1、2d35dc0e2df931ca95d3e5cfbca587d7.pdf Page 1 of 7快乐课堂学数学-多余老师趣讲“统计”本讲义非常特别，虽然是专为高一学生写的，但各位家长和小学生、初中生都值得一看，可以对“现代学校课程学习”有更全面的了解，知道“语文”学的是什么？数学学的是什么？英语学的是什么？物理学的是什么？政治、历史、地理、化学、生物，又是学的是什么？一、 “统计”概述统计：指对某一现象有关的数据的搜集、整理、计算和分析等的活动。即大量数据的收集、分析、解释和表述。汉语中的“统计”有合计、总计的意思“统计”一词，英语为 statistics，用作复数名词时，意思是统计资料，作单
2、数名词时，指的是统计学。statistics 起源于国情调查，最早意为国情学，即“政治算术” 。统计学是应用数学的一个分支，主要通过利用概率论建立数学模型，收集所观察系统的数据，进行量化的分析、总结，并进而进行推断和预测，为相关决策提供依据和参考。它被广泛的应用在各门学科之上，从物理和社会科学到人文科学，甚至被用来工商业及政府的情报决策之上。统计学主要又分为描述统计学和推断统计学。给定一组数据，统计学可以摘要并且描述这份数据，这个用法称作为描述统计学。另外，观察者以数据的形态建立出一个用以解释其随机性和不确定性的数学模型，以之来推论研究中的步骤及母体，这种用法被称做推论统计学。这两种用法都可以
3、被称作为应用统计学。另外也有一个叫做数理统计学的学科专门用来讨论这门科目背后的理论基础。20世纪初以来，科学技术迅猛发展，社会发生了巨大变化，统计学进入了快速发展时期。归纳起来有以下几个方面。1、由记述统计向推断统计发展。记述统计是对所搜集的大量数据资料进行加工整理、综合概括，通过图示、列表和数字，如编制次数分布表、绘制直方图、计算各种特征数等，对资料进行分析和描述。而推断统计，则是在搜集、整理观测的样本数据基础上，对有关总体作出推断。其特点是根据带随机性的观测样本数据以及问题的条件和假定（模型） ，而对未知事物作出的，以概率形式表述的推断。目前，西方国家所指的科学统计方法，主要就是指推断统计
4、来说的。2、由社会、经济统计向多分支学科发展。在20世纪以前，统计学的领域主要是人口统计、生命统计、社会统计和经济统计。随着社会、经济和科学技术的发展，到今天，统计的范畴已覆盖了社会生活的一切领域，几乎无所不包，成为通用的方法论科学。它被广泛用于研究社会和自然界的各个方面，并发展成为有着许多分支学科的科学。3、统计预测和决策科学的发展。传统的统计是对已经发生和正在发生的事物进行统计，提供统计资料和数据。20世纪30年代以来，特别是第二次世界大战以来，由于经济、社会、军事等方面的客观需要，统计预测和统计决策科学有了很大发展，使统计走出了传统的领域而被赋予新的意义和使命。2d35dc0e2df93
5、1ca95d3e5cfbca587d7.pdf Page 2 of 74、信息论、控制论、系统论与统计学的相互渗透和结合，使统计科学进一步得到发展和日趋完善。信息论、控制论、系统论在许多基本概念、基本思想、基本方法等方面有着共同之处，三者从不同角度、侧面提出了解决共同问题的方法和原则。三论的创立和发展，彻底改变了世界的科学图景和科学家的思维方式，也使统计科学和统计工作从中吸取了营养，拓宽了视野，丰富了内容，出现了新的发展趋势。5、计算技术和一系列新技术、新方法在统计领域不断得到开发和应用。近几十年间，计算机技术不断发展，使统计数据的搜集、处理、分析、存贮、传递、印制等过程日益现代化，提高了统计
6、工作的效能。计算机技术的发展，日益扩大了传统的和先进的统计技术的应用领域，促使统计科学和统计工作发生了革命性的变化。如今，计算机科学已经成为统计科学不可分割组成部分。随着科学技术的发展，统计理论和实践深度和广度方面也不断发展。6统计在现代化管理和社会生活中的地位日益重要。统计在现代化国家管理和企业管理中的地位，在社会生活中的地位，越来越重要了。人们的日常生活和一切社会生活都离不开统计。英国统计学家哈斯利特说：“统计方法的应用是这样普遍，在我们的生活和习惯中，统计的影响是这样巨大，以致统计的重要性无论怎样强调也不过分。 ”甚至有的科学有还把我们的时代叫做“统计时代” 。显然，20世纪统计科学的发
