1、3.4 二次函数,中考数学 (湖南专用),A组 20142018年湖南中考题组,五年中考,考点一 二次函数的图象与性质,1.(2018湖南永州,9,4分)在同一平面直角坐标系中,反比例函数y= (b0)与二次函数y=ax2+bx (a0)的图象大致是 ( ),答案 D A.抛物线y=ax2+bx开口方向向上,则a0,对称轴位于y轴的右侧,则a、b异号,即b0,对称轴位于y轴的左侧,则a、b同号,即b0,所以反比例 函数y= 的图象位于第一、三象限,故本选项错误; C.抛物线y=ax2+bx开口方向向下,则a0,所以反比例 函数y= 的图象位于第一、三象限,故本选项错误,D项正确. 故选D.,解
2、题关键 此题主要考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象,熟练掌握二次函数,反比 例函数中系数与图象位置之间的关系是解决本题的关键.,2.(2017湖南长沙,8,3分)抛物线y=2(x-3)2+4的顶点坐标是 ( ) A.(3,4) B.(-3,4) C.(3,-4) D.(2,4),答案 A 根据抛物线y=a(x-h)2+k(a0)的顶点坐标为(h,k),可知该抛物线的顶点坐标为(3,4).,易错警示 容易把顶点的横坐标写成-h.,3.(2016湖南益阳,7,5分)关于抛物线y=x2-2x+1,下列说法 的是 ( ) A.开口向上 B.与x轴有两个重合的交点 C.对称轴是直线x=1 D.当x
3、1时,y随x的增大而减小,答案 D a=10,抛物线的开口向上,故A正确;当y=0时,x2-2x+1=0,易得=(-2)2-411=0, 故该抛物线与x轴有两个重合的交点,故B正确;- =- =1,该抛物线的对称轴是直线x= 1,故C正确;抛物线的开口向上,且抛物线的对称轴为直线x=1,当x1时,y随x的增大而增大, 故D错误.故选D.,思路分析 结合二次函数的图象及其性质逐项分析.,评析 本题考查了二次函数的图象及性质.,4.(2016湖南长沙,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(ba0)与x轴最多有一个交点.现有以下四个 结论: 该抛物线的对称轴在y轴左侧;关于x的方程ax2+bx
4、+c+2=0无实数根;a-b+c0; 的最小值为3. 其中,正确结论的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 D ba0,- 0,且抛物线与x轴最多有一个交点, y0,当x=-1时,y=a-b+c0,正确; y0,当x=-2时,4a-2b+c0,即a+b+c3b-3a, 即a+b+c3(b-a), ba,b-a0, 3,正确.故选D.,一题多解 的判断还可使用逆推法.由可知,需判断 3是否正确,即为判断a+b+c 3(b-a),即4a-2b+c0是否正确,y0,当x=-2时,4a-2b+c0正确, 的最小值为3.,5.(2015湖南湘潭,8,3分)如图,观察二次函数y=ax2+b
5、x+c的图象,下列结论: a+b+c0;2a+b0;b2-4ac0;ac0. 其中正确的是 ( )A. B. C. D.,答案 C 由题图可知,当x=1时,y=a+b+c,对应的点在x轴的下方,即a+b+c0,所以-b0,正确;抛物线与x轴有两个交点,所以令ax2+ bx+c=0,有=b2-4ac0,正确;抛物线与y轴交于负半轴,c0,故ac0,错误.故选C.,思路分析 借助二次函数图象的开口方向、与y轴的交点位置、对称轴、与x轴的交点个数 以及特殊位置的函数值获取相关信息.,评析 本题主要考查的是二次函数的图象与性质的应用以及与二次函数各项系数相关的常 见关系式的符号判断,通过图象体现的基本
6、特征得出答案.,6.(2015湖南益阳,8,5分)若抛物线y=(x-m)2+m+1的顶点在第一象限,则m的取值范围为 ( ) A.m1 B.m0 C.m-1 D.-1m0,答案 B 抛物线y=(x-m)2+m+1的顶点坐标为(m,m+1),且其顶点在第一象限,m0,m+10, m0,故选B.,7.(2017湖南邵阳,13,3分)若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则a的值可能是 .(写一个即可),答案 -1(答案不唯一),解析 抛物线y=ax2+bx+c的开口向下, a0, a的值可能是-1.(答案不唯一),8.(2015湖南怀化,11,4分)二次函数y=x2+2x的顶点坐标为 ,对称轴是
7、直线 .,答案 (-1,-1);x=-1,解析 y=x2+2x=(x+1)2-1,二次函数y=x2+2x的顶点坐标是(-1,-1),对称轴是直线x=-1.,思路分析 将表达式配方,确定其顶点坐标、对称轴.,解题关键 熟练掌握配方法.,9.(2014湖南株洲,16,3分)如果函数y=(a-1)x2+3x+ 的图象经过平面直角坐标系的四个象限, 那么a的取值范围是 .,答案 a-5,解析 y=(a-1)x2+3x+ 的图象经过平面直角坐标系的四个象限, y=(a-1)x2+3x+ 需满足下列两个条件: (1)它与x轴有两个交点,令(a-1)x2+3x+ =0, 故=32-4(a-1) 0,解得a0
