1、第五章 圆 5.1 圆的性质及与圆有关的位置关系,中考数学 (湖南专用),A组 20142018年湖南中考题组,五年中考,考点一 圆的有关概念与性质,1.(2018湖南邵阳,6,3分)如图所示,四边形ABCD为O的内接四边形,BCD=120,则BOD的 大小是 ( )A.80 B.120 C.100 D.90,解题关键 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补 是解题的关键.,思路分析 根据圆内接四边形的性质求出A,再根据圆周角定理解答.,答案 B 四边形ABCD为O的内接四边形, BAD=180-BCD=60, 由圆周角定理得,BOD=2A=120,故选B.,2
2、.(2018湖南张家界,6,3分)如图,AB是O的直径,弦CDAB于点E,OC=5 cm,CD=8 cm,则AE= ( )A.8 cm B.5 cm C.3 cm D.2 cm,答案 A 因为AB是O的直径,弦CDAB于点E,所以根据垂径定理可得EC=ED= CD=4 cm,所以在RtOEC中,根据勾股定理可得OE= =3 cm,所以AE=AO+OE=8 cm.,3.(2017湖南张家界,3,3分)如图,在O中,AB是直径,AC是弦,连接OC,若ACO=30,则BOC 的度数是 ( )A.30 B.45 C.55 D.60,答案 D OA=OC,A=ACO=30, BOC=2A=230=60.
3、,思路分析 先根据等腰三角形的性质得出A的度数,再根据圆周角定理求出BOC的度数.,4.(2016湖南张家界,6,3分)如图,AB是O的直径,BC是O的弦,若OBC=60,则BAC的度数 是 ( )A.75 B.60 C.45 D.30,答案 D AB是O的直径, ACB=90, 又OBC=60, BAC=180-ACB-ABC=180-90-60=30.故选D.,思路分析 根据AB是O的直径可得出ACB=90,再根据三角形内角和为180以及OBC= 60,即可求出BAC的度数.,解题关键 本题考查了圆周角定理以及角的计算,解题的关键是得出ACB=90,即直径所对 的圆周角为90.,5.(20
4、15湖南株洲,6,3分)如图,圆O是ABC的外接圆,A=68,则OBC的大小是 ( )A.22 B.26 C.32 D.68,答案 A 由题可知BOC=2A=136, BO=OC, OBC=OCB= =22,故选A.,思路分析 先根据圆周角定理即同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求出BOC 的度数,再根据等腰三角形的性质得出OBC的度数.,审题技巧 在圆中,可通过圆心角的度数求同弧所对的圆周角的度数,也可通过圆周角的度数 求同弧所对的圆心角的度数.,6.(2015湖南湘潭,7,3分)如图,四边形ABCD是O的内接四边形,若DAB=60,则BCD的度 数是 ( )A.60 B.90 C.1
5、00 D.120,答案 D 四边形ABCD是O的内接四边形, DAB+BCD=180, DAB=60, BCD=180-60=120.故选D.,思路分析 根据圆内接四边形的对角互补求出答案.,解题关键 本题考查的是圆内接四边形的性质,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.,7.(2015湖南永州,6,3分)如图,P是O外一点,PA、PB分别交O于C、D两点,已知 和 所 对的圆心角分别为90和50,则P= ( )A.45 B.40 C.25 D.20,答案 D 和 所对的圆心角分别为90和50, A=25,ADB=45,P+A=ADB, P=ADB-A=45-25=20.故选D.,思路分析
6、根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得ADB和CAD的度数,再由三角形 外角的性质求解.,易错警示 不会合理运用圆周角定理;不理解三角形外角的性质.,8.(2017湖南长沙,15,3分)如图,AB为O的直径,弦CDAB于点E,已知CD=6,EB=1,则O的半 径为 .,答案 5,解析 连接OC,设圆O的半径为r,则OE=r-1,根据垂径定理可得CE=3,在RtOCE中,由勾股定 理可得,CE2+OE2=OC2,即32+(r-1)2=r2,解得r=5.故O的半径为5.,方法总结 在已知直径与弦垂直的问题中,通常连接半径构造直角三角形,其中斜边为圆的半 径,两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离,从
