1、2.2 一元二次方程及其应用,中考数学 (湖南专用),A组 20142018年湖南中考题组,五年中考,考点一 一元二次方程及其解法,1.(2015湖南衡阳,8,3分)若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1,则另一个根为 ( ) A.-2 B.2 C.4 D.-3,答案 A 把x=-1代入x2+3x+a=0, 可得1-3+a=0,解得a=2. 原方程为x2+3x+2=0, 解得x1=-1,x2=-2.故选A.,2.(2018湖南郴州,13,3分)已知关于x的一元二次方程x2+kx-6=0有一个根为-3,则方程的另一个 根为 .,答案 2,解析 解法一:因为关于x的一元二次方程x2+kx-
2、6=0有一个根为-3,所以将x=-3代入原方程,求 得k=1,解一元二次方程得另一个根为2. 解法二:由一元二次方程根与系数的关系可得,两根之积为-6,原方程的一个根是-3,所以另一个 根为2.,3.(2014湖南岳阳,10,4分)方程x2-3x+2=0的根是 .,答案 1或2,解析 将原式因式分解,得(x-1)(x-2)=0,解得x1=1,x2=2.,4.(2017湖南湘潭,22,8分)多项式乘法:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用,即可得到 “十字相乘法”进行因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 示例:分解因式:x2+5x+6=x
3、2+(2+3)x+23=(x+2)(x+3). (1)尝试:分解因式:x2+6x+8=(x+ )(x+ ); (2)应用:请用上述方法解方程:x2-3x-4=0.,解析 (1)x2+6x+8=x2+(2+4)x+24=(x+2)(x+4). (2)x2-3x-4=0,(x+1)(x-4)=0, 则x+1=0或x-4=0, 解得x=-1或x=4.,思路分析 (1)类比题干中因式分解的方法求解即可; (2)利用十字相乘法将左边因式分解后求解.,考点二 一元二次方程根的判别式,根与系数的关系,1.(2018湖南娄底,5,3分)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是 ( ) A.有
4、两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定,答案 A 由题意得=-(k+3)2-41k=k2+2k+9=(k+1)2+8, (k+1)20, (k+1)2+80,即0, 方程有两个不相等的实数根. 故选A.,2.(2017湖南怀化,7,4分)若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1x2的值是 ( ) A.2 B.-2 C.4 D.-3,答案 D x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根, x1x2=-3.故选D.,3.(2017湖南益阳,6,3分)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1=1,x2=-1,那么下列 结
5、论一定成立的是 ( ) A.b2-4ac0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac0 D.b2-4ac0,答案 A 由题意可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根,所以b2 -4ac0,故选A.,4.(2018湖南常德,13,3分)若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根,则b的值 可能是 (只写一个).,答案 6(答案不唯一),解析 关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根, =b2-4230,解得b2 . 故答案可以为6.(答案不唯一),解题关键 本题考查了根的判别式,牢记“当0时,一元二次方程有两个不相等的实数根”
6、 是解题的关键.,5.(2016湖南岳阳,22,8分)已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0. (1)求证:方程总有两个不相等的实数根; (2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).,解析 (1)证明:=-(2m+1)2-4m(m+1)=10,方程总有两个不相等的实数根. (2)x=0是方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0的一个根, 0-(2m+1)0+m(m+1)=0,解得m=0或m=-1. (2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5, 当m=
7、0时,3m2+3m+5=302+30+5=5; 当m=-1时,3m2+3m+5=3(-1)2+3(-1)+5=3-3+5=5. 综上,(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值是5.,评析 本题主要考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法,属于中等难度题.,6.(2014湖南株洲,21,6分)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a、b、c分别是 ABC的三边长. (1)如果x=-1是方程的一个根,试判断ABC的形状,并说明理由; (2)如果方程有两个相等的实数根,试判断ABC的形状,并说明理由; (3)如果ABC是等边三角形,试求出这个一元二次方程
8、的根.,解析 (1)ABC是等腰三角形. 理由:将x=-1代入原方程得a+c-2b+a-c=0,即可得a=b,故ABC是等腰三角形. (2)ABC是直角三角形. 理由:由题意可知=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,即4b2-4(a2-c2)=0,可得b2+c2=a2,故ABC是直角三角形. (3)因为ABC是等边三角形,所以a=b=c0,故原方程可化为2ax2+2ax=0, 解得x1=0,x2=-1.,考点三 一元二次方程的应用,1.(2016湖南衡阳,9,3分)随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越 来越多地进入普通家庭.抽样调查显示,截止至2015年底某市汽车拥
9、有量为16.9万辆.已知2013 年底该市汽车拥有量为10万辆.设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x. 根据题意列方程得 ( ) A.10(1+x)2=16.9 B.10(1+2x)=16.9 C.10(1-x)2=16.9 D.10(1-2x)=16.9,答案 A 2013年底该市汽车拥有量为10万辆,则2014年底该市汽车拥有量为10(1+x)万辆,20 15年底该市汽车拥有量为10(1+x)2万辆,故可得方程10(1+x)2=16.9,故选A.,思路分析 理解增长率的含义,2015年为16.9万辆,是在2013年10万辆的基础上增长两年的结 果,故可列方程为10(