8、,画出草图.,一题多解 y=(a-1)x2+3x+ 的图象经过平面直角坐标系的四个象限, y=(a-1)x2+3x+ 需满足下列两个条件: (1)它与x轴有两个交点,令(a-1)x2+3x+ =0, 故=32-4(a-1) 0,解得a- . (2)方程(a-1)x2+3x+ =0的两根符号相反(分别在原点的两侧,即一正一负), 则x1x20,即 0,解得a-5. 综上可知,a-5.,(2)函数图象与y轴的交点纵坐标大于0,即 0, 解得a1或a-5. 综上可知,a-5.,考点二 二次函数与一元二次方程的联系,1.(2018湖南衡阳,12,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-
9、1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的 交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),则下列结论: 3a+b0;-1a- ;对于任意实数m,a+bam2+bm总成立;关于x的方程ax2+bx+c=n-1 有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为 ( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 D 抛物线的对称轴为直线x=- =1,b=-2a(i), 3a+b=3a-2a=a,由抛物线开口向下知a0,所以正确; 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0), x=-1时,y=0,即a-b+c=0(ii), 结合(i)(ii)知3a+c=0, 由题意知2c3, 2-3a3, -1a
10、- ,所以正确; 抛物线的顶点坐标为(1,n), x=1时,二次函数有最大值n, 对于任意实数m,a+b+cam2+bm+c, 即a+bam2+bm,所以正确; 抛物线的顶点坐标为(1,n), 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点,关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根,所以正确.,思路分析 根据抛物线的对称轴和开口方向即可判断正确,根据抛物线与x轴交于点A得到 a,b,c的关系式,再结合抛物线的对称轴方程得关于a、c的关系式,再结合c的取值范围及顶点 坐标可判断正确,根据抛物线与直线的交点个数判断正确.,解后反思 判断多个结论是否正确的题目较为复杂,计算量较
11、大,由图象可得- =1,2c3 等多个结论,再进一步转化,确定所给结论是否正确.,2.(2016湖南永州,8,4分)抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同的交点,则m的取值范围是 ( ) A.m2 C.0m2 D.m-2,答案 A 因为抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同的交点,即方程x2+2x+m-1=0有两个不相 等的实数根,所以0,即22-41(m-1)0,解得m2,故选A.,3.(2015湖南株洲,24,10分)已知抛物线的表达式为y=-x2+6x+c. (1)若抛物线与x轴有交点,求c的取值范围; (2)设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1,x2,若 + =26,求
12、c的值; (3)如图,若P,Q是抛物线上位于第一象限的不同两点,PA,QB都垂直x轴,垂足分别为A,B,且 OPA与OQB全等.求证:c- .,解析 (1)因为抛物线与x轴有交点, 所以方程-x2+6x+c=0有实数根, 故=62-4(-1)c0,即36+4c0, 解得c-9. (2)因为抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1,x2, 所以x1,x2是方程-x2+6x+c=0的两根, 则 又因为 + =(x1+x2)2-2x1x2=26, 所以62-2(-c)=26, 解得c=-5, 经检验,当c=-5时,=62-4(-1)c=36-4(-1)(-5)=160, 所以c的值为-5. (3)证明
