1、- 1 -第 二 节 空 间 几 何 体 的 表 面 积 与 体 积 1.了解球、柱体、锥体、台体的表面积计算公式2了解球、柱体、锥体、台体的体积计算公式知识点一 空间几何体的表面积 1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱 圆锥 圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧 _ S 圆锥侧 _S 圆台侧 (rr)l2.多面体的侧面积和表面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和答案12 rl rl1(2016新课标全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )- 2 -A20 B24 C28 D32 解析：该
2、几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径 r2，底面圆的周长 c2 r4 ，圆锥的母线长 l 4，圆柱的高 h4，所以该几何体22 23 2的表面积 S 表 r2ch cl4 16 8 28 ，故选 C.12答案： C2(必修 P36A 组第 10 题改编)一直角三角形的三边长分别为 6 cm，8 cm, 10 cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为_解析：旋转一周所得几何体为以 cm 为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为245S 6 8 (cm2)245 245 3365答案： (cm2)3365知识点二 空间几何体的体积 1柱体：V_；2棱锥：V_；3棱台：V h(S 上
3、 S 下 )；13 S上 S下4球：V R3.43答案1Sh 2. Sh13- 3 -3(2016新课标全国卷)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A12 B. C8 D4 323解析：由正方体的体积为 8 可知，正方体的棱长 a2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即 2R a(R 为正方体外接球的半径)，所以 R ，故所求球的表面积3 3S4 R212 .答案： A4(必修 P28 习题 1.3A 组第 3 题改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_解析：设长方体的相邻三条棱长分别为 a，b，
4、c，它截出棱锥的体积为V1 a b c abc，剩下的几何体的体积 V2abc abc abc, 所以13 12 12 12 12 148 148 4748V1V 2147.答案：1475三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，PA3，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，则三棱锥 PABC 的体积等于_解析：PA底面 ABC，PA 为三棱锥 PABC 的高，且 PA3.底面 ABC 为正三角形且边长为 2，底面面积为 22sin60 ，12 3V PABC 3 .13 3 3答案： 3- 4 -热点一 空间几何体的表面积 【例 1】 (1)(2016新课标全国卷)如图，某几何体的三视图是三
5、个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是 ，则它的表面积是( )283A17 B18 C20 D28 (2)(2017黑龙江哈师大附中一模)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. B.73 172C13 D.17 3102【解析】 (1)由三视图可得此几何体为一个球切割掉 后剩下的几何体，设球的半径为18r，故 r3 ，所以 r2，表面积 S 4 r2 r217 ，选 A.78 43 283 78 34(2)由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示则 CC平面 ABC，上下底均为等腰直角三角形，ACBC，ACBC1，ACBCCC2，AB ，AB
6、2 .棱台的上底面2 2- 5 -积为 11 ，下底面积为 222，梯形 ACCA的面积为 (12)23，梯形12 12 12 12BCCB的面积为 (12)23，过 A 作 ADAC于 D，过 D 作 DEAB，则12ADCC2，DE 为ABC斜边高的 ，DE ，AE ，梯形12 22 AD2 DE2 32ABBA的面积为 ( 2 ) ，几何体的表面积 S 233 13，故选12 2 2 32 92 12 92C.【答案】 (1) A (2) C【总结反思】(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面
7、展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为( )- 6 -A54 B60 C66 D72解析：根据几何体的三视图可得该几何体的直观图为如图所示的 ABCDEF，故其表面积为SS DEF S ABC S 梯形 ABEDS 梯形 CBEFS 矩形 ACFD 35 34 (52)12 12 124 (52)53560.故选 B.12答案： B热点二 空间几何体的体积 【例 2】 如图所示，已知 E，F 分别是棱长为 a 的正方体 ABCDA 1B1C1D1的棱 A1A，CC 1的中点，则四棱锥 C1B 1EDF 的体积为_- 7 -【解析】
8、 (1)法 1：连接 A1C1，B 1D1交于点 O1，连接 B1D，EF，过 O1作 O1HB 1D 于H.EFA 1C1，且 A1C1平面 B1EDF，EF 平面 B1EDF，A 1C1平面 B1EDF.C 1到平面 B1EDF 的距离就是 A1C1到平面 B1EDF 的距离平面 B1D1D平面 B1EDF，且平面 B1D1D平面 B1EDFB 1D，O 1H平面 B1EDF，即 O1H 为棱锥的高，B 1O1HB 1DD1，O 1H a.B1O1DD1B1D 66V C1B 1EDF S 四边形 B1EDFO1H13 EFB1DO1H13 12 a a a a3.13 12 2 3 66
9、 16法 2：连接 EF，B 1D.设 B1到平面 C1EF 的距离为 h1，D 到平面 C1EF 的距离为 h2，则 h1h 2B 1D1 a.2由题意得，V C1B 1EDFV B1C 1EFV DC1EF SC1EF(h1h 2) a3.13 16【答案】 a316- 8 -【总结反思】(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.(
10、1)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A. B.18 17C. D.16 15(2)如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且ADE，BCF 均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为( )A. B.23 33C. D.43 32- 9 -解析：(1)由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥设正方体的棱长为 1，则三棱锥的体积为V1 111 ，剩余部分的体积 V21 3 ，所以 .13 12 16 16 56 V1V21656 15
11、(2)如图，分别过点 A，B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G，H，连接 DG，CH，容易求得EGHF ，AGGDBHHC ，则BHC 中 BC 边的高 h .S AGD S BHC 112 32 22 12 22， V V EADG V FBHC V AGDBHC 2V EADG V AGDBHC 2 1 .24 13 24 12 24 23答案：(1) D (2) A热点三 与球有关的切、接问题 考向 1 球的内接问题【例 3】 已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC2，则此棱锥的体积为( )A. B.26
12、36C. D.23 22【解析】 由于三棱锥 SABC 与三棱锥 OABC 底面都是ABC，O 是 SC 的中点，因此三棱锥 SABC 的高是三棱锥 OABC 高的 2 倍，所以三棱锥 SABC 的体积也是三棱锥- 10 -OABC 体积的 2 倍在三棱锥 OABC 中，其棱长都是 1，如图所示，S ABC AB2 ，高 OD34 34 ，12 (33)2 63V SABC 2V OABC 2 13 34 63 .26【答案】 A考向 2 球的外切问题【例 4】 若一个正四面体的表面积为 S1，其内切球的表面积为 S2，则 _.S1S2【解析】 设正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S14 a2 a2，其内切球34 3半径为正四面体高的 ，即 r a a，因此内切球表面积为 S24 r2 ，则 14 14 63 612 a26 S1S2 .3a26a2 63【答案】 63【总结反思】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a 2b 2c 2求解.