10、1+x)2=16.9.,评析 本题考查了一元二次方程的实际应用,熟悉相关的实际背景有助于解决这类问题,属容 易题.,2.(2016湖南永州,24,10分)某种商品的标价为400元/件,经过两次降价后的价格为324元/件,并 且两次降价的百分率相同. (1)求该种商品每次降价的百分率; (2)若该种商品进价为300元/件,两次降价共售出此种商品100件,为使两次降价销售的总利润 不少于3 210元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件?,解析 (1)设该种商品每次降价的百分率为x, 依题意得400(1-x)2=324, 解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去). 答:该种商品每
11、次降价的百分率为10%. (2)设第一次降价后售出该种商品m件,则第二次降价后售出该种商品(100-m)件, 第一次降价后的单件利润为400(1-10%)-300=60(元); 第二次降价后的单件利润为324-300=24(元). 依题意得60m+24(100-m)3 210, 解得m22.5.m为整数,m的最小值为23. 答:第一次降价后至少要售出该种商品23件.,B组 20142018年全国中考题组,考点一 一元二次方程及其解法,1.(2015山西,5,3分)我们解一元二次方程3x2-6x=0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x(x- 2)=0,从而得到两个一元一次方程:3x=0或x-
12、2=0,进而得到原方程的解为x1=0,x2=2.这种解法体 现的数学思想是 ( ) A.转化思想 B.函数思想 C.数形结合思想 D.公理化思想,答案 A 将高次方程问题转化为低次方程问题求解,将复杂问题转化为简单问题求解,将未 知问题转化为已知问题求解,体现了转化思想,故选A.,2.(2015广西柳州,17,3分)若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根,则m的值为 .,答案 -3,解析 将x=1代入原方程得1+2+m=0,解得m=-3.故答案为-3.,评析 本题主要考查的是方程的解(根)的定义,将方程的解(根)代入方程得到关于m的方程是 解题的关键.,考点二 一元二次方程根的判别式
13、,根与系数的关系,1.(2017四川绵阳,7,3分)关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则nm的值为 ( ) A.-8 B.8 C.16 D.-16,答案 C 由一元二次方程根与系数的关系得 解得m=2,n=-4,故nm=(-4)2=16,故选C.,2.(2017甘肃兰州,6,4分)如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根,那么实数m的取 值范围为 ( ) A.m B.m C.m= D.m=,答案 C 因为一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根,所以b2-4ac=9-8m=0,解得m= , 故选C.,思路分析 一元二次方程有两个相等的实数根,则判别式=
14、0,列出关于m的方程,解方程即可.,方法规律 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),当b2-4ac0时,一元二次方程有两个不相等的实 数根;当b2-4ac=0时,一元二次方程有两个相等的实数根;当b2-4ac0时,一元二次方程没有实数根.,3.(2017内蒙古呼和浩特,5,3分)关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反 数,则a的值为( ) A.2 B.0 C.1 D.2或0,答案 B 由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=-(a2-2a),又互为相反数的两数之和为0,- (a2-2a)=0,解得a=0或2.当a=2时,原方程为x2+1=0,无解;
15、当a=0时,原方程为x2-1=0,符合题意,故a= 0.,易错警示 本题易忽视当a=2时,原方程无解这一情况,从而导致错误.,4.(2016广西桂林,10,3分)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根,则k的 取值范围是 ( ) A.k5,答案 B 关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根, 即解得k5且k1.故选B.,5.(2018江西,11,3分)一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1,x2,则 -4x1+2x1x2的值为 .,答案 2,解析 一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1、x2, -4x1=-2,x1x2=2,
16、-4x1+2x1x2=-2+22=2.,6.(2018北京,20,5分)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0. (1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况; (2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.,解析 (1)依题意,得=(a+2)2-4a=a2+40. 故方程有两个不相等的实数根. (2)由题意可知,a0,=b2-4a=0. 答案不唯一,如:当b=2,a=1时,方程为x2+2x+1=0, (x+1)2=0,x1=x2=-1.,考点三 一元二次方程的应用,1.(2017甘肃兰州,10,4分)王叔叔从市场上买了一块长80 cm,宽70 cm
17、的矩形铁皮,准备制作一 个工具箱.如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后,剩余的部分刚好能 围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱.根据题意可列方程为 ( )A.(80-x)(70-x)=3 000 B.8070-4x2=3 000 C.(80-2x)(70-2x)=3 000 D.8070-4x2-(70+80)x=3 000,答案 C 长方体工具箱的底面是一个长为(80-2x)cm,宽为(70-2x)cm的矩形,由题意可得方程 (80-2x)(70-2x)=3 000.,思路分析 用含x的代数式分别表示出长方体底面的长和宽,然后根据“面积=长宽”列方程.
