1、1第 2 课时 组合的应用1能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题(重点)2能解决有限制条件的组合问题(难点)基础初探教材整理 组合的实际应用阅读教材 P15P 16，完成下列问题1组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关2应用组合知识解决实际问题的四个步骤(1)判断：判断实际问题是否是组合问题(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算(4)结论：根据计算结果写出方案个数1把三张游园票分给 10 个人中的 3 人，分法有_【解析】 把三张票分给 10 个人
2、中的 3 人，不同分法有 C 120(种)3101098321【答案】 1202甲、乙、丙三位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，则不同的选修方案共有_种【解析】 甲选修 2 门，有 C 6(种)不同方案24乙选修 3 门，有 C 4(种)不同选修方案342丙选修 3 门，有 C 4(种)不同选修方案34由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有 64496(种)【答案】 96质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型无限制条件的组合问题在一次数学竞赛中，某学校有 12 人
3、通过了初试，学校要从中选出 5 人参加市级培训在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选 5 人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加【精彩点拨】 本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题【自主解答】 (1)从中任取 5 人是组合问题，共有 C 792 种不同的选法512(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外 9 人中选 2 人，是组合问题，共有C 36 种不同的选法29(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的 9 人中选 5 人
4、，共有 C 126 种不同的59选法(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选 1 人，有 C 313种选法；再从另外 9 人中选 4 人，有 C 种选法共有 C C 378 种不同的选法49 1349解答简单的组合问题的思考方法31弄清要做的这件事是什么事2选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题3结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果再练一题1现有 10 名教师，其中男教师 6 名，女教师 4 名(1)现要从中选 2 名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出 2 名男教师或 2 名女教师去外地学习的选法有多少种？【解】 (1)从 10 名教师中选
5、2 名去参加会议的选法种数，就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的组合数，即 C 45.21010921(2)可把问题分两类：第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C 种方法；第 2 类，选出的 2 26名是女教师有 C 种方法，即 C C 21(种)24 26 24有限制条件的组合问题高二(1)班共有 35 名同学，其中男生 20 名，女生 15 名，今从中选出 3 名同学参加活动(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有 2 名女生在内，不同的取法有多少种？(4)至少有 2 名女生在内，不同的取法有多少种？(5)至多有
6、2 名女生在内，不同的取法有多少种？【精彩点拨】 可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有” “至少” “至多”等字眼使用两个计数原理解决【自主解答】 (1)从余下的 34 名学生中选取 2 名，有 C 561(种)234不同的取法有 561 种(2)从 34 名可选学生中选取 3 名，有 C 种34或者 C C C 5 984 种35 234 34不同的取法有 5 984 种(3)从 20 名男生中选取 1 名，从 15 名女生中选取 2 名，有 C C 2 100 种120215不同的取法有 2 100 种(4)选取 2 名女生有 C C 种，选取 3 名女生有 C 种，共有选取方式
7、 NC C C120 215 315 1202152 1004552 555 种315不同的取法有 2 555 种4(5)选取 3 名的总数有 C ，因此选取方式共有 NC C 6 5454556 09035 35 315种不同的取法有 6 090 种常见的限制条件及解题方法1特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据2含有“至多” “至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解3分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解再练一题2 “抗震救灾，众志成城” ，在我国“四川 51
8、2”抗震救灾中，某医院从 10 名医疗专家中抽调 6 名奔赴赈灾前线，其中这 10 名医疗专家中有 4 名是外科专家问：(1)抽调的 6 名专家中恰有 2 名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？【解】 (1)分步：首先从 4 名外科专家中任选 2 名，有 C 种选法，再从除外科专家24的 6 人中选取 4 人，有 C 种选法，所以共有 C C 90(种)抽调方法46 24 46(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：选 2 名外科专家，共有 C C 种选法；