7、而运用勾股定理来计算.,9.(2017湖南湘潭,13,3分)如图,在O中,已知AOB=120,则ACB= .,答案 60,解析 AOB=120,点C在O上, ACB= AOB=60.,10.(2016湖南株洲,25,10分)已知AB是半径为1的圆O直径,C是圆上一点,D是BC延长线上一点, 过点D的直线交AC于E点,且AEF为等边三角形. (1)求证:DFB是等腰三角形; (2)若DA= AF,求证:CFAB.,证明 (1)AB是O的直径,ACB=90, AEF为等边三角形, CAB=EFA=60,B=30, EFA=B+FDB,B=FDB=30, DFB是等腰三角形. (2)过点A作AMDF
8、于点M,设AF=2a(a0),AEF是等边三角形,FM=EM=a,AM= a,在Rt DAM中,AD= AF=2 a,AM= a,DM=5a,DF=BF=6a,AB=AF+BF=8a,在RtABC 中,B=30,ACB=90,AC=4a,AE=EF=AF=CE=2a,ECF=EFC,AEF=ECF+ EFC=60,CFE=30,AFC=AFE+EFC=60+30=90,CFAB.,思路分析 (1)由AB是O的直径,得到ACB=90,由AEF为等边三角形,得到CAB=E- FA=60,根据三角形的外角的性质即可得到结论; (2)过点A作AMDF于点M,设AF=2a(a0),根据等边三角形的性质得
9、到FM=EM=a,AM= a,再 根据已知条件得到AB=AF+BF=8a,根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a,推出 ECF=EFC,根据三角形内角和定理即可得到结论.,11.(2015湖南衡阳,26,8分)如图,AB是O的直径,点C、D为半圆O的三等分点,过点C作CE AD,交AD的延长线于点E. (1)求证:CE为O的切线; (2)判断四边形AOCD是否为菱形,并说明理由.,解析 (1)证明:连接OD,点C、D为半圆O的三等分点, BOC= BOD, 又BAD= BOD, BOC=BAD,AEOC, ADEC,OCEC, OC为O的半径, CE为O的切线. (2)四边形AO
10、CD是菱形.理由如下: 点C、D为半圆O的三等分点,AOD=COD=60, OA=OD=OC,AOD和COD都是等边三角形, OA=AD=DC=OC=OD, 四边形AOCD是菱形.,考点二 与圆有关的位置关系,1.(2016湖南邵阳,9,3分)如图所示,AB是O的直径,点C为O外一点,CA,CD是O的切线,A,D 为切点,连接BD,AD.若ACD=30,则DBA的大小是 ( )A.15 B.30 C.60 D.75,答案 D CA,CD是O的切线,A,D为切点, CAB=90,CA=CD, 故CAD是等腰三角形. C=30,CAD=CDA=75,BAD=15, AB是O的直径,BDA=90.D
11、BA=75,故选D.,2.(2016湖南湘西,18,4分)在RtABC中,C=90,BC=3 cm,AC=4 cm,以点C为圆心,2.5 cm长为 半径画圆,则C与直线AB的位置关系是 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定,答案 A 过C作CDAB于D,如图所示. 在RtABC中,C=90,AC=4 cm,BC=3 cm, AB= =5 cm. ABC的面积= ACBC= ABCD, 34=5CD,CD=2.4 cm2.5 cm, C与直线AB的位置关系是相交.故选A.,思路分析 要判断直线与圆的位置关系,应求出点C到直线AB的距离,于是过C作CDAB于D, 根据勾股定理求出AB
12、,再根据三角形的面积公式求出CD,比较CD长和半径的大小,根据直线和 圆的位置关系即可得出结论.,解题关键 本题考查的是直线与圆的位置关系,解答本题的关键是求出点C到AB的距离.,3.(2018湖南湘潭,13,3分)如图,AB是O的切线,点B为切点,若A=30,则AOB= .,答案 60,解析 AB是O的切线, OBA=90, AOB=90-A=60, 故答案为60.,思路分析 根据切线的性质得到OBA=90,根据直角三角形的性质计算即可.,解题关键 本题考查的是切线的性质,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.,4.(2018湖南长沙,18,3分)如图,点A,B,D在O上,A=20,