18、,解题关键 本题考查了一元二次方程的实际应用,解题的关键是找出题目中的相等关系,并能 用含未知数的代数式表示相等关系中的相关量.,2.(2015辽宁铁岭,9,3分)某商品经过连续两次降价,销售单价由原来200元降到162元.设平均每 次降价的百分率为x,根据题意可列方程为 ( ) A.200(1-x)2=162 B.200(1+x)2=162 C.162(1+x)2=200 D.162(1-x)2=200,答案 A 由题意可列方程为200(1-x)2=162.故选A.,评析 此题考查一元二次方程的应用,基本的数量关系:商品原价(1-平均每次降价的百分率) 2=现在的价格.,3.(2015内蒙古
19、呼伦贝尔兴安盟,10,3分)学校要组织足球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间 赛一场).计划安排21场比较,应邀请多少个球队参赛?设邀请x个球队参赛.根据题意,下面所列 方程正确的是 ( ) A.x2=21 B. x(x-1)=21 C. x2=21 D.x(x-1)=21,答案 B 邀请x个球队,每个球队都要赛(x-1)场,但两队之间只比赛一场,由题意得 x(x-1)=21. 故选B.,C组 教师专用题组,考点一 一元二次方程及其解法,1.(2015甘肃兰州,6,4分)一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为 ( ) A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x-4)2=17
20、 D.(x-4)2=15,答案 C x2-8x-1=0变形得x2-8x=1,x2-8x+16=1+16,(x-4)2=17,故选C.,2.(2015黑龙江大庆,16,3分)方程3(x-5)2=2(x-5)的根是 .,答案 x1=5,x2=,解析 将原方程变形得3(x-5)2-2(x-5)=0, 分解因式得(x-5)3(x-5)-2=0, 可得x-5=0或3x-17=0,解得x1=5,x2= . 故答案为x1=5,x2= .,评析 此题考查了解一元二次方程的方法,熟练掌握因式分解法是解本题的关键.,考点二 一元二次方程根的判别式,根与系数的关系,1.(2018福建,10,4分)已知关于x的一元二
21、次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,下 列判断正确的是 ( ) A.1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根 B.0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根 C.1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根 D.1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根,答案 D 由=(2b)2-4(a+1)2=0得b=(a+1), 因为a+10,所以b0. 当b=-(a+1)时,x=1是方程x2+bx+a=0的根; a+10,a可以取0,故x=0可能是方程x2+bx+a=0的根; 当b=a+1时,x=-1是方程x2+bx+a=0的根. 因为b=-(a+1)和b=a+
22、1不能同时成立,所以x=1和x=-1不能同时为方程x2+bx+a=0的根,故选D.,2.(2017江西,5,3分)已知一元二次方程2x2-5x+1=0的两个根为x1,x2,下列结论正确的是 ( ) A.x1+x2=- B. x1x2=1 C.x1,x2都是有理数 D.x1,x2都是正数,答案 D 根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2= 0,x1x2= 0,则x10,x20,故选D.,3.(2017上海,2,4分)下列方程中,没有实数根的是 ( ) A.x2-2x=0 B.x2-2x-1=0 C.x2-2x+1=0 D.x2-2x+2=0,答案 D A项,=(-2)2-410=40; B