9、24 46选 3 名外科专家，共有 C C 种选法；34 36选 4 名外科专家，共有 C C 种选法4 26根据分类加法计数原理，共有 C C C C C C 185(种)抽调方法24 46 34 36 4 26法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有 C 种选法，考虑选取 1 名外科专家参加，有 C C 种610 14 56选法；没有外科专家参加，有 C 种选法，所以共有：C C C C 185(种)抽调方6 610 14 56 6法(3)“至多 2 名”包括“没有” “有 1 名” “有 2 名”三种情况，分类解答5没有外科专家参加，有 C 种选法；6有 1 名外科专家参加，有 C C
10、 种选法；14 56有 2 名外科专家参加，有 C C 种选法24 46所以共有 C C C C C 115(种)抽调方法6 14 56 24 46探究共研型组合在几何中的应用探究 1 已知平面 ，在 内有 4 个点，在 内有 6 个点过这 10 个点中的 3点作一平面，最多可作多少个不同平面？【提示】 所作出的平面有三类： 内 1 点， 内 2 点确定的平面，有 C C 个；14 26 内 2 点， 内 1 点确定的平面，有 C C 个； ， 本身24 16所作的平面最多有 C C C C 298 个14 26 24 16探究 2 上述问题中，以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？【提示】
11、所作的三棱锥有三类： 内 1 点， 内 3 点确定的三棱锥，有 C C14个； 内 2 点， 内 2 点确定的三棱锥，有 C C 个； 内 3 点， 内 1 点确定36 24 26的三棱锥，有 C C 个34 16最多可作出的三棱锥有 C C C C C C 194 个14 36 24 26 34 16探究 3 上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？【提示】 等底面积、等高的情况下，三棱锥的体积相等，且平面 ，体积不相同的三棱锥最多有 C C C C 114 个36 34 26 24在一个正方体中，各棱、各面对角线和体对角线中，共有多少对异面直线？【精彩点拨】 解答本题可用间接法求解，28
12、条线段任取 2 条的组合中除去不能构成异面直线的情况或者构造模型，借助三棱锥中有且仅有 3 对异面直线来解决【自主解答】 法一：一个正方体的棱、面对角线和体对角线共 28 条底面、侧面和对角面共 12 个面，每一个面中，任两条直线都不构成异面直线，8 个顶点中过每个顶点的3 条面对角线不能构成异面直线，故共有 C 12C 8C 174 对异面直线28 26 23法二：因为一个三棱锥的 6 条棱中有且仅有 3 对异面直线，而一个正方体的 8 个顶点中取 4 个点的取法有 C 种，上述 12 个底面、侧面和对角面每个面的 4 个顶点不能构成三48棱锥，故一个正方体的 8 个顶点可构成 C 1258
13、 个三棱锥，所以一个正方体中符合题设48要求的异面直线共有 3(C 12)358174 对48几何中的计数问题一般为组合问题，要注意分清“对应关系” ，如不共线的三点对应一个三角形，不共面的四点确定一个四面体等.解题时可借助图形帮助思考，并要善于利用几6何性质，但要注意共点、共线、共面等特殊情况，避免多算或漏算.再练一题3四面体的一个顶点为 A，从其他顶点和各棱中点中取 3 个点，使它们与点 A 在同一平面上，有多少种不同的取法？【解】 如图所示，含顶点 A 的四面体的 3 个面上，除点 A 外每个面都有 5 个点，从中取出 3 点必与点 A 共面，共有 3C 种取法，含顶点 A 的三条棱上各
14、有三个点，它们与所35对的棱的中点共面，共有 3 种取法根据分类加法计数原理，不同的取法有 3C 33335种构建体系1楼道里有 12 盏灯，为了节约用电，需关掉 3 盏不相邻的灯，则关灯方案有( )A72 种 B84 种 C120 种 D168 种【解析】 需关掉 3 盏不相邻的灯，即将这 3 盏灯插入 9 盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有 C 120(种)故选 C.310【答案】 C2若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A60 种 B63 种 C65 种 D66 种【解析】 均为奇数时，有 C 5 种；均为偶数时，有 C 1 种
15、；两奇两偶时，有45 4C C 60 种，共有 66 种24 25【答案】 D3由三个 3 和四个 4 可以组成_个不同的七位数7【解析】 在七个位置上选出 3 个位置放入 3，其余放入 4，所以有 C C 35 个不37 47同的数【答案】 354在直角坐标平面 xOy 上，平行直线 x n(n0,1,2，5)与平行直线y n(n0,1,2，5)组成的图形中，矩形共有_个. 【导学号：62690015】【解析】 在垂直于 x 轴的 6 条直线中任取 2 条，在垂直于 y 轴的 6 条直线中任取 2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为 C C 1515225 个26 26【答案】 22
16、55在 12 件产品中，有 10 件正品，2 件次品，从这 12 件产品中任意抽出 3 件(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有多少种？(3)抽出的 3 件中至少有 1 件次品的抽法有多少种？【解】 (1)有 C 220 种抽法312(2)分两步：先从 2 件次品中抽出 1 件有 C 种方法；再从 10 件正品中抽出 2 件有 C12种方法，所以共有 C C 90 种抽法210 12210(3)法一：分两类，即包括恰有 1 件次品和恰有 2 件次品两种情况，与(2)小题类似共有 C C C C 100 种抽法12210 210法二(间接法)：从 12 件产
