1、电梯调度问题【摘要】 随着科技的发展人们的生活水平正在逐步提高，一幢幢摩天大楼如雨后春笋一般拔地而起，电梯同时也进入了人们的生活，电梯的到来给人们的日常生活提供了诸多的方便，与此同时因为电梯问题所带来的烦恼也在困扰着人们。本文就如何合理地调度使用现有电梯，提高电梯的服务效率，尽量减少人流的乘梯等待时间和乘梯时间做了详细的讨论。并将电梯把所有工作人员运送到目标层所用的时间作为模型的评价指标。问题2中，我们以0-1规划的方法建立了关于电梯在普通模式运行方案下的周期模型一，并用Matlab进行随机模拟，求出了在普通模式运行下电梯将所有工作人员运到工作场所所要用的总时间。方案二模型针对上班高层办公楼的
2、模型优化问题结合概率论统计知识列出平均往返时间RT与楼层r之间的关系代数式，利用Matlab工具软件编程实现算法，利用二叉树遍历搜索法按照最大最小原则分段分区逐个根据各种情况求出最好的分区方法和最佳的电梯分配方案，最后求出各种方案所用的时间，比较得出最优方案。(一) 问题重述商业中心某写字楼有二十二层地上建筑楼层和两层地下停车场，6 部电梯，每部电梯最大载重是 20 个正常成人的体重总和。工作日里每天早晚高峰时期均是非常拥挤，而且等待电梯的时间明显增加。请你针对早晚高峰期的电梯调度问题建立数学模型，以期获得合理的优化方案。1）请给出若干合理的模型评价指标。2）暂不考虑该写字楼的地下部分，每层楼
3、层的平均办公人数经过调查已知（见表1）。假设每层楼之间电梯的平均运行时间是 3 秒，最底层(地上一层)平均停留时间是 20秒，其他各层若停留，则平均停留时间为 10 秒，电梯在各层的相应的停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯。表 1：该写字楼各层办公人数楼层 人数 楼层 人数 楼层 人数1234无2081772229101112236139272272171819202002002002005678130181191236131415162722703002642l22207207请你针对这样的简化情况，建立你的数学模型（列明你的假设），给出一个尽量最优的电梯调度方案，并利用所提评价指标进行比较
4、。3）将你在第 2 问中所建立的数学模型进一步实际化，以期能够尽量适用于实际情况，用于解决现实的电梯调度问题。(二)基本假设1.从高峰期开始所有人员已经陆续到达最低层待命。2.电梯上升时满乘员，下降时没有乘客乘梯。3.除该栋楼的员工外没有其他人员登梯。4.电梯启动和终止时的加速度造成的影响可以忽略。5.电梯总是正常运行,无意外情况发生。6 题目中所给的信息真实可靠。(三) 符号说明DT: 表示最底层平均停留时间，单位（秒）MT: 表示每层楼之间电梯平均运行时间，单位（秒）QT： 表示其他各层若停留的平均停留时间，单位（秒）MZ： 表示每部电梯的最大载重量，单位（人）i : 表示第 i 部电梯1
5、 表示第 j 层有乘客下电梯Xj: Xj= （j=2,3,4 。 。 。22）0 表示第 j 层没有乘客下电梯 Ti: 表示第 i 部电梯运行周期M： 表示单次运行周期中电梯所达到的最高层数P: 表示普通模式运行下电梯单次到达的最高层数T: 表示普通模式运行下电梯一周期所用的时间L： 表示电梯的个数N: 表示上班高峰期要上班的人员总数T1： 表示单周期运行模式下的总运行时间(四 )问题分析针对问题(一) 商业中心某写字楼工作日里每天早晚高峰时期均是非常拥挤的，这样造成了人们上下班等电梯的时间很长，电梯运行的时间也很多，我们以电梯运行的总时间为目标进行优化。针对问题(二)为了达到最优的调度方案，
6、首先我们要研究多种因素如电梯的停靠次数，电梯所要到达的最高楼层等，对电梯运行情况的影响进行分析，经过利用题中的已知的数据制作表格及饼状图，并找出在普通电梯运行模式下的单周期运行所用的时间对应的关系式用 01 规划建立模型一。并用 Matlab 依所要到达的各层人数的所占有的比例将各层人数随机的以 MZ 个为一组随机抽取作为一个样本，将总人数 N 与单周期电梯运行最大人数作为计算机模拟的次数，算出若是用一部电梯来运所要用的总的时间，比上电梯的个数即为在普通模式运行下将所有的乘客运送到指定的工作层数所要用的时间。在方案一的基础上考虑到电梯允许电梯在任意层停靠，导致停靠次数增加，时间过长进而增加电梯