23、项,=(-2)2-41(-1)=80; C项,=(-2)2-411=0; D项,=(-2)2-412=-40,D项中的方程没有实数根,故选D.,思路分析 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),=b2-4ac,当0时,方程有两个实数根;当 0时,方程无实数根,所以应先算出各选项中方程的判别式,再进行判断.,4.(2017内蒙古包头,8,3分)若关于x的不等式x- 1的解集为x1,则关于x的一元二次方程x2+ax +1=0根的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定,答案 C 解不等式得x +1,根据题意得 +1=1,解得a=0.所以方程
24、可化为x2+1=0,所以=-4 0,所以一元二次方程无实数根.,思路分析 先解不等式,然后将解集与题目中的解集对照可求得a的值,从而可判断一元二次 方程根的情况.,5.(2017河南,6,3分)一元二次方程2x2-5x-2=0的根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根,答案 B =(-5)2-42(-2)=25+16=410,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,故选B.,6.(2015湖南株洲,8,3分)有两个一元二次方程M:ax2+bx+c=0和N:cx2+bx+a=0,其中ac0,ac. 下列四个结论中,错误的是 ( ) A
25、.如果方程M有两个相等的实数根,那么方程N也有两个相等的实数根 B.如果方程M的两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同 C.如果5是方程M的一个根,那么 是方程N的一个根 D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1,答案 D 如果方程M有两个相等的实数根,那么=b2-4ac=0,所以方程N也有两个相等的实数 根,故A项不符合题意; 如果方程M的两根符号相同,那么=b2-4ac0, 0,即 0,所以方程N的两根符号也相同,故B 项不符合题意; 如果5是方程M的一个根,那么25a+5b+c=0,两边同除以25,得 c+ b+a=0,所以 是方程N的一 个根,故C项不符合题意; 如
26、果方程M和方程N有一个相同的根,那么ax2+bx+c=cx2+bx+a,即(a-c)x2=a-c,又由ac得x2=1,解 得x=1,故D项符合题意.故选D.,7.(2015河北,12,2分)若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根,则a的取值范围是 ( ) A.a1 C.a1 D.a1,答案 B 由题意知=4-4a1,故选B.,8.(2015湖南怀化,7,4分)设x1,x2是方程x2+5x-3=0的两个根,则 + 的值是 ( ) A.19 B.25 C.31 D.30,答案 C 由题意知x1+x2=-5,x1x2=-3,则 + =(x1+x2)2-2x1x2=(-5)2-2(-3)=31.
27、故选C.,思路分析 由根与系数关系分别表示x1+x2,x1x2的值,再将所求代数式恒等变形.,解题关键 将 + 恒等变形为(x1+x2)2-2x1x2,转化为两根之和与两根之积的表达式.,9.(2015湖南张家界,6,3分)若关于x的一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根,则k的非负整数值是 ( ) A.1 B.0,1 C.1,2 D.1,2,3,答案 A 由题意可得k0且(-4)2-43k0,解得k 且k0,所以k的非负整数值是1.故选A.,思路分析 由一元二次方程的定义及根的判别式分别列出关于k的不等式,求解确定k值.,易错警示 忽略方程为一元二次方程的隐含条件:二次项系数不为0,即k0
28、,求得k ,错选B.,10.(2016湖南长沙,14,3分)若关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是 .,答案 m-4,解析 一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根,0,即 b2-4ac=(-4)2-41(-m)=16+4 m0,解得m-4.,11.(2017江苏南京,12,2分)已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为-3和-1,则p= ,q= .,答案 4;3,解析 因为方程x2+px+q=0的两根为-3和-1, 所以p=-(-3-1)=4,q=(-3)(-1)=3.,12.(2016湖北黄石,12,3分)关于x的一元二次方程x2+