13、BC是O的切线,B为切点,OD的延长 线交BC于点C,则OCB= 度.,答案 50,解析 由题意知BOC=2A=40, 直线BC与O相切,OBC=90, 在OBC中,OCB=180-90-40=50.,5.(2017湖南岳阳,16,4分)如图,O为等腰ABC的外接圆,直径AB=12,P为 上任意一点(不 与B,C重合),直线CP交AB延长线于点Q,O在点P处的切线PD交BQ于点D,下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号) 若PAB=30,则 的长为;若PDBC,则AP平分CAB;若PB=BD,则PD=6 ;无 论点P在 上的位置如何变化,CPCQ恒为定值.,答案 ,解析 如图,连接OP,
14、PB.AO=OP,PAB=30, POB=60, AB=12, OB=6, 的长为 =2,故错误; PD是O的切线, OPPD,PDBC, OPBC, = , PAC=PAB, AP平分CAB,故正确; PB=BD,BPD=BDP, OPPD, BPD+BPO=BDP+BOP, BOP=BPO, BP=BO=PO=6,即BOP是等边三角形, PD= OP=6 ,故正确; AC=BC, BAC=ABC,又ACP=QCA, ACPQCA, = ,即CPCQ=CA2(定值),故正确.,解题关键 本题主要考查了相似三角形的判定与性质,垂径定理,切线的性质以及弧长公式等, 解决问题的关键是作辅助线构造三
15、角形,解题时注意:垂直弦的直径平分这条弦,并且平分弦所 对的弧.,又ABC=APC, APC=BAC,6.(2018湖南邵阳,21,8分)如图所示,AB是O的直径,点C为O上一点,过点B作BDCD,垂足 为点D,连接BC.BC平分ABD. 求证:CD为O的切线.,证明 BC平分ABD, OBC=DBC, OB=OC, OBC=OCB, OCB=DBC, OCBD, BDCD, OCCD, CD为O的切线.,思路分析 先利用BC平分ABD得到OBC=DBC,再证明OCBD,从而得到OCCD,然 后根据切线的判定定理得到结论.,评析 本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是
16、圆的切线.,7.(2018湖南永州,24,10分)如图,线段AB为O的直径,点C,E在O上, = ,CDAB,垂足为 点D,连接BE,弦BE与线段CD相交于点F. (1)求证:CF=BF; (2)若cosABE= ,在AB的延长线上取一点M,使BM=4,O的半径为6.求证:直线CM是O的 切线.,证明 (1)延长CD交O于G,如图, CDAB, = , = , = , CBE=GCB, CF=BF.(2)连接OC,交BE于点H,如图, = ,OCBE, 在RtOBH中,cosOBH= = , BH= 6= , OH= = , = = , = = , = , 又HOB=COM, OHBOCM,
17、OCM=OHB=90, OCCM, 直线CM是O的切线.,思路分析 (1)延长CD交O于G,利用垂径定理得到 = ,则可证明 = ,然后根据圆周 角定理得CBE=GCB,从而得到CF=BF. (2)连接OC,交BE于H,先利用垂径定理得到OCBE,再在RtOBH中利用解直角三角形得到 BH= ,OH= ,接着证明OHBOCM,得到OCM=OHB=90,然后根据切线的判定定 理得到结论.,8.(2017湖南怀化,23,8分)如图,已知BC是O的直径,点D为BC延长线上的一点,点A为圆上一 点,且AB=AD,AC=CD. (1)求证:ACDBAD; (2)求证:AD是O的切线.,证明 (1)AB=
18、AD, B=D, AC=CD, CAD=D, CAD=B, 又D=D, ACDBAD. (2)连接OA, OA=OB, B=OAB,由(1)知B=CAD, OAB=CAD, BC是O的直径, BAC=90, OAD=90,OAAD,AD是O的切线.,9.(2016湖南常德,24,8分)如图,已知O是ABC的外接圆,AD是O的直径,且BD=BC,延长AD 到E,且有EBD=CAB. (1)求证:BE是O的切线; (2)若BC= ,AC=5,求O的直径AD及切线BE的长.,解析 (1)证明:如图.连接OB,OA=OB,3=4, BD=BC,2=3, 又1=2,1=4, (2分) AD是O的直径,4