7、平均往返运行时间。对此，我们考虑采用分段运行方式将乘客运往目 标层建立模型二. 方案二模型针对上班高层办公楼的模型优化问题结合概率论统计知识列出平均往返时间 RT 与楼层 r 之间的关系代数式，利用 Matlab 工具软件编程实现算法，利用遍历搜索法按照最大最小原则逐个遍历各种情况求出最佳分配方案，最后逐段优化通过比较得出最优方案最后又根据现实的情况人流是的到来是符合泊松分布的,对模型进行了合理的评价与改进(五 )模型建立与求解方案一:电梯采用普通模式运行我们建立在普通电梯运行模式下的单周期一部电梯运行的时间关系之间的模型，单周期运行一个周期的时间 T，等于在底层的等待上电梯的时间 DT 与在
8、各个楼层上停止等待乘客下电梯的时间 QT，及在电梯到达所要到达的单次运行周期中最高层 P 的过程中过每层楼所用的时间往返时间总和的累加。而我们优化的最终目标电梯总得运行时间等于各个单周期运行时间的和。模型一的建立：T=DT+QT* +MT*(P-1)*22iiX由题目中的数据分析制出表格和饼状图,并求出各层人员所占的比例,由图表分析出在各层楼上班的人数相差不大.用 Matlab 按照各个目标层人数的比例随机抽出 20 个根据模型一求出所用的时间周期 T，用总的人数比上每部电梯最大载重人数 MZ，即如果用单部电梯运的方式要多少个周期，所得出的周期数即为所要进行随机模拟的实验次数，将所有的这些单周
9、期时间求和，再将总时间比上电梯的总个数即为如果按照普通模式运行运完所有乘客大概所要用的时间 T.T1= LTMZNn1通过进行一系列的运算,最终得出 T1=3474.95目标层数 人数 所占比例2 208 0.0453753 177 0.0386134 222 0.0484295 130 0.028366 181 0.0394857 191 0.0416678 236 0.0514839 236 0.05148310 139 0.03032311 272 0.05933712 272 0.05933713 272 0.05933714 270 0.05890115 300 0.06544516
10、 264 0.05759217 200 0.0436318 200 0.0436319 200 0.0436320 200 0.0436321 207 0.04515722 207 0.045157总和 4584 1表 1-1图 1-2方案二:电梯采用分段模式运行设电梯最底层平均停留时间 t ，电梯每次停靠时间 t ，电梯平均每层楼运0 1行时间 t ，电梯搭乘的乘客数目 c，电梯的平均往返运行时间 RT,服务区域起2始层为 b，服务区域的楼层数目为 n。总时间包含了电梯从门厅出发到第一次停靠时的运行时间(包括停靠时间) ,第一次停靠后电梯后续往上运行和停靠的时间,电梯往下运行的时间 (包括停
11、靠时间) ,如图 2。设时间、时间、时间大小分别为 T1,T2,T3,则 RT =t +T1+T2+T3 ,下面我们来得到 T1,T2,T3 的表0达式。而 T(r)表示电梯从启动到停止当运行距离为 r 层楼时的运行时间。所以 T（r）=(r-1)*t 。2在时间中,当运行距离为 r 层楼时(其中 ) ,也就意味着电梯从nbr1第 b 层到第 r - 1 层都没有停靠而在第 r 层电梯停靠,以 A 表示电梯在 b 层和 r - 1 层之间都没有停靠,以 B 表示电梯在第 r 层没有停靠,所以在时间中电梯运行距离为 r 层楼的概率是:ccnbrnbrAPAP )1()()( 图 1-3也就有：
12、)(1()(1 1trTnbrnbrTbnr cc 在时间中,电梯某次上行的运行距离为 r 层楼时(其中 ) ,也就意1nr味着电梯在第 k - r 层和第 k 层有停靠,而在第 k- r 层和第 k 层之间都没有停靠,且满足： ,所以时间中电梯上行距离为 r 层楼的概率是：1,b )1()(2)1)()1()(2)(1 ccccccbnrk nrnrn 也就有： )(1()(2)1)(2 11 trTnrrnrnTnr ccc 因为我们考虑的是乘客在等待条件下上班高峰期电梯的运行状况,不考虑下行乘客。 所以电梯下行时,。 )()(311 trbrrTbn cc于是我们可以得到电梯平均往返运行