29、2x-2m+1=0的两实数根之积为负,则实数m 的取值范围是 .,答案 m,解析 设x1、x2为方程x2+2x-2m+1=0的两个实数根, 由已知得 即 解得m .故答案为m .,评析 本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式组,解题的关键是得 出关于m的一元一次不等式组.本题属于基础题,难度不大.,13.(2015内蒙古赤峰,10,3分)若关于x的一元二次方程x2-(a+5)x+8a=0的两个实数根分别为2 和b,则ab= .,答案 4,解析 关于x的一元二次方程x2-(a+5)x+8a=0的两个实数根分别是2,b, 由根与系数的关系,得 解得 ab=14=4.故答案是4.,
30、14.(2017北京,21,5分)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若方程有一个根小于1,求k的取值范围.,解析 (1)证明:依题意,得=-(k+3)2-4(2k+2)=(k-1)2. (k-1)20,方程总有两个实数根. (2)由求根公式,得x= , x1=2,x2=k+1. 方程有一个根小于1,k+11,k0, 即k的取值范围是k0.,考点三 一元二次方程的应用,1.(2017浙江杭州,7,3分)某景点的参观人数逐年增加,据统计,2014年为10.8万人次,2016年为16. 8万人次,设参观人次的年平均增长率为x,则 ( )
31、A.10.8(1+x)=16.8 B.16.8(1-x)=10.8 C.10.8(1+x)2=16.8 D.10.8(1+x)+(1+x)2=16.8,答案 C 根据“2014年的人次(1+年平均增长率)2=2016年的人次”列方程得10.8(1+x)2=16. 8,此题选C.,解题关键 确定等量关系是解决此类题目的关键.,2.(2015宁夏,7,3分)如图,某小区有一块长为18 m,宽为6 m的矩形空地,计划在其中修建两块相 同的矩形绿地,它们的面积之和为60 m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设 人行通道的宽度为x m,则可以列出关于x的方程是 ( )A.x2+9x-8=0
32、 B.x2-9x-8=0 C.x2-9x+8=0 D.2x2-9x+8=0,答案 C 由题意得(18-3x)(6-2x)=60,化简得x2-9x+8=0.,3.(2017河北,26,12分)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产,其中x0.每件的售价 为18万元,每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求 量x(件)成反比,经市场调研发现,月需求量x与月份n(n为整数,1n12)符合关系式x=2n2-2kn+ 9(k+3)(k为常数),且得到了下表中的数据.,(1)求y与x满足的关系式,请说明一件产品的利润能否是12万元; (2)求k,并推断是否存在某
33、个月既无盈利也不亏损; (3)在这一年12个月中,若第m个月和第(m+1)个月的利润相差最大,求m.,解析 (1)由题意设y=a+ ,由表中数据, 得 解得 y=6+ . (3分) 由题意,若12=18- ,则 =0,x0, 0. 不可能. (5分) (2)将n=1,x=120代入x=2n2-2kn+9(k+3),得 120=2-2k+9k+27. 解得k=13, 将n=2,x=100代入x=2n2-26n+144也符合. k=13. (6分) 由题意,得18=6+ ,求得x=50.,50=2n2-26n+144,即n2-13n+47=0. =(-13)2-41470,方程无实根. 不存在.
34、(9分) (3)第m个月的利润W=x(18-y)=18x-x =12(x-50)=24(m2-13m+47), 第(m+1)个月的利润W=24(m+1)2-13(m+1)+47=24(m2-11m+35). 若WW,W-W=48(6-m),m取最小1,W-W=240最大. 若WW,W-W=48(m-6),m+112,m11, m取最大11,W-W=240最大. m=1或11. (12分),A组 20162018年模拟基础题组 考点一 一元二次方程及其解法,三年模拟,1.(2018湖南衡阳三模,3)下列方程中,不是一元二次方程的是 ( ) A.(x-1)x=1 B. + =4 C.3x2-5=0
