1、- 4-1 -第 4 章 图与网络图与网络是运筹学的一个重要分支。其中，图论是从实践中抽象出来的最早的数学问题之一，如 1736 年欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题” 、 “哈密尔顿环问题”以及“地图四色问题”等。随后又发展出网络理论，并应用于电路分析、运输系统、信息论、工程设计和管理等方面。本章着重介绍有关图与网络的基本概念，以及网络最优化的两个基本问题最短路问题和最大流问题。一、 图与网络的基本概念1. 概念的引入图论的理论和方法可用于解决企业管理、交通运输、日常生活等许多不同领域的问题，例如，在运输规划中，应怎样合理地组织运输路线和运量，使总的运费最省；又如，在组织生产时，应如何安排各生产工
2、序间的衔接，才能使生产任务完成得既快又好；再如，邮递员送信时，应选择何种路线才能使所走的距离最短等。这些问题都可以用图论的方法进行求解。在实际生活中，人们为了反映某些对象间的关系，常用点和线画出各种各样的示意图。例 1 我国北京、上海等 10 个城市间的铁路交通示意图如图所示，它反映了这 10 个城市的铁路分布情况。图中，用点代表城市，点与点之间的连线代表两个城市之间的铁路线。诸如此类的示意图还有电话线分布图、煤气管道图、航空线图等。2. 基本概念（1）图图：图是由一些点以及点之间的连线所组成的。其中，这些点又称为顶点。边（弧）：两顶点之间不带箭头的连线称为边；带箭头的连线称为弧。边（或弧）上
3、相应的数值称为边（或弧）的权。无向图：由点和边构成的图称为无向图（简称图） ，记作 G = (V，E) ，其中 V、E 分别是 G 的顶点集合和边的集合。连接两顶点 vi, vjV 的边 e 记为 e = (vi，v j)或 e = (vj，v i)。有向图：由点和弧构成的图称为有向图，记作 D = (V，A)，其中 V、A 分别是 D 的顶点集合和弧的集合。从起始点 viV 指向终点 vjV 的弧 a 记为 a = (vi，v j)(v j，v i)。多重边和环：两个顶点间具有两条以上的边称为多重边；若边的两端为同一顶点则称其为环，如图 1（参见 P82 图 4-1）中的“边 7”。多重图和
4、简单图：含多重边的图称为多重图；无环且无多重边的图称为简单图。本章讨论的图一般都是简单图。- 4-2 -图 1 环 图 2 支撑子图支撑子图：如果图 G = (V，E)，G = (V ，E )且 V V，E E，则称 G 为 G 的子图，如图 2(b) 所示（参见 P82 图 4-2(b)） ；若在同一图中，V = V，E E，则称 G 为 G 的支撑子图，如图 2(c) 所示（图 4-2(c)） 。（2）链链：在图 G = (V，E)中，由一些顶点和边所组成的交错序列v 1, e1, v2, e2, , vk1, ek , vk就称为一条联结顶点 v1、v k 的链。开链和闭合链：起点和终点
5、不是同一顶点的链，则称其为开链，否则就称其为闭合链。单纯链和基本链：一条没有重复边的链称为单纯链，如图 3（参见 P82 图 4-3）中的边序列5, 6, 2, 7, 8；一个没有重复顶点的链称为基本链，如图 3 中的边序列1, 2, 3。路和回路：一个开的基本链称为路，如图中的边序列1, 6, 7, 3；一个闭合的基本链称为回路，如图中的边序列1, 6, 5。连通图：如果在一个图中任意两个不同的顶点之间至少有一条路，则该图就称为连通图。图 3 链 图 4 树（3）树树：如果连通图 G 的子图 G l 也是连通的，并包含了 G 的所有顶点，且没有回路，则称 G l 为 G 的一个生成树（简称树
6、） ，记为 T，如图 4（参见 P83 图 4-4）中的(b)、(c)、(d) 即为图(a)的树：T 1 = l, 3, 5，T 2 = 2, 3, 5，T 3 = 2, 4, 5。组成树的边就称为树枝。树的性质如下：树的任意两个顶点之间只有一条链； 1在树中不相邻的两个顶点间添上条边，则恰好得到一个回路； 2在树中去掉任何一条边，则成为不连通图； 3含有 n 个顶点的树，则有 n1 条边。 4例 2 已知有五个城市，试问如何在它们之间架设电话线，使任何两个城市都可以互相通话（允许通过其它城市） ，且电话线的根数最少？解 用五个点 v1, v2, v3, v4, v5 代表五个城市，如果某两个
7、城市之间架设电话线，则在相应的两点之间连一条边，则该电话线网就可以用一个图来表示。为了使任何两个城市都可以互相通话，则此图必须是连通图；另外，若此图中有回路，从回路上任意去掉一条边，使余下的图仍是连通的，且可以省去一根电话线。因此，满足要求的电话线网所对应的图- 4-3 -必定是一个树，如图 5 所示。 （注意：由于连通图对应的树有多个，故这里只给出了其中一个树）图 5 电话线网 图 6 割集（4）割集割集：将连通图分割为两个子图所需割断的最少边集就称为割集，如图 6（参见 P83图 4-5）中的边集8, 9、1, 3, 6、4, 5, 6等。注意：割集的定义表明，当去掉构成割集的一 组边时，