7、展及其未来，已经被赋予了划时代的意义。统计学现状在科学技术飞速发展的今天，统计学广泛吸收和融合相关学科的新理论，不断开发应用新技术和新方法，深化和丰富了统计学传统领域的理论与方法，并拓展了新的领域。今天的统计学已展现出强有力的生命力。在我国，社会主义市场经济体制的逐步建立，实践发展的需要对统计学提出了新的更多、更高的要求。随着我国社会主义市场经济的成长和不断完善，统计学的潜在功能将得到更充分更完满的开掘。第一，对系统性及系统复杂性的认识为统计学的未来发展增加了新的思路。由于社会实践广度和深度迅速发展，以及科学技术的高度发展，人们对客观世界的系统性及系统的复杂性认识也更加全面和深入。随着科学融合
8、趋势的兴起，统计学的研究触角已经向新的领域延伸，新兴起了探索性数据的统计方法的研究。研究的领域向复杂客观现象扩展。21世纪统计学研究的重点将由确定性现象和随机现象转移到对复杂现象的研究。如模糊现象、突变现象及混沌现象等新的领域。可以这样说，复杂现象的研究给统计开辟了新的研究领域。第二，定性与定量相结合的综合集成法将为统计分析方法的发展提供新的思想。定性与定量相结合的综合集成方法是钱学森教授于1990年提出的。这一方法的实质就是将科学理论、经验知识和专家判断相结合，提出经验性的假设，再用经验数据和资料以及模型对它的确实性进行检测，经过定量计算及反复对比，最后形成结论。它是研究复杂系统的有效手段，
9、而且在问题的研究过程中处处渗透着统计思想，为统计分析方法的发展提供了新的思维方式。第三，统计科学与其他科学渗透将为统计学的应用开辟新的领域。现代科学发展已经出现了整体化趋势，各门学科不断融合，已经形成一个相互联系的统一整2d35dc0e2df931ca95d3e5cfbca587d7.pdf Page 3 of 7体。由于事物之间具有的相互联系性，各学科之间研究方法的渗透和转移已成为现代科学发展的一大趋势。许多学科取得的新的进展为其他学科发展提供了全新的发展机遇。模糊论、突变论及其他新的边缘学科的出现为统计学的进一步发展提供了新的科学方法和思想。将一些尖端科学成果引入统计学，使统计学与其交互发
10、展将成为未来统计学发展的趋势。统计学也将会有一个令人振奋的前景。今天已经有一些先驱者开始将控制论、信息论、系统论以及图论、混沌理论、模糊理论等方法和理论引入统计学，这些新的理论和方法的渗透必将会给统计学的发展产生深远的影响。统计学产生于应用，在应用过程中发展壮大。随着经济社会的发展、各学科相互融合趋势的发展和计算机技术的迅速发展，统计学的应用领域、统计理论与分析方法也将不断发展，在所有领域展现它的生命力和重要作用。二、 “统计”的核心通过前面对统计的了解，应当知道，统计玩的就是“数据” 。统计学就是把“数据”玩得更加”真实、有用” 。“真实”体现在“数据”的搜集、整理环节， “有用”则体现在“
11、数据”的分析和解释。所以，在本单元的学习，要注意相关知识点玩的是“数据”的什么环节？起什么作用？为什么要这样？可以算一种方式方法吗？三、 “数据”的搜集数据搜集的原则是“真实” 。但由于实际情况，一些数据不可能完全逐一获取，或者是完全逐一获取的难度较大，与数据的“有用”不匹配。为了使搜集的数据，更加接近“真实” ，于是“抽样”出现了。搜集数据，应该坚持“真实”这一科学原则，但这一原则不能违反“尊重生命”的最高人类原则。当搜集数据与生命、健康、价值有关时，必须“抽样” ，并且“抽样”要尽可能少，这就是“科学抽样”的来源。比如搜集电子产品使用寿命的数据，则于搜集数据时，将使电子产品“丧失价值” ，
12、相当于“失去生命” 。再比如搜集新药品的疗效数据，将可能会危及“健康” ，以至于危及“生命” 。所以，各国对药品的研制，都有非常严格的规范程序。首先，进行实验室数据搜集，从而做出理论判断。然后，进行动物活体数据搜集，从而做出初步实际判断。这些动物是做为人类的替代品参与实验，如果你将来的专业或职业与此有关，请善待它们，它们是为人类而献身。最后，进行人体活体数据搜集，在此环节，各国都制订了非常严苛的实验要求，以求确保参与实验人的“健康和生命” 。一些无良的科学家，如法西斯的使人“丧失健康和生命”的人体活体实验，西方一些无良的制药公司，在贫困国家进行不符合严苛要求的“医疗实验治疗”等等，虽然人对于数