19、+OBD=90, 1+OBD=90, 即OBBE,且BE过半径的外端点, BE是O的切线. (4分) (2)连接CD,设OB与CD交于H,圆的半径为r, 由(1)的证明过程知2=4,OBAC, O是AD的中点, OH= AC= ,且OHCD, (5分) OD2=OH2+HD2, r2= +HD2= +BD2-BH2= +( )2- , r=3,直径AD=6, (6分) AB= = , O是四边形ADBC的外接圆,ACB+ADB=180, 而BDE+ADB=180, ACB=BDE,又1=2, DBECAB, (7分), = ,即 = , BE= . (8分),10.(2015湖南长沙,24,9
20、分)如图,在直角坐标系中,M经过原点O(0,0),点A( ,0)与点B(0,- ), 点D在劣弧OA上,连接BD交x轴于点C,且COD=CBO. (1)求M的半径; (2)求证:BD平分ABO; (3)在线段BD的延长线上找一点E,使得直线AE恰好为M的切线,求此时点E的坐标.,解析 (1)因为AOB为直角, 所以AB是M的直径. 又因为点A的坐标为( ,0),点B的坐标为(0,- ), 所以OA= ,OB= ,在RtAOB中,AB= =2 ,所以M的半径为 . (2)证明:因为COD=CBO,而COD=ABD, 所以ABD=CBO,故BD平分ABO. (3)如图,因为AB为M的直径,所以过点
21、A作直线lAB,直线l与BD的延长线的交点即是所求的 点E,此时直线AE必为M的切线.在RtAOB中,OB= ,AB=2 ,所以OAB=30. 所以OBC=CAB=30, 所以OC= = ,ECA=EAC=60, 所以ECA为边长等于 的正三角形. 设点E坐标为(x,y), x= + = ,y= = , 所以点E的坐标为 .,B组 20142018年全国中考题组,考点一 圆的有关概念与性质,1.(2017海南,12,3分)如图,点A、B、C在O上,ACOB,BAO=25,则BOC的度数为 ( )A.25 B.50 C.60 D.80,答案 B OA=OB,BAO=25,B=25.ACOB,B=
22、CAB=25, BOC=2CAB=50.故选B.,思路分析 先根据OA=OB,BAO=25得出B=25,再由平行线的性质得出B=CAB=25, 根据圆周角定理即可得出结论.,解题关键 本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都 等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.,2.(2017内蒙古呼和浩特,7,3分)如图,CD为O的直径,弦ABCD,垂足为M.若AB=12,OMMD =58,则O的周长为 ( )A.26 B.13 C. D.,答案 B 连接OA,设OM=5x(x0),则MD=8x,OA=OD=13x,又AB=12,ABCD,AM=6.在 RtAOM
23、中,(5x)2+62=(13x)2,解得x= (舍负),半径OA= ,O的周长为13.,方法规律 如图,设圆的半径为r、弦长为a、弦心距为d,弓形的高为h,则 +d2=r2(h=r-d或h= r+d).已知其中任意两个量即可求出其余两个量.,3.(2017云南,14,4分)如图,B、C是A上的两点,AB的垂直平分线与A交于E、F两点,与线段 AC交于D点.若BFC=20,则DBC= ( )A.30 B.29 C.28 D.20,答案 A BFC=20, BAC=2BFC=40, AB=AC, ABC=ACB= =70. EF是线段AB的垂直平分线, AD=BD, ABD=A=40, DBC=A
24、BC-ABD=70-40=30. 故选A.,4.(2015吉林长春,7,3分)如图,四边形ABCD内接于O,若四边形ABCO是平行四边形,则ADC 的大小为 ( )A.45 B.50 C.60 D.75,答案 C 设ADC=x,则AOC=2x.四边形ABCO是平行四边形,B=AOC.B+ D=180,x+2x=180.x=60.ADC=60.故选C.,5.(2015甘肃兰州,9,4分)如图,经过原点O的P与x、y轴分别交于A、B两点,点C是劣弧OB上 一点,则ACB= ( )A.80 B.90 C.100 D.无法确定,答案 B 根据同弧所对的圆周角相等,得到ACB=AOB=90,故选B.,6