35、 D.2y(y-1)=4,答案 B 因为B中的方程是分式方程.故选B.,解题关键 本题考查一元二次方程的定义.判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否 是整式方程,然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.,2.(2018湖南岳阳一模,12)方程3x(x-1)=2(x-1)的根为 .,答案 x1=1,x2=,解析 3x(x-1)-2(x-1)=0,(3x-2)(x-1)=0,解得x1=1,x2= .,易错警示 易忽略x-1=0的情况,直接两边约去(x-1),解得原方程的根为 ,遗漏另一根x=1.,3.(2018湖南冷水滩4月模拟,12)已知关于x的一元二次方程2x2-3kx+
36、4=0的一个根是1,则k= .,答案 2,解析 将x=1代入原方程得212-3k1+4=0, 解得k=2.,4.(2017湖南永州二模,12)已知关于x的一元二次方程2x2-3kx+4=0的一个根是1,则k= .,答案 2,解析 把x=1代入方程2x2-3kx+4=0中,得2-3k+4=0,解得k=2.,5.(2017湖南娄底模拟,17)若代数式x2-8x+12的值是21,则x的值是 .,答案 9或-1,解析 根据题意得x2-8x+12=21, 整理得x2-8x-9=0, (x-9)(x+1)=0, 则x-9=0或x+1=0, 所以x=9或-1.,6.(2017湖南长沙长郡教育集团一模,13)
37、一元二次方程6x2-12x=0的解是 .,答案 x1=0,x2=2,解析 由6x2-12x=0,得6x(x-2)=0,解得x1=0,x2=2.,7.(2016湖南长沙一模,14)方程x2=x的根是 .,答案 x1=0,x2=1,解析 x2=x,x(x-1)=0,x=0或x-1=0, x1=0,x2=1.,8.(2016湖南株洲模拟,17)关于x的两个方程x2-x-2=0与 = 有一个解相同,则a= .,答案 -5,解析 解方程x2-x-2=0得x=2或x=-1. 把x=2和x=-1分别代入方程 = , 当x=2时,x-2=0,方程 = 无意义; 当x=-1时,得到 = ,解得a=-5.,考点二
38、 一元二次方程根的判别式,根与系数的关系,1.(2018湖南湘西一中一模,6)若关于x的一元二次方程(k-1)x2-(2k+1)x+k=0有两个不相等的实数 根,则k的取值范围是 ( ) A.k- B.k- 且k1 C.k- D.k- 且k0,答案 B 关于x的一元二次方程(k-1)x2-(2k+1)x+k=0有两个不相等的实数根,=-(2k+1)2 -4(k-1)k=8k+10,且k-10,k的取值范围是k- 且k1.故选B.,2.(2018湖南永州东安模拟,7)已知关于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有两个实数根,则m的取值 范围是 ( ) A.m1 B.m-1 C.m-1且m0 D.
39、m-1且m0,答案 D 关于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有两个实数根, 解得m-1且m 0.,思路分析 根据二次项系数非零结合根的判别式0即可得出关于m的一元一次不等式组, 解之即可.,易错警示 忽略一元二次方程中二次项系数非零这一隐含条件,错选B.,3.(2017湖南长沙三模,9)若一元二次方程x2+2x+m=0有实数根,则m的取值范围是 ( ) A.m-1 B.m1 C.m1,答案 B 一元二次方程x2+2x+m=0有实数根,4-4m0,m1,故选B.,4.(2017湖南长沙一模,8)关于x的方程x2-mx-1=0的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数
40、根 C.没有实数根 D.不能确定,答案 A 由题得=(-m)2-41(-1)=m2+4, m20,m2+40,即0, 原方程有两个不相等的实数根.故选A.,5.(2016湖南株洲石峰模拟,8)若一元二次方程x2+2x+m+1=0有实数根,则 ( ) A.m的最小值是1 B.m的最小值是-1 C.m的最大值是0 D.m的最大值是2,答案 C 一元二次方程x2+2x+m+1=0有实数根, =22-4(m+1)0,解得m0.故选C.,6.(2016湖南永州一模,12)已知一元二次方程x2+2x-5=0的两根为x1,x2,则x1+x2= .,答案 -2,解析 由根与系数的关系知x1+x2=-2.,7.
