1、第八章 专题拓展 8.1 观察归纳型,中考数学 (湖南专用),1.(2017湖北武汉,8,3分)按照一定规律排列的n个数:-2,4,-8,16,-32,64,.若最后三个数的和为7 68,则n为 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12,好题精练,答案 B 根据规律可知,第n个数为(-1)n2n,则最后三个数为(-1)n-22n-2,(-1)n-12n-1,(-1)n2n, 当n为奇数时,(-1)n-22n-2+(-1)n-12n-1+(-1)n2n=768, 即-2n-2+2n-1-2n=768, -2n-2(1-2+4)=768,-2n-2=256,此方程无解; 当n为偶数时,(-1)
2、n-22n-2+(-1)n-12n-1+(-1)n2n=768, 即2n-2-2n-1+2n=768, 2n-2(1-2+4)=768,2n-2=28,n-2=8,n=10.,思路分析 先由规律得出第n个数为(-1)n2n,然后写出最后三个数,根据最后三个数的和为768 列方程求解,注意n要分奇数和偶数两种情况讨论.,2.(2016湖南邵阳,10,3分)如图所示,下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律,根据此 规律,最后一个三角形中y与n之间的关系是 ( )A.y=2n+1 B.y=2n+n C.y=2n+1+n D.y=2n+n+1,答案 B 根据3=1+21,6=2+22,11=3+2
3、3,总结规律为y=n+2n,故选B.,3.(2016湖南娄底,9,3分)“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”.比如在化学 中,甲烷的化学式是CH4,乙烷的化学式是C2H6,丙烷的化学式是C3H8,设碳原子的数目为n (n为正整数),则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示 ( ) A.CnH2n+2 B.CnH2n C.CnH2n-2 D.CnHn+3,答案 A 设碳原子的数目为n(n为正整数)时,氢原子的数目为an,观察发现规律:a1=4=21+2,a 2=6=22+2,a3=8=23+2,an=2n+2.碳原子的数目为n(n为正整数)时,它们的化学式为 CnH2n+2.故选A.,
4、4.(2016湖南永州,12,4分)我们根据指数运算,得出了一种新的运算,下表是两种运算对应关系 的一组实例:,根据上表规律,某同学写出了三个式子:log216=4,log525=5,log2 =-1.其中正确的是( ) A. B. C. D.,答案 B 经过分析,可以得到新运算中的规律,如果ab=N,那么logaN=b.因为24=16,5525,2-1= ,所以log216=4,log2 =-1,即正确.,思路分析 根据指数运算和新的运算法则得出规律,根据规律运算可得结论.,解题关键 根据指数运算与新运算归纳总结出运算中数字变化特点的规律:指数运算ax=y,新 运算logay=x.,5.(2
5、015湖南张家界,8,3分)任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和, 如:23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,按此规律,若m3分裂后其中有一个奇数是2 015,则 m的值是 ( ) A.46 B.45 C.44 D.43,答案 B 底数是2的分裂成2个奇数,底数为3的分裂成3个奇数,底数为4的分裂成4个奇数, m3有m个奇数,所以,到m3的奇数的个数为2+3+4+m= ,2n+1=2 015,n=1 007, 奇数2 015是从3开始的第1 007个奇数, =989, =1 034, 第1 007个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个,
6、即m=45.故选B.,6.(2015重庆,11,4分)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的,其中第个图形 中一共有6个小圆圈,第个图形中一共有9个小圆圈,第个图形中一共有12个小圆圈, 按此规律排列,则第个图形中小圆圈的个数为 ( )A.21 B.24 C.27 D.30,答案 B 第个图形中有23=6个小圆圈;第个图形中有33=9个小圆圈;第个图形中有 34=12个小圆圈;第个图形中有38=24个小圆圈,故选B.,7.(2015山东威海,12,3分)如图,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2,正六边形A2B2C2D2E2F2的外接 圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边
7、相切,正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2 F2的各边相切,按这样的规律进行下去,正六边形A10B10C10D10E10F10的边长为 ( )A. B. C. D.,答案 D 正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2= ,正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆的半 径为2 = ,则正六边形A2B2C2D2E2F2的边长为 = ,同理,正六边形A3B3C3D3E3F3的边 长为 = ,正六边形AnBnCnDnEnFn的边长为 ,则当n=10时,正六边形A10B10C10D10E 10F10的边长为 = = = .故选D.,8.(2014湖南株洲,8,3分)在
8、平面直角坐标系中,孔明做走棋的游戏,其走法:棋子从原点出发,第1 步向右走1个单位,第2步向右走2个单位,第3步向上走1个单位,第4步向右走1个单位,依此 类推,第n步的走法:当n能被3整除时,则向上走1个单位;当n被3除,余数为1时,则向右走1个单 位;当n被3除,余数为2时,则向右走2个单位,当走完第100步时,棋子所处置的坐标是 ( ) A.(66,34) B.(67,33) C.(100,33) D.(99,34),答案 C 由题意得,每3步为一个循环组依次循环,且一个循环组内向右走3个单位,向上走1 个单位,1003=33余1,走完第100步,为第34个循环组的第1步,所处位置的横坐
