1、- 1 -醴陵一中 2017 届高三第二次模拟考试理科数学试卷一、选择题：本题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1.i是虚数单位，复数21Zi，则 （ ）A0 B C1 D22.设集合 2xy，20xZ且，则 BA的子集的个数是（ ）A2 B4 C8 D163.已知 53sin)3si(， 2，则)32cos(（ ）A 54BC4D 5 4.有 5 名学生报名参加甲、乙、丙三个社团活动，若每位学生要参加且只参加其中一个社团活动，若每个社团活动至少有其中一个学生报名参加，则不同报名方法种数为（ ）A150 B180 C. 200 D2805.执行如有图所示的程序框图，输出的 S值为 4，
2、则判断框内应填写（ ）A ?3i B ?5i C ?4i D ?4i6.在正三棱柱 1AC中，所有棱长均为 3，若 P是 1CBA的中心，则 PA与平面B所成的角大小是（ ）A 6B 4C. 3 D 32- 2 -7.函数1()2sin(),2,4fxx的所有零点之和为（ ）A2 B4 C. 6 D88.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长的棱长为（ ）A 34 B 24 C. 6 D 52 9.已知对任意平面向量 ),(yxA，把 AB绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量cossin,cos( yxP，叫做把点 绕点 A逆时针方向旋转 角得到点.
3、设平面内曲线 C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转 4后得到点的轨迹是曲线22yx，则原来曲线 的方程是（ ）A 1 B 1xy C. 22xyD 12xy10.已知 21,F分别为双曲线 C： 542的左、右焦点， P为双曲线 C右支上一点，且|P，则 21外接圆的面积为（ ）A 154B 56C. 56D 152611.如图，在 C中， D是 的中点， FE,是 A上的两个三等分点， 4CAB，1FB，则 E的值是（ ）- 3 -A4 B8 C. 87D 4312.数学统综有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵
4、坐标中两个较小数之和大于最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数 2)(2xf，在2,31m上取三个不同的点 )(,af， )(,bf，,c，均存在 )()(cfbaf为三边长的三角形，则实数 m的取值范围为（ ）A 1,0 B 2,0C. 2,0(D2,第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.二项式62)(x展开式中的常数项为 14.设区域 D是由 轴、直线 21yx及曲线 lnyx在点 )0,1(处的切线所围成的封闭区域，则 3zx在 上的最大值为 15.已知 dan0)12(， )(Nn，数列na的前 项和为 n
5、S，数列 nb的通项公式为 8bn，则 Sb的最小值为 16.已知函数|)1(log)(2exxfe，则使得 )12()(xff成立的 x的范围是 - 4 -三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17. （本小题满分 12 分）已知数列 na的首项 41，当 2n时， 0411nna，数列 nb满足nnb21（ N）.（1）求证：数列 nb是等差数列，并求 nb的通项公式；（2）若21nc，求数列 C的前 n 项和 T 18（ 分） 06年全国高考将有 25个省市使用新课标全国卷，其中数学试卷最后一题为选做题，即要求考生从选修 41（几何证明选讲）、选修 4（坐标系与参数方程）、选修 4
6、5（不等式选讲）的三道题中任选一道题作答某数学老师教了高三 A、 B两个理科班共 10名学生，为了了解所教学生对这三道题的选做情况，他对该地区某次模拟考试中，两个班的数学进行了统计，结果如下表所示：若从 10名学生中随机抽取一名，他选做选修 4的概率为920（）求 ,ab的值，分别计算两个班没有选选修 5的概率（视频率为概率）；（） 若该 100 名学生的选做题答题情况在该地区有普遍代表性，现从该地区所有参考学生中随机抽取 4 名学生，对其试卷的选做题进行分析，记 名学生中选做 41的人数为随机变量 X,求 的分布列和数学期望19.(12 分)如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD
