1、1第二课时 函数的最大(小)值提出问题观察下面的函数图象：问题 1：该函数 f(x)的定义域是什么？提示：4,7问题 2：该函数 f(x)图象的最高点及最低点的纵坐标分别是什么？提示：3，2.问题 3：函数 y f(x)的值域是什么？提示：2,3导入新知1最大值一般地，设函数 y f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足：(1)对于任意的 x I，都有 f(x) M；(2)存在 x0 I，使得 f(x0) M.那么，我们称 M是函数 y f(x)的最大值2最小值一般地，设函数 y f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足：(1)对于任意的 x I，都有 f(x) M；(2)存在 x0
2、I，使得 f(x0) M.那么，我们称 M是函数 y f(x)的最小值化解疑难1函数最大(小)值的几何意义函数的最大值对应图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应图象最低点的纵坐标2函数的最大(小)值与值域、单调性之间的关系(1)对一个函数来说，一定有值域，但不一定有最值，如函数 y .如果有最值，则最1x值一定是值域中的一个元素(2)若函数 f(x)在闭区间 a， b上单调，则 f(x)的最值必在区间端点处取得，即最大2值是 f(a)或 f(b)，最小值是 f(b)或 f(a)图象法求函数的最值例 1 (1)函数 f(x)在区间2,5上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A2，
3、f(2) B2， f(2)C2， f(5) D2， f(5)(2)求函数 f(x)Error!的最值解 (1)选 C 由函数的图象知，当 x2 时，有最小值2；当 x5 时，有最大值 f(5)(2)函数 f(x)的图象如图：由图象可知 f(x)的最小值为 f(1)1，无最大值类题通法用图象法求最值的一般步骤活学活用作出函数 y| x2|( x1)的图象，说明函数的单调性，并判断是否存在最大值和最小值解：当 x2，即 x20 时，y( x2)( x1) x2 x2 2 ；(x12) 94当 xx11， x1 x21， x1x210，故 f(x2)，即 f(x)在 上是减函13， 1 13， 1数
4、结合例题可知，函数 f(x)在 上单调递减，在(1,2)上单调递增13， 1当 x1 时， f(x)取得最小值 f(1)2；又 f 3 f(2) ，(13) 13 103 52 f(x)在 上的最大值为 ，最小值为 2.13， 2 103函数最值的应用例 3 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000元，每生产一台仪器需增加投入 100元，已知总收益满足函数：R(x)Error!其中 x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数 f(x)(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)解 (1)设月产量为 x台，则总成本为 20 000100 x，从而
5、f(x) R(x)(20 000100 x)Error!(2)当 0 x400 时，f(x) (x300) 225 000，12当 x300 时， f(x)max25 000.当 x400时， f(x)60 000100 x是减函数，f(x)2时，由图可知， f(x)在0,2上为减函数，所以 f(x)min f(2)34 a，f(x)max f(0)1.6多维探究上题由于对称轴 x a，而 a的取值不定，从而导致了分类讨论由于抛物线的对称轴与区间0,2的相对位置关系不确定，最小值在顶点处或端点处取得，最大值可能是 f(0)，也有可能是 f(2)，故应分四类讨论与二次函数有关的最值问题还有以下三
6、类：1求二次函数在某定区间上的最小(大)值例：求二次函数 f(x) x22 ax2 在2,4上的最小值解：函数图象的对称轴是 x a，当 a4时， f(x)在2,4上是减函数， f(x)min f(4)188 a.当 2 a4 时， f(x)min f(a)2 a2. f(x)minError!2已知二次函数的最大(小)值，求参数例：已知函数 y x22 ax(0 x1)，且 ymax a2，求实数 a的取值范围解： y x22 ax( x a)2 a2(0 x1)，函数图象是开口向下的抛物线，且对称轴为 x a.又 ymax a2，且 0 x1，0 a11 a0.实数 a的取值范围是1,03
7、求二次函数在某动区间上的最大(小)值例：设 f(x) x24 x4， x a， a1( aR)，求函数 f(x)的最小值 g(a)的解析式解： f(x)( x2) 28， x a， a1，当 2 a， a1时，即 1 a2 时，7g(a) f(2)8.当 a12时， f(x)在 a， a1上是增函数， g(a) f(a) a24 a4.综上可知， g(a)Error!随堂即时演练1.函数 f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为( )A f ， f (32) ( 32)B f(0)， f (32)C f ， f(0)(32)D f(0)， f(3)解析：选 B 观察函数图象， f(x)的最
8、大值、最小值分别为 f(0)， f .(32)2函数 f(x) x23 x2 在区间(5,5)上的最大值、最小值分别为( )A42,12 B42，14C12， D无最大值，最小值14 14解析：选 D f(x) x23 x2 2 ，(x32) 1450， x220. f(x1) f(x2)0. f(x1)f(x2)函数 f(x) 在3,5上为增函数x 1x 2(2)由(1)知，当 x3 时，函数 f(x)取得最小值，为 f(3) ；当 x5 时，函数 f(x)25取得最大值，为 f(5) .47课时达标检测一、选择题1函数 f(x) 的最大值是( )11 x 1 xA. B.45 54C. D
9、.34 439解析：选 D f(x) .11 x 1 x 1x2 x 1 1(x 12)2 34 432函数 y x 的最值的情况为( )2x 1A最小值为 ，无最大值12B最大值为 ，无最小值12C最小值为 ，最大值为 212D最大值为 2，无最小值解析：选 A y x 在定义域 上是增函数，函数最小值为 ，无最2x 1 12， ) 12大值，故选 A.3已知函数 f(x) x24 x a， x0,1，若 f(x)有最小值2，则 f(x)的最大值为( )A1 B0C1 D2解析：选 C f(x)( x24 x4) a4( x2) 24 a，函数 f(x)图象的对称轴为 x2. f(x)在0,
10、1上单调递增又 f(x)min2， f(0)2，即 a2. f(x)max f(1)1421.4当 0 x2 时， a x22 x恒成立，则实数 a的取值范围是( )A(，1 B(，0C(，0) D(0，)解析：选 C 令 f(x) x22 x，则 f(x) x22 x( x1) 21.又 x0,2， f(x)min f(0) f(2)0. a0.5某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售 x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为 L1 x221 x和 L22 x.若该公司在两地共销售 15辆，则能获得的最大利润为( )A90 万元 B60 万元C120 万元 D120.25 万元解析：选 C
11、 设公司在甲地销售 x辆，则在乙地销售(15 x)辆，公司获利为10L x221 x2(15 x) x219 x30 230 ，(x192) 1924当 x9 或 10时， L最大为 120万元二、填空题6函数 y x(x0)的最大值为_x解析：原函数整理得 y 2 ，(x12) 14 ymax .14(此 时 x 12， 即 x 14)答案：147已知函数 f(x) x26 x8， x1， a，并且 f(x)的最小值为 f(a)，则实数 a的取值范围是_解析：如图可知 f(x)在1， a内是单调递减的，又 f(x)的单调递减区间为(，3，1 a3.答案：(1,38对于函数 f(x) x22 x，在使 f(x) M成立的所有实数 M中，我们把 M的最大值Mmax1 叫做函数 f(x) x22 x的下确界，则对于 aR，且 a0，函数 y a24 a6 的下确界为_解析：函数 y a24 a6( a2) 222，则函数 y a24 a6 的下确界为 2.答案：2三、解答题9已知函数 f(x) ，其中 x2，)x2 2x 3x(1)求 f(x)的最小值；(2)若 f(x) a恒成立，求 a的取值范围解：(1) f(x) x 2，3x任取 x1， x22，)，且 x1 x2，