13、:P,Q是抛物线上位于第一象限内不同的两点, 当POA=QOB时,OPA与OQB明显不全等,4.(2014湖南株洲,24,10分)已知抛物线y=x2-(k+2)x+ 和直线y=(k+1)x+(k+1)2. (1)求证:无论k取何实数值,抛物线总与x轴有两个不同的交点; (2)抛物线与x轴交于点A、B,直线与x轴交于点C,设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3,求 x1x2x3的最大值; (3)如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边,直线与x轴的交点C在原点的左边,又抛物线、 直线分别交y轴于点D、E,直线AD交直线CE于点G(如图),且CAGE=CGAB,求抛物线的解析 式.,解析
14、(1)证明:令x2-(k+2)x+ =0,则=(k+2)2-41 =k2-k+2= + , 0,0,即方程x2-(k+2)x+ 有两个不等的实根,故无论k取何实数值,抛物线总 与x轴有两个不同的交点. (2)抛物线与x轴交于点A、B,直线与x轴交于点C,A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3, x1x2= , 令0=(k+1)x+(k+1)2, 解得x=-(k+1), 即x3=-(k+1), x1x2x3=-(k+1) =- + , x1x2x3的最大值为 . (3)CAGE=CGAB, = ,ACG=BCE, CAGCBE,CAG=CBE,又AOD=BOE,OADOBE, = , 抛物
15、线与x轴的交点A、B在原点的右边,直线与x轴的交点C在原点的左边,又抛物线、直线 分别交y轴于点D、E, OAOB= ,OD= ,OE=(k+1)2, OAOB=OD, = , OB2=OE,OB=k+1, 点B的坐标为(k+1,0), 将点B代入抛物线y=x2-(k+2)x+ 得(k+1)2-(k+2)(k+1)+ =0, 解得k=2, 抛物线的解析式为y=x2-4x+3.,评析 此题属于二次函数的综合题,综合性很强,难度较大,主要考查了一次函数与二次函数的 性质、待定系数法求函数的解析式以及相似三角形的判定与性质.注意掌握数形结合思想与 方程思想的应用.,考点三 二次函数的应用,1.(20
16、17湖南郴州,25,10分)如图,已知抛物线y=ax2+ x+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且A (2,0),C(0,-4),直线l:y=- x-4与x轴交于点D,点P是抛物线y=ax2+ x+c上的一动点,过点P作PE x轴,垂足为E,交直线l于点F.(1)试求抛物线的表达式; (2)如图(1),若点P在第三象限,连接OF,四边形PCOF是平行四边形,求P点的坐标;,(3)如图(2),过点P作PHy轴,垂足为H,连接AC. 求证:ACD是直角三角形; 试问当P点的横坐标为何值时,以点P、C、H为顶点的三角形与ACD相似?,解析 (1)由题意得 解得 抛物线的表达式为y= x2+ x
17、-4. (2)设P ,则m0,F . PF= - =- m2- m. PEx轴, PFOC. PF=OC时,四边形PCOF是平行四边形. - m2- m=4, 解得m=- 或m=-8. 当m=- 时, m2+ m-4=- ; 当m=-8时, m2+ m-4=-4.,点P的坐标为 或(-8,-4). (3)证明:把y=0代入y=- x-4,得- x-4=0, 解得x=-8. D(-8,0). OD=8. A(2,0),C(0,-4), AD=2-(-8)=10. 易知:AC2=22+42=20,DC2=82+42=80,AD2=100, AC2+CD2=AD2. ACD是直角三角形,且ACD=9
18、0. 由得ACD=90. 连接CP,设P . 当ACDCHP时, = ,即 = 或 = , 解得n=0(舍去)或n=-5.5或n=-10.5. 当ACDPHC时, = , 即 = 或 = . 解得n=0(舍去)或n=2或n=-18. 综上所述,当点P的横坐标为-5.5或-10.5或2或-18时,以点P、C、H为顶点的三角形与ACD相似.,思路分析 (1)将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a、c的方程组,解方程组求 得a、c的值即可; (2)设P ,则m0,F ,则PF=- m2- m,当PF=OC时,四边形PCOF是平 行四边形,然后依据PF=OC列方程求解即可; (3)先求得点D
19、的坐标,然后再求得AC、DC、AD的长,最后依据勾股定理的逆定理求证即可; 分ACDCHP、ACDPHC两种情况讨论,依据相似三角形对应边成比例列方程 求解即可.,2.(2016湖南郴州,21,8分)某商店原来平均每天可销售某种水果200千克,每千克可盈利6元,为 减少库存,经市场调查,如果这种水果每千克降价1元,则每天可多售出20千克. (1)设每千克水果降价x元,平均每天盈利y元,试写出y关于x的函数表达式; (2)若要平均每天盈利960元,则每千克应降价多少元?,解析 (1)y=(200+20x)(6-x),即y=-20x2-80x+1 200. (4分) (2)令y=960,得-20x