17、品中任意抽出 3 件有 C 种方法，其中抽出的 3 件全是正品312的抽法有 C 种不合要求，所以共有 C C 100 种抽法310 312 310我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评8(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1(2016南宁高二检测)圆上有 10 个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为( )A720 B360 C240 D120【解析】 确定三角形的个数为 C 120.310【答案】 D2某电视台连续播放 5 个广告，其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运广告要求最后必须播放奥运广告，且 2 个奥运
18、广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A120 种 B48 种 C36 种 D18 种【解析】 最后必须播放奥运广告有 C 种，2 个奥运广告不能连续播放，倒数第 2 个12广告有 C 种，故共有 C C A 36 种不同的播放方式13 12133【答案】 C3以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有( )A70 个 B64 个 C58 个 D52 个【解析】 四个顶点共面的情况有 6 个表面和 6 个对角面共 12 个，共有四面体 C 1258 个故选 C.48【答案】 C4(2016柳州高二检测)将标号为 1,2，10 的 10 个球放入标号为 1,2，10的 10 个盒子里，每个盒内放一
19、个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为( )A120 B240 C360 D720【解析】 先选出 3 个球有 C 120 种方法，不妨设为 1,2,3 号球，则 1,2,3 号盒中310能放的球为 2,3,1 或 3,1,2 两种这 3 个号码放入标号不一致的盒子中有 2 种不同的方法，故共有 1202240 种方法【答案】 B5(2016桂林高二检测)从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A28 B499C56 D85【解析】 依题意，满足条件的不同选法的种数为 C C C C 49 种21
20、7 1227【答案】 B二、填空题6某单位有 15 名成员，其中男性 10 人，女性 5 人，现需要从中选出 6 名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是_. 【导学号：62690016】【解析】 按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从 10 名男性中抽取 4 人，5名女性中抽取 2 人，共有 C C 2 100 种抽法41025【答案】 2 1007有 6 名学生，其中有 3 名会唱歌，2 名会跳舞，1 名既会唱歌也会跳舞现在从中选出 2 名会唱歌的，1 名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法_种【解析】 C C C C C 15 种
21、23 12 13 12 23【答案】 158某球队有 2 名队长和 10 名队员，现选派 6 人上场参加比赛，如果场上最少有 1 名队长，那么共有_种不同的选法【解析】 若只有 1 名队长入选，则选法种数为 C C ；若两名队长均入选，则选12 510法种数为 C ，故不同选法有 C C C 714(种)410 12 510 410【答案】 714三、解答题9空间有 10 个点，其中有 5 个点共面(除此之外再无 4 点共面)，以每 4 个点为顶点作一个四面体，问一共可作多少个四面体？【解】 不考虑任何限制，10 个点可得 C 个四面体由于有 5 个点共面，这 5 个点410中的任意 4 个点
22、都不能构成四面体，共有 C 种情形所以构成四面体的个数为45C C 2105205.410 4510假设在 10 件产品中有 3 件是次品，从中任意抽取 5 件，求下列抽取方法各有多少种？(1)没有次品；(2)恰有两件是次品；(3)至少有两件是次品【解】 (1)没有次品的抽法就是从 7 件正品中抽取 5 件的抽法，共有 C 21(种)57(2)恰有 2 件次品的抽法就是从 7 件正品中抽取 3 件，并从 3 件次品中抽取 2 件的抽法，共有 C C 105(种)3723(3)至少有 2 件次品的抽法，按次品件数来分有两类：10第一类，从 7 件正品中抽取 3 件，并从 3 件次品中抽取 2 件
23、，有 C C 种；3723第二类，从 7 件正品中抽取 2 件，并将 3 件次品全部抽取，有 C C 种273按分类加法计数原理，有 C C C C 126(种)3723 273能力提升1某单位拟安排 6 位员工在 2017 年劳动节 3 天假期值班，每天安排 2 人，每人值班1 天若 6 位员工中的甲不值第一日，乙不值最后一日，则不同的安排方法共有( ) 【导学号：62690017】A30 种 B36 种C42 种 D48 种【解析】 所有排法减去甲值第一日或乙值最后一日，再加上甲值第一日且乙值最后一日的排法，即有 C C 2C C C C 42(种)排法2624 1524 1413【答案】
24、 C2现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为( )A232 B252C472 D484【解析】 显然该问题是一个组合问题，什么条件也不考虑共有 C 种取法，同一种316颜色共有 4C 种取法，两张红色卡片共有 C C 种取法，不同的取法有：34 24 12C 4C C C 1672472.316 34 24121615146【答案】 C3如图 131， A， B， C， D 为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有_种图 131【解析】 四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求，如桥 AC， BC， BD 符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥 AC， CD， DA，不符合要求，故共有 C 416 种36不同的建桥方案【答案】 164已知一组曲线 y ax3 bx1，其中 a 为 2,4,6,8 中的任意一个， b 为 1,3,5,7 中13的任意一个现从这些曲线中任取两条求它们在 x1 处的切线相互平行的组数