25、.(2015山东临沂,8,3分)如图,A,B,C是O上的三个点,若AOC=100,则ABC等于 ( )A.50 B.80 C.100 D.130,答案 D 如图,在优弧AC上任取一点D,连接AD、CD. AOC=100,ADC= AOC=50. ADC+ABC=180, ABC=180-50=130. 故选D.,7.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60,弦AD平分 CAB,若AD=6,则AC= .,答案 2,解析 连接BD,因为AB为O的直径,所以ADB=90,因为CAB=60,弦AD平分CAB,所以 BAD=30,因为 =cos 30,所以AB=
26、 = =4 .在RtABC中,AC=ABcos 60=4 =2 .,考点二 与圆有关的位置关系,1.(2017上海,17,4分)如图,已知RtABC中,C=90,AC=3,BC=4.分别以点A、B为圆心画圆,如 果点C在A内,点B在A外,且B与A内切,那么B的半径长r的取值范围是 .,答案 8r10,解析 C=90,AC=3,BC=4,AB=5. A与B内切,且点B在A外, r-rA=AB,r=5+rA. 3rA5,8r10.,解题关键 明确两圆内切时,两圆半径与圆心距的关系.,2.(2015辽宁沈阳,11,4分)如图,在ABC中,AB=AC,B=30,以点A为圆心,以3 cm为半径作A, 当
27、AB= cm时,BC与A相切.,答案 6,解析 作ADBC于点D.当BC与A相切时,AD=3 cm. 在RtABD中,AD=3 cm,B=30,AB= =6 cm. 当AB=6 cm时,BC与A相切.,3.(2014山东青岛,12,3分)如图,AB是O的直径,BD,CD分别是过O上点B,C的切线,且BDC =110.连接AC,则A的度数是 .,答案 35,解析 连接BC,易知DB=DC,所以DBC= (180-BDC)=35,所以A=DBC=35.,4.(2017甘肃兰州,27,10分)如图,ABC内接于O,BC是O的直径,弦AF交BC于点E,延长BC 到点D,连接OA,AD,使得FAC=AO
28、D,D=BAF. (1)求证:AD是O的切线; (2)若O的半径为5,CE=2,求EF的长.,解析 (1)证明:BC是O的直径, BAC=90. (1分) BAF+FAC=90. (2分) FAC=AOD,D=BAF, D+AOD=90. (4分) OAAD. OA为O的半径, AD是O的切线. (5分) (2)如图,连接BF.BE=BC-CE=2OC-CE=10-2=8.,ACE=OCA,FAC=AOC, OACAEC. (6分) = = ,即 = = ,AE= . (7分) AEC=BEF,ACB=BFE, AECBEF. (9分) = ,即 = ,EF= . (10分),方法规律 在有关
29、圆的问题中,有直径通常作直径所对的圆周角,构造直角三角形解决问题;有 关切线的证明,遵循“有切点,连半径,证垂直;无切点,作垂直,证半径”的原则.关于圆的一些定 理或推论形成的基本图形应熟记于心,并能在组合图形中识别、分解出来.,5.(2017山西,21,7分)如图,ABC内接于O,且AB为O的直径.ODAB,与AC交于点E,与过 点C的O的切线交于点D. (1)若AC=4,BC=2,求OE的长; (2)试判断A与CDE的数量关系,并说明理由.,解析 (1)AB是O的直径,ACB=90. 在RtABC中,由勾股定理得AB= = =2 , AO= AB= 2 = . (1分)ODAB,AOE=A
30、CB=90, 又A=A,AOEACB, (2分) = ,OE= = = . (3分) (2)CDE=2A. (4分) 理由如下: 证法一:连接OC.OA=OC,1=A. CD是O的切线,OCCD, OCD=90,2+CDE=90. (5分) ODAB,2+3=90,3=CDE. (6分) 3=A+1=2A,CDE=2A. (7分),证法二:连接OC.CD是O的切线, OCCD,1+2=90. ODAB,AOE=90,A+3=90. (5分) OA=OC,1=A,2=3. (6分) 又3=4,2=4=3=90-A, CDE=180-(2+4)=180-2(90-A)=180-290+2A=2A.