20、2-80x+1 200=960, (6分) 即x2+4x-12=0,解得x=2或x=-6(舍去). (7分) 答:要平均每天盈利960元,则每千克应降价2元. (8分),思路分析 (1)根据数量关系列出函数关系式;(2)把y=960代入函数关系式得出关于x的一元二 次方程,解方程即可.,解题关键 本题属于基础题,难度不大,解答该题利用等量关系列出函数关系式是关键.,3.(2015湖南邵阳,23,8分)为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召,某公司自主 设计了一款成本为40元的可控温杯,并投放市场进行试销售,经过调查发现该产品每天的销售 量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系:y
21、=-10x+1 200. (1)求出利润S(元)与销售单价x(元)之间的关系式;(利润=销售额-成本) (2)当销售单价定为多少时,该公司每天获取的利润最大?最大利润是多少元?,解析 (1)S=(x-40)(-10x+1 200)或S=-10x2+1 600x-48 000. (2)S=-10x2+1 600x-48 000, 当x=- =- =80时,Smax=16 000, 即销售单价为80元时,公司每天获取的利润最大,最大利润为16 000元.,4.(2016湖南益阳,21,12分)如图,顶点为A( ,1)的抛物线经过坐标原点O,与x轴交于点B. (1)求抛物线的表达式; (2)过B作O
22、A的平行线交y轴于点C,交抛物线于点D,求证:OCDOAB; (3)在x轴上找一点P,使得PCD的周长最小,求出P点的坐标.,解析 (1)抛物线的顶点为A( ,1), 设抛物线的表达式为y=a(x- )2+1(a0), 将原点坐标(0,0)代入表达式,得a=- , 抛物线的表达式为y=- x2+ x. (3分) (2)证明:将y=0代入y=- x2+ x中,得B点坐标为(2 ,0), 设直线OA的表达式为y=kx(k0), 将A( ,1)代入表达式y=kx中,得k= , 直线OA的表达式为y= x. BDAO, 设直线BD的表达式为y= x+b, 将B(2 ,0)代入y= x+b中,得b=-2
23、,直线BD的表达式为y= x-2. 由 得交点D的坐标为(- ,-3), 将x=0代入y= x-2中,得C点的坐标为(0,-2), 由勾股定理得OA=2=OC,AB=2=CD,OB=2 =OD. 在OCD与OAB中, OCDOAB. (8分) (3)如图,点C关于x轴的对称点C的坐标为(0,2),连接CD,则CD与x轴的交点即为点P,它使得 PCD的周长最小. 过点D作DQy轴,垂足为Q,则PODQ.,CPOCDQ. = , 即 = ,PO= , 点P的坐标为 . (12分),B组 20142018年全国中考题组,考点一 二次函数的图象与性质,1.(2018四川成都,10,3分)关于二次函数y
24、=2x2+4x-1,下列说法正确的是 ( ) A.图象与y轴的交点坐标为(0,1) B.图象的对称轴在y轴的右侧 C.当x0时,y的值随x值的增大而减小 D.y的最小值为-3,答案 D 因为y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,所以,当x=0时,y=-1,选项A错误;该函数图象的对称轴是 直线x=-1,选项B错误;当x-1时,y随x的增大而减小,选项C错误;当x=-1时,y取得最小值,此时y=- 3,选项D正确.故选D.,思路分析 根据题中的函数解析式以及二次函数的性质,可以判断各个选项中的结论是否成 立,从而解答本题.,解题关键 解答本题的关键是理解二次函数的性质,会用配方法求二次函数的
25、最值.,2.(2017内蒙古包头,11,3分)已知一次函数y1=4x,二次函数y2=2x2+2.在实数范围内,对于x的同一 个值,这两个函数所对应的函数值为y1与y2,则下列关系正确的是 ( ) A.y1y2 B.y1y2 C.y1y2 D.y1y2,答案 D y2-y1=2x2-4x+2=2(x-1)2,无论x取何值,(x-1)20恒成立,y2y1,故选D.,一题多解 根据函数图象可以看出对于x的同一个值,恒有y1y2.,3.(2017黑龙江齐齐哈尔,10,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=-2,与x轴的一 个交点在(-3,0)和(-4,0)之间,其部分图象如图
26、所示,则下列结论:4a-b=0;c0;4 a-2bat2+bt(t为实数);点 , , 是该抛物线上的点,则y1y2y3,正确的个数 为 ( )A.4 B.3 C.2 D.1,答案 B 抛物线的对称轴为直线x=- =-2, 4a-b=0,正确; 抛物线与x轴的一个交点在(-3,0)和(-4,0)之间,由抛物线的对称性知,另一个交点在(-1,0)和(0,0) 之间,抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,即c0,由知b=4a,故a-b+c=a-4a+c=-3a+c0,所以正确; 由函数图象知当x=-2时,函数取得最大值,4a-2b+cat2+bt+c,即4a-2bat2+bt(t为实数),故 错误;