7、是边长为 2 的正方形，四边形 EFBD 为等腰梯形， /EFBD，1，平面EFBD平面 ABCD. CBFEDAABDC- 5 -（）证明： DE/平面 ACF;（）若梯形 EFBD 的面积为 3，求二面角 A-BF-D 的余弦值20.(12 分) 已知椭圆 E：)0(12bayx的左焦点 )0,5(1F，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 1DF相切于线段 的中点 .（1）求椭圆 的方程；（2）过坐标原点 O的直线交椭圆 W：4292byax于 P、 A两点，其中点 P在第一象限，过 P作 x轴的垂线，垂足为 C，连结 A并延长交椭圆 于 B，求证： B.21.(12 分)
8、 已知函数21()ln()fxaxR，记 ()fx为 f的导函数（I）若 (10f，求函数 f的最大值；（II）令 )(1)gxfax，讨论函数 ()gx的单调区间；（III）若 2a，令fh，存在正实数 12,满足122()1hx，证明：1235x.考生在以下二题中任选一题作答22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，），（） ，（ 323BA，圆 C 的方程为 cos2（）求在平面直角坐标系 xoy 中圆 C 的标准方程；（）已知 P 为圆 C 上的任意一点，求 ABP 面积
9、的最大值.- 6 -23.（本题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲设函数 f(x)=|x- 2|-|2x+l|(I)求不等式 f(x)x 的解集；(II )若不等式 f(x)t 2一 t 在 x时恒成立，求实数 t 的取值范围 - 7 -2017 届高三第二次模拟考试理科数学参考答案一、选择题1-5： BBCAD 6-10： CBCAD 11-12：CA二、填空题1360； 14 3； 15 ； 16(0,2)17. 17.（1）证明：当 时， ， ， 是等差数列. 6 分（2）由（1）得 ，所以（1）-（2）得 。12 分 解：（）由题意，得：班没有选做选修 的概率班没有选做选修 的概
10、率 分（）由题意知，该地区学生每人选选修 的概率均为 , 随机变量 服从二项分布，即 分- 8 - 分 的分布列为 分 分19(1)设 的交点为 ，则 为 的中点，连接由 ，得所以四边形 为平行四边形，故 3 分又 平面 , 平面所以 平面 6 分（）方法一：因为平面 平面 ，交线为 ，所以 平面 ，作 于 ，连平面 ， ，又平面 ， ,故 为二面角 的平面角. 8 分取 中点 ，连接 ，因为四边形 为等腰梯形，故- 9 -因为所以 .由 ，得 因为所以 ，故 10 分所以故二面角 的余弦值为 12 分方法二：取 中点 ，连接 ，因为四边形 为等腰梯形，故 ，又平面平面 ，交线为 ，故 平面
11、，如图，以 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系 .因为所以 , 因此 8 分设平面 的法向量为由 ，得 ，令，则因为 ，所以 平面 ，故平面 的法向量为 - 10 -10 分于是由题意可知，所求的二面角的平面角是锐角，故二面角 的余弦值为 20. 解：（）连接 为原点， 为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为因为 是 的中位线，且 ，所以所以 ，故在 中，即 ，又 ，解得所求椭圆 的方程为 -5 分()法一：由（）得椭圆 的方程为根据题意可设 ，则则直线 的方程为 过点 且与 垂直的直线方程为 并整理得：又 在椭圆 上，所以所以- 11 -即、两直线
12、的交点 在椭圆 上，所以 .。12 分法二：由（）得椭圆 的方程为根据题意可设 ，则 ， ，所以直线，化简得所以因为 ，所以 ，则所以 ，则 ，即 -12 分 21. 解：（I）因为 ，所以 ，此时 ，由 ，得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故当 时函数有极大值，也是最大值，所以 的最大值为 3 分（II） ，所以 - 12 -当 时，因为 ，所以 所以 在 上是递增函数，当 时， ，令 ，得 ，所以当 时， ，当 时， ，因此函数 在 是增函数，在 是减函数综上，当 时，函数 的递增区间是 ，无递减区间；当 时，函数 的递增区间是 ，递减区间是 8 分（III）当 ， 又，从而 令 ，则由 得， 可知， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，所以 ，所以 ，因为 ，因此 成立 12 分22（）由 ，可得： ，所以故在平面直角坐标系中圆的标准方程为： 5 分- 13 -（）在直角坐标系中所以 ，直线 AB 的方程为：所以圆心到直线 AB 的距离 ，又圆 C 的半径为 1，所以圆 C 上的点到直线 AB 的最大距离为故 面积的最大值为 10 分23