41、(2018湖南湘西一中模拟,20)关于x的一元二次方程x2-3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2. (1)求m的取值范围; (2)若3(x1+x2)-x1x2-10=0,求m的值.,解析 (1)关于x的一元二次方程x2-3x+m-1=0有两个实数根,=(-3)2-4(m-1)=13-4m0, 解得m .即m的取值范围为m . (2)由题意得x1+x2=3,x1x2=m-1, 3(x1+x2)-x1x2-10=33-(m-1)-10=0,解得m=0. 当3(x1+x2)-x1x2-10=0时,m的值为0.,8.(2016湖南湘潭二模)已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等
42、的实数根. (1)求k的取值范围; (2)当k取最大整数值时,求该方程的解.,解析 (1)关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,=22-4k0,解得k1. (2)k1,符合条件的最大整数k=0, 此时方程为x2+2x=0. x(x+2)=0,x1=0,x2=-2.,考点三 一元二次方程的应用,1.(2018湖南永州冷水滩一模,11)中国古代数学家杨辉的田亩比类乘除捷法中有这么一道 题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何?”意思是:一块矩形田地的面积 为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?经过计算,你的结论是长比宽 多 ( ) A
43、.12步 B.24步 C.36步 D.48步,答案 A 设矩形田地的长为x(x30)步,则宽为(60-x)步, 根据题意得x(60-x)=864, 整理得x2-60x+864=0, 解得x=36或x=24(舍去),x-(60-x)=12. 故选A.,思路分析 设矩形田地的长为x(x30)步,则宽为(60-x)步,由矩形的面积=长宽,即可得出关于 x的一元二次方程,解之即可得出x的值,将其代入x-(60-x)中,即可得出结论.,2.(2017湖南娄底一模,6)某种品牌运动服经过两次降价,每件零售价由560元降为315元,已知两 次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为x,下面
44、所列方程中正确的 是 ( ) A.560(1+x)2=315 B.560(1-x)2=315 C.560(1-2x)2=315 D.560(1-x2)=315,答案 B 第一次降价后的售价是560(1-x)元,第二次降价后的售价是560(1-x)2元.故选B.,3.(2016湖南岳阳十二校联考)学校去年年底的绿化面积为5 000 平方米,预计到明年年底增加 到7 200平方米,求这两年的年平均增长率.,解析 设这两年的年平均增长率为x, 根据题意得,5 000(1+x)2=7 200,即(1+x)2=1.44, 开方得,1+x=1.2或1+x=-1.2, 解得x=0.2=20%或x=-2.2(
45、舍去). 答:这两年的年平均增长率为20%.,B组 20162018年模拟提升题组 (时间:20分钟 分值:50分),一、选择题(每小题3分,共15分),1.(2018湖南永州冷水滩一模,4)若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+2=0的一个根是-1,则另一个 根是 ( ) A.1 B.0 C.2 D.-2,答案 D 设原方程的另一个根是t, 根据题意得-1t=2,解得t=-2, 即方程的另一个根是-2. 故选D.,2.(2017湖南娄底3月模拟,11)关于x的方程x2-ax+2a=0的两根的平方和是5,则a的值是 ( ) A.-1或5 B.1 C.5 D.-1,答案 D 设原方程的两根分
46、别为x1,x2, 则x1+x2=a,x1x2=2a, + =5, (x1+x2)2-2x1x2=5, a2-4a-5=0, a1=5,a2=-1, 又由题意知=a2-8a0,即a8或a0, a=-1.故选D.,3.(2017湖南娄底3月模拟,2)关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+|a|-1=0的一个根是0,则实数a的值 为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.-1或1,答案 A 把x=0代入原方程得|a|-1=0, a=1, 又由题知a-10,即a1, a=-1.故选A.,思路分析 先把x=0代入原方程求出a的值,然后根据二次项系数不能为0,把a=1舍去.,易错警示 忽略一元二次方程的
47、二次项系数不能为0的条件,错选D.,4.(2016湖南怀化模拟,10)下列关于方程x2+x-1=0的说法中正确的是 ( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根,且它们互为相反数 C.该方程有一根为 D.该方程有一根为,答案 D A项,=12+410,方程x2+x-1=0有两个不相等的实数根,故本选项错误; B项,方程两根的和为-1,它们不互为相反数,故本选项错误; C项,把x= 代入x2+x-1=0,等号左右两边不相等,故本选项错误; D项,把x= 代入x2+x-1=0,等号左右两边相等,故本选项正确.故选D.,5.(2016湖南常德模拟,7)某等腰三角形的边长分别为
48、a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2-6x+ n-1=0的两根,则n的值为 ( ) A.9 B.10 C.9或10 D.8或10,答案 B 该三角形是等腰三角形, 当a=2,或b=2时, a,b是关于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的两根, 把x=2代入x2-6x+n-1=0得,22-62+n-1=0, 解得n=9. 当n=9时,方程的两根是2和4,而边长分别为2,4,2的三边不能构成三角形, 故n=9不合题意; 当a=b时,方程x2-6x+n-1=0有两个相等的实数根, =(-6)2-4(n-1)=0, 解得n=10. 当n=10时,方程的两根是3和3,边长分别为3,3,2的三边能构成三角形,故n=10符合题意.故选B.,