27、抛物线的开口向下,且对称轴为直线x=-2,抛物线上离对称轴的水平距离越小,函数值越 大,y1y3y2,故错误. 故正确的个数为3.,4.(2017四川成都,10,3分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列 说法正确的是 ( )A.abc0 B.abc0,b2-4ac0 C.abc0,b2-4ac0,答案 B 因为抛物线的开口向上,所以a0,又对称轴在y轴右侧,所以- 0,所以b0;因为抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0,故选B.,思路分析 本题考查二次函数的图象与系数的关系,从抛物线的开口方向,对称轴以及与y轴 的交点位置来判断a,b,c的符号,由
28、抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac的符号.,5.(2016天津,12,3分)已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1x3的情况下, 与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为 ( ) A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或3,答案 B 当h3时,二次函数在x=3处取最小值,此时(3-h)2+1=5,解得h1=5,h2=1(舍去). 当1h3时,二次函数在x=h处取最小值1,不符合题意. 当h1时,二次函数在x=1处取最小值,此时(1-h)2+1=5,解得h1=-1,h2=3(舍去). h=-1或5.故选B.,评析 本题考查了二次函数的图象和性质,分类讨
29、论思想,解一元二次方程,属于难题.,6.(2015河南,12,3分)已知点A(4,y1),B( ,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3 的大小关系是 .,答案 y2y1y3,解析 解法一:A(4,y1),B( ,y2),C(-2,y3)都在抛物线y=(x-2)2-1上,y1=3,y2=5-4 ,y3=15. 5-4 0,y2y1y3.,考点二 二次函数与一元二次方程的联系,1.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y 轴右侧.有下列结论: 抛物线经过点(1,0
30、); 方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根; -3a+b3. 其中,正确结论的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,答案 C 抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),其对称轴在y轴右侧,抛物线 不能经过点(1,0),错误.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴 在y轴右侧,抛物线开口向下,与直线y=2有两个交点,方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数 根,故正确.抛物线的对称轴在y轴右侧,- 0.a0.把点(-1,0),(0,3)分别代入y= ax2+bx+c得a-b=-3,b=a+3,
31、a=b-3.-3a0,0b3.-3a+b3.故正确.故选C.,思路分析 抛物线经过点(-1,0),其对称轴在y轴右侧,由对称性可以判断错误;由条件得抛物 线开口向下,作直线y=2,直线与抛物线有两个交点,可判断正确;根据抛物线所经过的点及对 称轴的位置,可判断正确,从而得结论.,解后反思 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象与系数的关系,二次函数 与一元二次方程的关系,不等式的性质等知识,a的符号决定抛物线的开口方向,- 的符号决 定抛物线对称轴的位置,c的值决定了抛物线与y轴的交点坐标.,2.(2017江苏苏州,8,3分)若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于