8、 则原 连通图被分割成相互分离的两部分；而只要少去掉一条边，则被分开的两部分仍是 连通的。例如，边集7, 8, 9就不是割集，因为移去这个边集可以使图分离为两部分，但若再 连上边 7，已分离的 图仍不能连通，不符合割集的定义。最小割集：对于一个图有若干个割集，其中边数最少的割集，则称其为最小割集（简称最小割） ，如图 6 中的边集8, 9。二、 最短路问题1. 问题的提出在企业经营活动和日常生活中，常会遇到所谓的最短路问题，例如，从家中出发上班时，应走怎样的路线才能在最短时间内到达单位；假日外出旅游时，怎样选择旅游路线才能使花费最省；在企业经营中，需要运送一批物资到达某地，应选择怎样的运输路线
9、才能使运费最省。类似于各种管道铺设、线路安排、设备更新、选址等都属于最短路问题。例 3（管道铺设问题） 从油田铺设管道，把原油运输到原油加工厂。要求管道必须沿图 7 所给定的路线铺设，图中 v1 点为油田，v 9 点为原油加工厂，弧权为相应路段的管道长度，试问如何铺设管道才能使管道总长最短？图 7 油田管道路线图 图 8 油田管道最短路线图解 显然，可能的油田管道铺设方案有多种，而不同方案的管道总长不同，则现在的问题是要寻求一条从 v1 到 v9 的路线，使油田的管道总长最短。若 v1 vi v9 是从 v1到 v9 的最短路，则 v1 vi 是从 v1 到 vi 的最短路，根据这一原理来求出
10、该最短路问题。（1）与 v1 直接相连的点为 v2、v 3，但 l13 = 2 0，则将 j 点标记为（i , ( j)） ，表示 i 点向 j 点可以少提供的流量为 ( j)， 1实质上也等于 j 点向 i 点多提供的流量为 ( j)，其中 ( j)表示 i 点可以少提供的数量和流量中最小的一个，且 ( j) = min( i), C (j,i )，如图 11(b)所示；图 11 标记法当 ( i) X(S, 2)，则点 2 应标记 (S+, (2)，(2) = min, C(S, 2) X(S, 2) = min, 6 = 6，所以点 2 标记(S +, 6)，它表明由 S 可增加 6 单
11、位流量到点2。此时，由于 C(S, 3) = 9，X(S, 3) = 9 为饱和支路；无指向点 S 的支路，故点 S 已检查完，成为已标记、已检查的点。点 2 成为已标记未检查的点，对其进行检查。先看由点 2 出发的两条支路(2, 4) 、(2, 5)，C(2, 5) = X(2, 5)，C(2, 4) = X(2, 4)均为饱和支路；再看流向点 2 的支路(3, 2)，因 X(3, 2) 0，(3) = min(2), C(3, 2) = min6, 4 = 4，所以点 3 标记(2 , 4)，表明点 2 可以向点 3提供 4 个单位，或点 3 可以少向点 2 提供 4 个单位。故点 2 成
12、为已标记、己检查的点，点3 成为已标记未检查的点。再继续按第二步检查点 3，在支路(3, 4)中，C(3, 4) = 5，X(3, 4) = 0，C(3, 4) X(3, 4)；支路(3, 6) 中，C(3,6) = X(3, 6)为饱和的，故点 3 检查完毕，点 4 又成为己标记未检查的点，其标记为(3 +, 4)。对点 4 进行检查：C(4, 5) = 5，X(4, 5) = 2，C(4, 5) X(4, 5)，(5) = min4, 5 2 = 3，则点 5 标记为(4 +, 3)；C(4, 6) = 11，X(4, 6) = 0，C(4, 6) X(4, 6)，(6) = min4,
13、11 = 4，则点 6 标记为(4 +, 4)；由于 C(4, T) = 4，X(4, T) = 4，属饱和支路，故点 4 检查完毕。对点 5 进行检查：C(5, T) = 9，X(5, T) = 7，C(5, T) X(5, T)，(T) = min3, 9 7 = 2，则点 T 标记(5 +, 2)。但点 6 尚未检查，且它也与点 T 有关，因此需在检查完点 6 之后再确定了点的标记。对点 6 进行检查：C(6, T) = l0，X(6, T) = 5，C(6, T) X(6, T)。(T) = min4, 10 5 = 4，则点 T 应标记(6 +, 4)。此时点 T 出现了两个标记，这
14、两个标记说明，若从点 5 扩充，可使点 T 增加的流量数为 2，而若从点 6 扩充，可使点 T 增加 4，我们当然希望点 T 增加的越多越好，因此，点T 的标记应取(6 +, 4)。第三步，寻找扩充路径并确定扩充量T6432S 为扩充线路并按实际的箭头方向标出，同时在带箭头的连线上标出扩充值如图 13 所示。- 4-12 -图 13 扩充值 图 14 最大流由图可见，虽然点 S 向点 2 可提供的增量为 6，但由于以后的线路只允许通过 4 个单位砾石，因此只能在所有可能的扩充量中选一个最小的量进行扩充，即 *(j) = min( j) = min6, 4, 4, 4, 4, 4 = 4。把扩充后的数字填在图上，再按上述步骤重新开始扩充，直到进行不下去为止，即得到最大流，如图 14 所示。该公路网络的最大流为源点 S 发出 11+9 = 20，汇点 T 收到 9+4+7 = 20。该采石场每天只能运出 20 单位砾石。若要提高公路运输能力，因最后计算是在点 2 停止的，故由点 2出发的路是“瓶颈”支路。