9、标为333+1 =100,纵坐标为331=33,棋子所处位置的坐标是(100,33).故选C.,9.(2018湖南娄底,18,3分)设a1,a2,a3,是一列正整数,其中a1表示第一个数,a2表示第二个数,依此 类推,an表示第n个数(n是正整数).已知a1=1,4an=(an+1-1)2-(an-1)2,则a2 018= .,答案 4 035,解析 4an=(an+1-1)2-(an-1)2, (an+1-1)2=(an-1)2+4an=(an+1)2, a1,a2,a3,是一列正整数, an+1-1=an+1,an+1=an+2, a1=1,a2=3,a3=5,a4=7,a5=9, , a
10、n=2n-1, a2 018=4 035.,思路分析 由4an=(an+1-1)2-(an-1)2,可得(an+1-1)2=(an-1)2+4an=(an+1)2,根据a1,a2,a3,是一列正整数, 得出an+1=an+2,根据a1=1,分别求出a2=3,a3=5,a4=7,a5=9,进而发现规律an=2n-1,即可求出a2 018=4 035.,解题关键 通过计算、分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.解决本题的 难点在于得出式子an+1=an+2.,10.(2018湖南衡阳,18,3分)如图,在平面直角坐标系中,函数y=x和y=- x的图象分别为直线l1,l2, 过点A1
11、作x轴的垂线交l1于点A2,过点A2作y轴的垂线交l2于点A3,过点A3作x轴的垂线交l1于 点A4,过点A4作y轴的垂线交l2于点A5,依次进行下去,则点A2 018的横坐标为 .,答案 21 008,解析 A1 ,A2(1,1),A3(-2,1),A4(-2,-2),A5(4,-2),A6(4,4), 2 0184=5042,A2 018在射线OA2上,又A2的横坐标为20=1,A6的横坐标为 =22=4. 点A2 018的横坐标为 =21 008.,11.(2016湖南衡阳,18,3分)如图所示,1条直线将平面分成2个部分,2条直线最多可将平面分成4 个部分,3条直线最多可将平面分成7个
12、部分,4条直线最多可将平面分成11个部分.现有n条直线最多可将平面分成56个部分,则n的值为 .,答案 10,解析 1条直线可将平面分成2个部分,2=1+1;2条直线最多可将平面分成4个部分,4=1+1+2;3 条直线最多可将平面分成7个部分,7=1+1+2+3;4条直线最多可将平面分成11个部分,11=1+1+2 +3+4;n条直线最多可将平面分成1+1+2+3+4+n=1+ = 个部分. 根据题意,得 =56, 解得n1=10,n2=-11. 其中n2=-11不合题意,舍去.故n的值为10.,12.(2016湖南岳阳,16,4分)如图,在平面直角坐标系中,每个最小方格的边长均为1个单位长,
13、P1, P2,P3,均在格点上,其顺序按图中“”方向排列,如:P1(0,0),P2(0,1),P3(1,1),P4(1,-1),P5(-1,-1),P 6(-1,2),根据这个规律,点P2 016的坐标为 .,答案 (504,-504),解析 根据各个点的位置关系,可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上,被4除余 1的点在第三象限的角平分线上,被4除余2的点在第二象限的角平分线上,被4除余3的点在第 一象限的角平分线上, 2 0164=504,点P2 016在第四象限的角平分线上. 点P4(1,-1),点P8(2,-2),点P12(3,-3), 点P2 016的横坐标为2 0164=5
14、04,纵坐标为-504. 点P2 016的坐标为(504,-504).,思路分析 根据各个点的位置关系,可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上,被4 除余1的点在第三象限的角平分线上,被4除余2的点在第二象限的角平分线上,被4除余3的点 在第一象限的角平分线上,点P2 016在第四象限的角平分线上,且横、纵坐标的绝对值=2 0164= 504,再根据第四象限内点的符号得出答案即可.,解题关键 找出数字随点的位置变化规律,先观察点所在的象限的变化规律确定点所在象限, 再观察数字变化特点归纳数字变化规律确定点的坐标.,13.(2016湖南郴州,16,3分)观察下列等式:31=3,32=9,
15、33=27,34=81,35=243,36=729,试猜想32 016 的 是 .,答案 1,解析 31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729, 个位数字分别为3、9、7、1,依次循环,2 0164=504, 32 016的个位数字与34的个位数字相同,是1.,审题技巧 本题考查了数字的变化规律,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先 应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.对于本题的关键在于找个位数字的变化 规律,在变化中后一项的个位数字由前一项的个位数字乘以3得到的数的个位数字确定.,14.(2016湖南益阳,14,5分)小李用围棋子排成下列一组
16、有规律的图案,其中第1个图案有1枚棋 子,第2个图案有3枚棋子,第3个图案有4枚棋子,第4个图案有6枚棋子,那么第9个图案的棋 子数是 枚.,答案 13,解析 设第m(m为正整数)个图案有am枚棋子.观察发现:a1=1,a2=1+2=3,a3=3+1=4,a4=4+2=6,a5= 6+1=7,.总结规律得a2n+1=3n+1,a2n+2=3(n+1)(n为自然数).当n=4时,a9=34+1=13.,15.(2014湖南衡阳,20,3分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点M0的坐标为(1,0),将线段OM0 绕原点O逆时针方向旋转45,再将其延长至点M1,使得M1M0OM0,得到线段OM1;又将线段OM1 绕原点O逆时针方向旋转45,再将其延长至点M2,使得M2M1OM1,得到线段OM2;如此下去,得 到线段OM3、OM4、OM5、.根据以上规律,请直接写出线段OM2 014的长度为 .,答案 ( )2 014,解析 点M0的坐标为(1,0),OM0=1,根据等腰直角三角形的性质,可知OM1= ,同理,OM2= ( )2,OM3=( )3,OM4=( )4,故OM2 014=( )2 014.,