32、x的方程a(x-2)2+1=0的 实数根为 ( ) A.x1=0,x2=4 B.x1=-2,x2=6 C.x1= ,x2= D.x1=-4,x2=0,答案 A 把(-2,0)代入二次函数解析式y=ax2+1中,解得a=- ,把a=- 代入a(x-2)2+1=0,解得x1= 0,x2=4.,3.(2017甘肃兰州,5,4分)下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:,那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是 ( ) A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3,答案 C 由表格中的数据可以看出最接近于0的数是0.04,它对应的x的值是1.2,故方程x2+3x- 5=0的一个
33、近似根是1.2,故选C.,4.(2016陕西,10,3分)已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点,将这条抛物线的顶点记为C,连 接AC、BC,则tanCAB的值为 ( ) A. B. C. D.2,答案 D 不妨设点A在点B左侧, 如图,作CDAB交AB于点D,当y=0时,-x2-2x+3=0, 解得x1=-3,x2=1, 所以A(-3,0),B(1,0), 所以AB=4,因为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,所以顶点C(-1,4),所以AD=2,CD=4, 所以tanCAB= =2,故选D.,思路分析 利用二次函数的图象和性质求角的三角函数值.,解题关键 设点后画图,结合
34、图象找到边的关系.,5.(2016广西南宁,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)和正比例函数y= x的图象如图所示,则方 程ax2+ x+c=0(a0)的两根之和 ( )A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能确定,答案 A 根据题图可知a0,b0. 在方程ax2+ x+c=0(a0)中,= -4ac=b2- b+ -4ac=b2-4ac- b+ 0,设方程的两根 分别为x1,x2,则x1+x2=- =- + 0,故选A.,考点三 二次函数的应用,1.(2018湖北武汉,15,3分)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析 式是y=60t- t2.
35、在飞机着陆滑行中,最后4 s滑行的距离是 m.,答案 24,解析 y=60t- t2=- (t-20)2+600,即t=20时,y取得最大值,即滑行距离达到最大,此时滑行距离是 600 m.当t=16时,y=6016- 162=576,所以最后4 s滑行的距离为600-576=24 m.,2.(2015浙江温州,15,5分)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙 隔开,并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则能建成的饲养室总占地面积最大为 m2.,答案 75,解析 设垂直于现有墙的一面墙长为x m,建成的饲养室总占地面
36、积为y m2,则利用现有墙的长 为(27+3-3x)m, y=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75. -30, 当x=5时,ymax=75, 即能建成的饲养室总占地面积最大为75 m2.,3.(2017安徽,22,12分)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不 高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据 如下表:,(1)求y与x之间的函数表达式; (2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本); (3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售
37、价为多少元时获得最大利润, 最大利润是多少?,解析 (1)设y=kx+b(k0). 由题意,得 解得 所求函数表达式为y=-2x+200. (4分) (2)W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8 000. (7分) (3)W=-2x2+280x-8 000=-2(x-70)2+1 800,其中40x80. -20, 当40x70时,W随x的增大而增大; 当70x80时,W随x的增大而减小; 当售价为70元时,获得最大利润,最大利润为1 800元. (12分),4.(2017福建,25,14分)已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),且ab.