13、时间为:011 110 )(*)1()(2)1)( )(32 trTrnrrnn tbbbTtRTr ccccbnr ccccc 单个服务区域的楼层数目，电梯数目，总时间关系:模型二的建立: LTMZNTn各个区域服务总时间与电梯服务总时间关系如果各个服务区域的总时间分别为 ，则电梯的服务总时间 T 为nT21,TT,21ax把总的服务区域分为两部分利用遍历搜索法，求得最佳的区域分布方案和电梯分布方案，即：表 2-1：两部分区域分布和电梯分布利用动态规划的思想，即逐段优化的方法对这个问题继续优化。由表 2-1 中各部分所需总时间可看出，首先针对问题进行进一步优化，最有可能缩短总的时间。把总的服
14、务区域分成三个部分：方法同上面的方法，利用 Matlab 可以求得最佳的服务区域分布方案和电梯分配方案表 2-2：三部分区域分布和电梯分布服务区域 电梯数目 总时间 T服务区域 电梯数目 总时间第 1 部分 213 层 2 个第 2 部分 1422 层 4 个 3115.36第 1 部分 213 层 2 个第 2 部分 1419 层 2 个第 3 部分 2022 层 2 个3067.42由表 2-2 可得，把第一部分分成两部分最有可能缩短总的时间。把总的服务区域分成四个部分：方法同上，利用 Matlab 可得：表 2-3：四部分区域分布和电梯分布服务区域 电梯数目 总时间 T第 1 部分 28
15、 层 1 个第 2 部分 913 层 1 个第 3 部分 1419 层 2 个第 4 部分 2022 层 2 个2992.81由表 2-3 可得把第三部分进行进一步二分，有可能缩短总的时间。把总的服务区域分成五部分，利用 Matlab 可得：表 2-4：五部分区域分布和电梯分布服务区域 电梯数目 总时间 T第 1 部分 28 层 1 个第 2 部分 913 层 1 个第 3 部分 1416 层 1 个第 4 部分 1719 层 1 个第 5 部分 2022 层 2 个2874.87由表 2-4 可得把第 5 部分进行进一步二分，有可能缩短总的时间。把总的服务区域分成六部分，利用 Matlab
16、可得：表 2-5：六部分区域分布和电梯分布服务区域 电梯数目 总时间 T第 1 部分 28 层 1 个第 2 部分 913 层 1 个第 3 部分 1416 层 1 个第 4 部分 1719 层 1 个第 5 部分 2021 层 1 个第 6 部分 22 层 1 个2813.19通过二叉树遍历搜索法确定的服务区域和电梯数目,我们通过模型二的式子求得了各个部分所用的时间,通过比较各个部分的时间从而取各部分的最大值确定了各种分布方案的总时间,又根据各部分分层的时间结果建立了图表,由图表可以很容易的看出随着所分区域的增加,总的时间 T 在不断地降低得出结论：最优方案为分层调运模型的最后一种05001
17、000150020002500300035004000总 时 间 T总 时 间 T(六 )模型评价与改进针对问题一我们把电梯在高峰期将所有乘客送至目标层的总时间作为评价指标,作为比较后面的那种方案最优的依据,很现实.也可以以乘客的等待时间为目标进行优化。问题（二）我们把电梯的运行方式分为普通模式运行和分区段运行，与现实很相符，运用了 01 规划及遍历搜索法解决这个问题，很恰当。针对问题(三)将第二问中所建的数学模型进一步实际化,以至于进一步接近于实际情况以解决现实的电梯调度问题.在此,对于乘客的到来是随机的,乘客在高峰期即将到来时是相对比较少的,随着时间的延续,乘客的数量是在不断地增加,相对时间段内可以将乘客的到来近似的看做符合泊松分布, 如果将这个情况考虑在内 ,则模型将会更加完善 (七 )参考文献【1】数学建模方法及其应用 高等教育出版社 韩中庚 【2】高层写字楼电梯运行安排模型 辽宁写字报社 齐行行、米琦、叶颖梁【2】数学模型 高等教育出版社 姜启源 谢金星 叶俊【4】电梯上高峰动态规划分区控制方法的研究 天津大学出版社 罗欣宇