31、 (7分),解后反思 求线段长度的方法,除了简单的直接加减之外,还可以把线段长度放在方程中求解, 建立方程的常见方法:通过相似得到比例建立方程;通过勾股定理建立方程;通过三角函数建 立边与边之间的关系,等等.在这几种方法的选择上,要具体问题具体分析,选择一种最简单的 方法.,C组 教师专用题组,考点一 圆的有关概念与性质,1.(2018陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,AB=AC,BCA=65,作CDAB,并与O 相交于点D,连接BD,则DBC的大小为 ( )A.15 B.25 C.35 D.45,答案 A AB=AC,BCA=65,BCA=ABC=65,BAC=50,CDAB,B
32、AC= ACD=50,根据圆周角定理的推论得ABD=ACD=50,所以DBC=ABC-ABD=65-5 0=15,故选A.,2.(2017湖北宜昌,11,3分)如图,四边形ABCD内接于O,AC平分BAD,则下列结论正确的是 ( )A.AB=AD B.BC=CD C. = D.BCA=DCA,答案 B 根据圆心角、弧、弦的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等,可知: A.ACB与ACD的大小关系不确定,AB与AD不一定相等,故本选项错误; B.AC平分BAD,BAC=DAC,BC=CD,故本选项正确; C.ACB与ACD的大
33、小关系不确定, 与 不一定相等,故本选项错误; D.BCA与DCA的大小关系不确定,故本选项错误.故选B.,3.(2017江苏南京,6,2分)过三点A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圆的圆心坐标为 ( ) A. B.(4,3) C. D.(5,3),思路分析 本题求过三点的圆的圆心坐标,先根据圆的对称性确定圆心的横坐标,再根据勾股 定理求出半径,进而求出圆心的坐标.,4.(2017福建,8,4分)如图,AB是O的直径,C,D是O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定 与ACD互余的角是 ( )A.ADC B.ABD C.BAC D.BAD,答案 D AB是O的直径, ADB=90,B
34、AD+B=90, 易知ACD=B,BAD+ACD=90,故选D.,5.(2016安徽,10,4分)如图,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4.P是ABC内部的一个动点,且满足 PAB=PBC.则线段CP长的最小值为 ( )A. B.2 C. D.,答案 B PAB=PBC,PBC+ABP=90,PAB+ABP=90,P=90.设AB的中 点为O,则P在以AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,OB= AB=3,BC=4, OC= =5,又OP= AB=3,线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.,6.(2014甘肃兰州,13,4分)如图,CD是O的直径,弦ABCD于E,
35、连接BC,BD.下列结论中不一定 正确的是 ( )A.AE=BE B. = C.OE=DE D.DBC=90,答案 C CD是O的直径,且CDAB,AE=BE,= ,CD是O的直径,DBC=90,但不能得出OE=DE.故选C.,评析 本题考查了垂径定理,属容易题.,7.(2015上海,6,4分)如图,已知在O中,AB是弦,半径OCAB,垂足为点D,要使四边形OACB为 菱形,还需添加一个条件,这个条件可以是 ( )A.AD=BD B.OD=CD C.CAD=CBD D.OCA=OCB,答案 B 根据垂径定理知OD垂直平分AB,所以添加OD=CD,即可判定四边形OACB是菱形, 故选B.,8.(
36、2017北京,14,3分)如图,AB为O的直径,C,D为O上的点, = .若CAB=40,则CAD = .,答案 25,解析 连接BC,BD,AB为O的直径,ACB=90, ABC=90-CAB=90-40=50. = , ABD=CBD= ABC=25, CAD=CBD=25.,9.(2017湖北十堰,14,3分)如图,ABC内接于O,ACB=90,ACB的平分线交O于D.若AC =6,BD=5 ,则BC的长为 .,答案 8,解析 连接AD,ACB=90, AB是O的直径. ACB的平分线交O于D, ACD=BCD=45, AD=BD=5 . AB是O的直径, ABD是等腰直角三角形, AB
37、= = =10.,思路分析 连接AD,根据CD是ACB的平分线可知ACD=BCD=45,故可得出AD=BD,再 由AB是O的直径可知ABD是等腰直角三角形,利用勾股定理求出AB的长,在RtABC中,利 用勾股定理可得出BC的长.,AC=6, BC= = =8. 故答案为8.,解题关键 本题考查的是圆周角定理,熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键.,10.(2017内蒙古包头,17,3分)如图,点A、B、C为O上的三个点,BOC=2AOB,BAC=40, 则ACB= 度.,答案 20,解析 BAC=40,BOC=80.BOC=2AOB,AOB= BOC=40,ACB= AOB=20.,11