13、据搜集做到了“真实”这一科学原则，却违背了“尊重生命”这一人类最高原则，必将受到一切有良知的人类的“唾弃”！在小学和初中阶段，接触到的统计数据，都是“普查” ，即获取全部数据。高中开始接触的数据，就开始出现“抽样” 。2d35dc0e2df931ca95d3e5cfbca587d7.pdf Page 4 of 7“抽样”的科学原则是“随机” 。即“总体”中各个“样本”被抽取的“概率相同” 。当“总体”不大时且差异不明显时，称为“简单随机抽样” 。当“总体”比较大、且差异不明显时，称为“系统抽样” 。即将“总体”按预先“规则”分成几部分，对每部分仍然是“简单随机抽样” 。当“总体”呈现明显差异时
14、，称为“分层抽样” 。即将“总体”按“差异”情况分成几部分，对每部分还仍然是“简单随机抽样”或“系统抽样” 。对于数据搜集难度大的情况，一般情况下“抽样” ，但仍应合理安排“普查” ，以及做到“真实” 。在日常有关讯息中，有人之所以“被幸福” 、 “被住房面积大” 、 “被收入高”等，就是应该“分层抽样” ，却没有“分层” ，而只是“系统” ；或者是应该“普查” ，而只是“抽样” 。所以，我们对各种公布的“数据” ，要有“理性”的眼光来评判。三、 “数据”的整理在数据收集，要使用统计“表” 。在数据整理时，则不但要使用统计“表” ，还要更多使用各种统计“图” 。这正是“数形结合思想”的实际应用
15、， “数” “表”准确，用于计算， “形” “图”直观，用于分析、判断。在小学时，就已经掌握了“条形、折线、扇形统计图” 。高中阶段，增加了“频率分布表、图”和“茎叶图” 。你会发现， “频数分布条形图” ，就是小学的“条形统计图” ，而“频率” ，就是小学扇形统计图中的“圆心角度数” 。而“频率分布直方图”只是多了一步计算“频率/组距” ，而“频率直方图”的图形样态与“条形统计图”是一致的。所以，在现实是， “频度分布直方图”难得一见。可是为什么要玩这种新花样呢？很简单，高中知识就得让小学生、初中生看不懂，于是很多这样的“专家”层出不穷。“降低”小学生懂，于是非得说是“负增长” ，小学生看不
16、懂了。“一个数量随着另一数量的增加而增加”小学生懂得“正比例关系”呀，于是出现了“正相关” 。而“茎叶图”呢？小学生一听肯定傻眼，这就对了，要不怎么是高中呢。仔细一看，还不就是小学的将数据”从小到大排列”和把数字的“数位对齐”进行计算。四、数据的“三数、三差”及“线性回归”三数：平均数、众数、中位数。众数，获取时最简单，只需要画“正” ，谁出现得最多，就是谁“当选” 。于是“众数”多用于“选举” 。众数体现了“集中”原则，但它对其他数据完全忽视，使得它并不真正“民主” 。2d35dc0e2df931ca95d3e5cfbca587d7.pdf Page 5 of 7中位数，获取时也还比较简单，
17、需要先将数据“按大小顺序排列” ，中间的那一个或中间两个的平均数“胜出” 。中位数是“频率”分布的“等分线” ，不受极端值的影响。反过来，当出现极端情况时，中位数反映“不敏感” 。此乃“中庸”之道也。平均数，获取时最麻烦，需要计算所有数据的总和，再“按人头平均分配” ，是真正的“大锅饭” 。当没有极端情况时， “大锅饭”很香、很“公平”能反映数据的“整体情况” ，但是一量出现极端情况， “大锅饭”就无法“公平” ，无法反映数据的“真实整体情况” 。当”三数一体“时，即众数、中位数、平均数大体相当时，数据的分布最为正常。这才是“三数”的科学价值所在。这里说一下平均数的计算方法。1、计算平均数应“
18、按数位”进行计算，即将数据“按数位”对齐，列成竖式，然后从个位开始，逐个数位地一口气加下来，这样计算“简单、快速、准确” ，便于检验核对。2、用“茎叶图”方式，将相同量部分抛开，不参加计算，最后再补回即可。三差：极差、方差、标准差。极差，反映数据差异的极端情况，不能反映数据的整体情况。正由于极差能反映数据的极端情况，当我们需要面对可能的最恶劣的情况做最坏的打算、最充分的准备时，非常需要了解“极差” 。当你选择当天穿衣的厚薄时，请参考温度极差。方差、标准差是一家，标准差就是方差的算术平方根，只是由于平方、再开方的关系，标准差拥有了与数据相同的单位，而方差无单位。方差，以平均数为准线，描述数据的离