38、 (1)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示); (2)说明直线与抛物线有两个交点; (3)直线与抛物线的另一个交点记为N. (i)若-1a- ,求线段MN长度的取值范围; (ii)求QMN面积的最小值.,解析 (1)因为抛物线过点M(1,0),所以a+a+b=0,即b=-2a. 所以y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a - , 所以抛物线顶点Q的坐标为 . (2)因为直线y=2x+m经过点M(1,0), 所以0=21+m,解得m=-2. 把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0, 所以=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4,
39、由(1)知b=-2a,又a0. 所以0,所以方程有两个不相等的实数根, 故直线与抛物线有两个交点. (3)把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a, 得ax2+(a-2)x-2a+2=0,即x2+ x-2+ =0, 所以 = ,解得x1=1,x2= -2,所以点N . (i)根据勾股定理得,MN2= + = - +45=20 , 因为-1a- , 由反比例函数的性质知-2 -1,所以 - 0, 所以MN=2 =3 - , 所以5 MN7 . (ii)作直线x=- 交直线y=2x-2于点E.,把x=- 代入y=2x-2得,y=-3,即E . 又因为M(1,0),N ,且由(2)知a ,所以8S-
40、540, 所以8S-5436 ,即S + , 当S= + 时,由方程可得a=- ,满足题意. 故当a=- ,b= 时,QMN面积的最小值为 + .,5.(2015宁夏,25,10分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按拟定的价格 进行试销,通过对5天的试销情况进行统计,得到如下数据:,(1)计算这5天销售额的平均数;(销售额=单价销量) (2)通过对上面表格中的数据进行分析,发现销量y(件)与单价x(元/件)之间存在一次函数关系, 求y关于x的函数关系式;(不需要写出函数自变量的取值范围) (3)预计在今后的销售中,销量与单价仍然存在(2)中的关系,且该产品的成本是20元/件.
41、为使工 厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少?,解析 (1) = =934.4. (2分) (2)设所求一次函数关系式为y=kx+b(k0), 将(30,40)、(40,20)代入y=kx+b,得解得 y=-2x+100. (5分) (3)设利润为元,根据题意,得 =(x-20)(-2x+100) (7分) =-2x2+140x-2 000=-2(x-35)2+450, (9分) 当x=35时,取最大值. 即当该产品的单价为35元/件时,工厂获得最大利润. (10分),评析 本题考查了加权平均数的计算、一次函数解析式的确定、二次函数最值的实际应用, 需要结合题意提取出有效信息,同时要理解顶点
42、坐标与最值的关系,属中档题.,6.(2015河南,23,11分)如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线 经过点A,点P是抛物线上点A,C间的一个动点(含端点),过点P作PFBC于点F.点D,E的坐标分 别为(0,6),(-4,0),连接PD,PE,DE. (1)请直接写出抛物线的解析式; (2)小明探究点P的位置发现:当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值.进而猜想:对于任 意一点P,PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确,并说明理由; (3)小明进一步探究得出结论:若将“使PDE的面积为整数”的点P记作“好点”,则存在多 个“好点”,且使PDE的周
