的前n项和为Tn-Sn=n3n+1-n2-2n.,6.(2017吉林二模,17)已知数列an是等比数列,Sn为数列an的前n项和,且a3=3,S3=9. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=log2 ,且bn为递增数列,若cn= , 求证:c1+c2+c3+cn1.,解析 (1)设数列an的
39、公比为q, 当q=1时,a1=a3=3,S3=9,符合条件.an=3. 当q1时,有 即 解得a1=12,q=- ,所以an=12 . 综上所述:an=3或an=12 . (2)证明:若an=3,则bn=0,与题意不符.则an=12 , 故a2n+3=12 =3 ,故bn=log2 =2n,故cn= = - , 故c1+c2+c3+cn=1- + - + - =1- 1.,思路分析 (1)设数列an的公比为q,根据已知条件求解即可; (2)讨论可知a2n+3=3 ,从而可得bn=2n,进而可求得cn= - ,利用裂项相消法求和. 易错警示 注意等比数列前n项和公式Sn= 易忽略q=1的情形.,
40、1.(2018辽宁沈阳一模,12)在各项都为正数的等比数列an中,若a1=2,且a1a5=64,则数列 的前n项和是 ( ) A.1- B.1- C.1- D.1-,一、选择题（每小题5分，共5分）,B组 20162018年高考模拟综合题组 (时间：50分钟 分值：80分),答案 A 设等比数列an的公比为q,q0. a1=2,且a1a5=64,4q4=64,解得q=2,则an=2n,可得数列 即为 , = - , 数列 的前n项和是 - + - + - =1- ,故 选A.,思路分析 运用等比数列的通项公式,解方程求得公比q,可得数列an的通项公式为an=2n,由 = - ,裂项相消求和,整
41、理即可得到所求前n项和.,解题关键 先对数列 的通项公式进行变形,再利用裂项相消求和是本题的关 键.,2.(2018甘肃武威一中二模,17)已知数列an的前n项和为Sn,an0且满足an=2Sn- - (nN*). (1)求数列an的通项公式; (2)求数列 的前n项和Tn.,二、解答题（共75分）,思路分析 (1)由已知数列递推式求得a1=1,且得到 +2an+1=4Sn,则 +2an+1+1=4Sn+1,两式相减 可得(an+1+an)(an+1-an-2)=0,结合an0得到an+1-an=2,说明数列an是以1为首项,2为公差的等差数 列,则数列an的通项公式可求;(2)直接利用错位相
42、减法求数列 的前n项和Tn.,3.(2017吉林长春联考,19)已知数列an是等比数列,首项a1=1,公比q0,其前n项和为Sn,且S1+a1,S 3+a3,S2+a2成等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足bn= ,求数列bn的前n项和Tn.,解析 (1)因为S1+a1,S3+a3,S2+a2成等差数列, 所以2(S3+a3)=(S1+a1)+(S2+a2),所以(S3-S1)+(S3-S2)+2a3=a1+a2,所以4a3=a1,因为数列an是等比数 列,所以 = =q2,又q0,所以q= ,所以数列an的通项公式为an= . (2)由(1)知bn=n2n-1,Tn
43、=120+221+322+n2n-1,2Tn=121+222+(n-1)2n-1+n2n, 所以-Tn=120+(2-1)21+(3-2)22+n-(n-1)2n-1-n2n=20+21+22+2n-1-n2n= -n2n=(1-n)2n- 1.故Tn=(n-1)2n+1.,思路分析 (1)利用等差中项及等比数列的定义即可得出an的表达式; (2)利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可求解.,4.(2017黑龙江哈尔滨六中模拟)已知等差数列an中,Sn为其前n项和,且a7=9,S7=42. (1)求a15与S20; (2)数列cn中cn=2nan,求数列cn的前n项和Tn.,解析 (1
44、)设等差数列an的公差为d,则由a7=9,S7=42 得 解得 则数列an的通项公式为an=n+2, a15=17,S20=203+ 1=250. (2)由(1)知,cn=2nan=(n+2)2n, 则Tn=32+422+523+(n+2)2n, 2Tn=322+423+524+(n+2)2n+1, -得,-Tn=32+22+23+24+2n-(n+2)2n+1=4+(2+22+23+24+2n)-(n+2)2n+1=4+ -(n+2)2 n+1,整理得,Tn=(n+1)2n+1-2.,解题关键 把数列an的通项公式代入cn=2nan中,利用错位相减法求Tn.,5.(2017甘肃兰大附中模拟,
45、18)已知数列an满足a1=1,an+1=2Sn+1,其中Sn为an的前n项和,nN*. (1)求an; (2)若数列bn满足bn= ,bn的前n项和为Tn,且对任意的正整数n都有Tnm, 求m的最小值.,解析 (1)数列an满足a1=1,an+1=2Sn+1,n2时,an=2Sn-1+1,相减可得,an+1-an=2an,即an+1=3an(n2), 令n=1,得a2=3,a2=3a1,数列an是等比数列,公比为3,首项为1,an=3n-1. (2)bn= = = = , Tn= + + + + = = - .对任意的正整数n都有Tnm, - m,m ,m的最小值为 . 易错警示 由an+1
46、=3an(n2)不可直接判定an为等比数列,必须先求a2与a1的关系,再进一步下 结论.,6.(2017新疆乌鲁木齐二模)已知数列an的前n项和Sn= (an-1),数列bn满足bn+2=2bn+1-bn,且b6=a 3,b60=a5,其中nN*. (1)求数列an,bn的通项公式; (2)若cn=(-1)nbnbn+1,求数列cn的前n项和Tn.,解析 (1)Sn= (an-1),n2时,an=Sn-Sn-1= (an-1)- (an-1-1),整理得an=3an-1.当n=1时,a1= (a1- 1),解得a1=3. 数列an是等比数列,首项与公比都为3,an=3n. b6=a3=33=2
47、7,b60=a5=243,数列bn满足bn+2=2bn+1-bn,即bn+2+bn=2bn+1, 数列bn是等差数列,设公差为d,则b1+5d=27,b1+59d=243.解得b1=7,d=4,bn=7+4(n-1)=4n+3. (2)cn=(-1)nbnbn+1=(-1)n(4n+3)(4n+7), c2k-1+c2k=-(8k-1)(8k+3)+(8k+3)(8k+7)=64k+24, n=2k(kN*)时,数列cn的前n项和Tn=T2k=(c1+c2)+(c3+c4)+(c2k-1+c2k)=64(1+2+k)+24k= 64 +24k=32k2+56k=8n2+28n. n=2k-1(kN*)时,T2k-1=T2k-2+c2k-1=8(n-1)2+28(n-1)-(8k-1)(8k+3)=8(n-1)2+28(n-1)-(4n+3)(4n+7)=-8n2 -28n-41. Tn=,