19、散程度，可以反映数据的整体情况。可是方差到底是表达的是什么“形”？看方差的计算公式，方差实质是每个“数据点到准线距离”的平方的平均数。简记为“距离的平方” ，原来“差”是距离， “方”是平方。而标准差将“距离的平方”再开方，就相当于“距离的平均数” 。想想，在“形”上，我们用什么表示距离？是绝对值。所以，我们在处理数据的离散程度时，完全可以用“绝对值”来替代“差的平方及再开方” 。之所以方差公式这一“笨公式”得以保留，因为它就不是给“人脑”用的，是给“电脑”用的。平方、开方是计算，而绝对值不是计算。所以，计算机懂得平方、开方，不懂得绝对值。而我们都是“人脑”吧？别把自己当“机器” 。这里补充说
20、一下数据的平均数、方差、标准差的整体变化。令 X1，X2，X3，*，XN，这组数据的平均数为 X 平，方差为 S 方，标准差为 S。则 X1+A，X2+A，*，XN+A，这组数据是原始数据整体+A，即图像整体上下平移，所以，S 方、S 不变，X 平将随之上下平移，变为 X 平+A。这就是前面说到的计算平均数的方法 2。则 AX1，AX2，*，AXN，这组数据是原始数据整体*A，即图像整体上下拉伸，所以，X平不变，S 方、S 将随之拉伸为 AS 方、AS。则 AX1+B，AX2+B，*AXN+B，这组数据是原始数据上下拉伸后，再上下平移，所以，综2d35dc0e2df931ca95d3e5cfb
21、ca587d7.pdf Page 6 of 7合两步变化，可知 X 平拉伸不就、平移后为 X 平+B，S 方、S 上下拉伸时变为 AS 方、AS，上下平移则不变。此知识，多余老师在初中就会给初中生讲。请高中生用心理解体会，等到学习必修 4 时，你会发现，这种方法还真有大用处最后，说到“最小二乘法” 。当数据点呈现线性相关时，应得出代表数据线性相关的直线方程。同方差一样， “最小二乘法”也是给电脑用的，也是使用“距离的平方” ，原来“二乘”就是“平方” 。可就是不叫“最小平方法” ，以达“使小学生看不懂，高中生会犯迷糊”之不可告人之目的。五、多余老师多余的话高中数学就是这么简单，把小学和初中学过
22、的东西，重新“包装”一下，就把很高中生给唬住了，大叹“高中数学真难学” 。看看高一已经学过的知识，哪一样是全新的？集合，小学就开始用了；函数初中就学了；高中指数是乘方开方的统一，对数是指数的变形；立体几何小学就知道长方体、正方体、球；解析几何玩的是小学开始经常用的直线和圆，所谓的解析，初中也已经开始。到了统计，就更是小学和初中知识了。一些“专家”非要“使小学生看不懂，高中生会犯迷糊” ，那我们就要时刻保持清醒的头脑，以“理性”眼光看待一切变化，以不变而应万变。现在，你能体会什么是数学吗？不要把计算、应用题、中考数学题、高考数学题，就当做数学了，数学就是我们人类的“理性” 。而语文呢？语文是我们
23、人类的“良知” 。而英语呢？现行英语教学是我们人类的“强权”！正常的“外语” ，应该是我们人类的“文的视界” ，胸怀祖国、放眼世界，了解各种文化的特点，以及他们之间的异、同，以达“求同存异”之“大同” 。而物理呢？物理是是我们人类的“理的视界” ，大到宇宙，小到微粒，方知不管“物”之大小，其“理”仍是“大同” 。而政史地、化学生物，不过是以上四科的具体分支。文史不分家，政史也不分家。地理分与人直接相关的“文地”和与自然直接相关的“理地” 。化学，不过是”物“中“电子的变化之理” 。生物，研究的是有生命的“物” ，包括人类自己，也分与生命价值相关的“文生”和与自然2d35dc0e2df931ca
24、95d3e5cfbca587d7.pdf Page 7 of 7之理相关的“理生” 。高中，虽还属于中学，但已经开始算是大学预科了。高中生们，对待各门课程不能再像小学生、初中生那样了。从课程学习中，感受“良知” ，提升“理性” ，以求“大同” 。不要以为“四书五经”已经过时，中华文化是地球几大文明中唯一没有中断的，正是因为“良知” 、 “理性” 、 “大同”的原则早已被我们的先哲们确立。当你心有良知，脑有理性，成绩还会不“大同”吗？而不求良知、理性，一味追求成绩，是什么？野蛮也。野蛮能得逞一时，可长久乎？越野蛮，就越短暂。小日本不过侵华八年，就是加上东三省，也就 14 年，美国起家才多少年，现在是何趋势？英国、荷兰、西班牙、葡萄牙等这些曾经野蛮的国家，曾风光几时，现在又如何？所以，多余老师眼中的好学生，就是不管是否成绩已达“大同” ，只要心有“良知” ；如果再加上脑有“理性” ，就是优秀学生；如果“良知、理性”已拥有，并已开始求得“大同” ，那不是“出类拔萃”是什么？