43、长最小的点P也是一个“好点”. 请直接写出所有“好点”的个数,并求出PDE周长最小时“好点”的坐标.,备用图,解析 (1)抛物线的解析式为y=- x2+8. (3分) (2)正确.理由如下: 设P , 则PF=8- = x2. (4分) 过点P作PMy轴于点M,则 PD2=PM2+DM2=(-x)2+ = x4+ x2+4= . PD= x2+2. (6分) PD-PF= x2+2- x2=2.猜想正确. (7分) (3)“好点”共有11个. (9分) 在点P运动时,DE大小不变,当PE与PD的和最小时,PDE的周长最小. PD-PF=2,PD=PF+2, PE+PD=PE+PF+2. 当P,
44、E,F三点共线时,PE+PF最小.此时点P,E的横坐标都为-4. 将x=-4代入y=- x2+8,得y=6. P(-4,6),此时PDE的周长最小,且PDE的面积为12,点P恰为“好点”. PDE的周长最小时“好点”的坐标为(-4,6). (11分) 【提示】PDE的面积S=- x2-3x+4=- (x+6)2+13.由-8x0,知4S13,所以S的整数值有1 0个.由函数图象知,当S=12时,对应的“好点”有2个.所以“好点”共有11个.,C组 教师专用题组,考点一 二次函数的图象与性质,1.(2017贵州贵阳,9,3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,以下四个结论:
45、a0; c0;b2-4ac0;- 0.正确的是 ( )A. B. C. D.,思路分析 根据二次函数图象的开口方向,可判断a的正负;根据二次函数图象与y轴的交点的 位置,可判断c的正负;根据二次函数图象与x轴有两个交点,可判断b2-4ac的符号;根据二次函数 图象对称轴的位置,可判断- 的正负.,答案 C 二次函数图象的开口向上,a0,正确; 二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上,c0,正确; 函数图象的对称轴在y轴的右侧,- 0,错误.故选C.,2.(2017浙江杭州,9,3分)设直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a1,则(m-1)a+b0 B.若m1,则(m-1
46、)a+b0 D.若m1,则(m+1)a+b0,答案 C 直线x=1是函数y=ax2+bx+c(aam2+bm+c, 即a(m2-1)+b(m-1)0; 当m1时,(m+1)a+b0. 此题选C.,思路分析 由a0和图象的对称轴可以确定函数的最大值,其他的函数值都比这个值小,由此 可以得到一个不等式,进而求解.,3.(2016湖南怀化,7,4分)二次函数y=x2+2x-3图象的开口方向,顶点坐标分别是 ( ) A.开口向上,顶点坐标为(-1,-4) B.开口向下,顶点坐标为(1,4) C.开口向上,顶点坐标为(1,4) D.开口向下,顶点坐标为(-1,-4),答案 A 二次函数y=x2+2x-3
47、的二次项系数为a=10,函数图象开口向上, y=x2+2x-3=(x+1)2-4, 顶点坐标为(-1,-4).故选A.,4.(2016湖南常德,7,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论:b0; a+c0,其中正确的个数是 ( )A.1 B.2 C.3 D.4,答案 C 抛物线的开口向下,a0,b0,故错误; 由题中图象可知,抛物线与y轴交于正半轴,c0,故正确; 由题中图象可知,当x=-1时,y=a-b+c0,故正确,故选C.,思路分析 由二次函数图象的开口方向,对称轴的位置,以及二次函数图象与y轴的交点位置, 与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可.,解题关键 熟练掌握二次函数图象与a,b,c值之间的关系.,5.(2015甘肃兰州,13,4分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,点C在y轴的正半轴上,且OA=OC,则 ( )A.ac+1=b B.ab+1=c C.bc+1=a D.以上都不是,答案 A 由题意得点C的坐标为(0,c), OA=OC,点A的坐标为(-c,0). 将(-c,0)代入二次函数解析式,得ac2-bc+c=0, c0,ac-b+1=0, 即ac+1=b.故选A.,6.(2015宁夏,8,3分)函数y= (k0)与y=-kx2+k(k0)在同一直角坐标系中的大致图象可能是 ( ),