38、.(2017江苏南京,15,2分)如图,四边形ABCD是菱形,O经过点A、C、D,与BC相交于点E,连 接AC、AE.若D=78,则EAC= .,解析 四边形ABCD是菱形, ADBC,CA平分DCB. D=78,DCB=180-D=102, ACE= DCB=51. A、E、C、D四点共圆, D+AEC=180, AEC=102. 在AEC中,EAC=180-AEC-ACE=180-102-51=27.,答案 27,解后反思 本题综合考查菱形的性质、圆的内接四边形对角互补的性质,掌握这两个性质是 解决问题的关键.,12.(2017贵州贵阳,13,4分)如图,正六边形ABCDEF内接于O,O的
39、半径为6,则这个正六边形 的边心距OM的长为 .,答案 3,解析 连接OB、OC,可得OB=OC,BOC= =60, 所以BOC为等边三角形,所以BOM=30, 所以OM=OBcos 30=3 .,13.(2015湖南娄底,17,3分)如图,在O中,AB为直径,CD为弦,已知ACD=40,则BAD= 度.,答案 50,解析 由圆周角定理知B=ACD=40,因为AB为O的直径,所以ADB=90,根据直角三角 形两锐角互余,求得BAD=90-40=50,故答案为50.,14.(2015湖南长沙,18,3分)如图,AB是O的直径,点C是O上的一点,若BC=6,AB=10,ODBC 于点D,则OD的长
40、为 .,解析 AB是O的直径,ACB=90. 在RtABC中,AC= = =8, 又ODBC,DOAC, OBDABC, = = . AC=8,OD=4.,答案 4,思路分析 由AB是O的直径,根据直径所对的圆周角可得C=90,由勾股定理可求得AC的 长,易证得OD是ABC的中位线,则可求得OD的长.,审题技巧 在圆的求值证明中,常通过直径所对的圆周角构造直角三角形,利用勾股定理来解 决问题.,15.(2014湖南湘西,6,3分)如图,AB是O的直径,弦CDAB于点E,OC=5 cm,CD=6 cm,则OE= cm.,答案 4,解析 CDAB,CD=6 cm, CE= CD=3 cm, 在Rt
41、OCE中,OE= = =4 cm.,16.(2016湖南益阳,13,5分)如图,四边形ABCD内接于O,AB是直径,过C点的切线与AB的延长 线交于P点,若P=40,则D的度数为 .,解析 如图,连接OC.由题意可得,OCP=90, P=40, COB=50. OC=OB, OCB=OBC=65. 四边形ABCD是圆内接四边形, D+ABC=180, D=115.,答案 115,17.(2014江西,12,3分)如图,ABC内接于O,AO=2,BC=2 ,则BAC的度数为 .,答案 60,解析 连接OB、OC,作ODBC于点D,由垂径定理可得,BD=CD= ,OD= =1, sinOBD= ,
42、OBD=30,BOC=120, 则BAC= BOC=60.,评析 本题考查垂径定理和圆周角与圆心角之间的关系,属容易题.,18.(2014陕西,16,3分)如图,O的半径是2.直线l与O相交于A、B两点,M、N是O上的两个 动点,且在直线l的异侧.若AMB=45,则四边形MANB面积的最大值是 .,答案 4,解析 连接OA,OB.四边形MANB面积的最大值取决于三角形ABM和三角形ABN的面积的最大 值.当点M,N分别位于优弧AB和劣弧AB的中点时,四边形MANB面积取最大值.连接MN,此时MN 为O的直径,故MN=4, AMB=45,AOB=90,所以AB= OA=2 . 故四边形MANB面
43、积的最大值为 ABMN= 2 4=4 .,19.(2016甘肃定西,16,4分)如图,在O中,弦AC=2 ,点B是圆上一点,且ABC=45,则O的半 径R= .,答案,解析 ABC=45,AOC=90, OA=OC=R,AC=2 ,R2+R2=(2 )2, 解得R= .,20.(2016江苏南京,13,2分)如图,扇形AOB的圆心角为122,C是 上一点,则ACB= .,答案 119,解析 如图,在扇形AOB所在圆优弧AB上取一点D,连接DA,DB.AOB=122,D=61, ACB+D=180,ACB=119.,21.(2018浙江杭州,14,4分)如图,AB是O的直径,点C是半径OA的中点
44、,过点C作DEAB,交 O于D,E两点,过点D作直径DF,连接AF,则DFA= .,答案 30,思路分析 利用垂径定理和三角函数得出CDO=30,进而得出DOA=60,利用圆周角定理 得出DFA=30.,解析 点C是半径OA的中点, OC= OA= OD, 又DEAB, CDO=30, DOA=60, DFA= DOA=30.,解题关键 此题考查了垂径定理、三角函数以及圆周角定理,解题关键是利用垂径定理和三 角函数得出CDO=30.,22.(2018福建,24,12分)已知四边形ABCD是O的内接四边形,AC是O的直径,DEAB,垂足 为E. (1)延长DE交O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB; (2)过点B作BGAD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图2.若AB= ,DH =1,OHD=80,求BDE的大小.图1 图2,
