1、4.3 等腰三角形与直角三角形,中考数学 (广西专用),考点一 等腰三角形,五年中考,A组 2014-2018年广西中考题组,五年中考,1.(2017河池,12,3分)已知等边ABC的边长为12,D是AB上的动点,过D作DEAC于点E,过E作 EFBC于点F,过F作FGAB于点G.当G与D重合时,AD的长是 ( ) A.3 B.4 C.8 D.9,答案 B 设AD=2x, ABC是等边三角形, A=B=C=60, DEAC于点E,EFBC于点F,FGAB于点G,且点G与D重合,ADF=DEC=EFC=90, AE=x, CE=12-x,CF=6- ,BF=6+ , BD=3+ , 3+ +2x
2、=12,x=4,AD=4. 故选B.,2.(2016贺州,7,3分)一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为 ( ) A.12 B.16 C.20 D.16或20,答案 C 当腰长为4时,4+4=8,故此种情况不存在. 当腰长为8时,8-488+4,符合题意,故此三角形的周长=8+8+4=20.故选C.,易错警示 本题易错选D选项,主要是没有考虑腰长为4时不符合三角形两边之和大于第三边 这个条件.,3.(2015来宾,9,3分)如图,在ABC中,AB=AC,BAC=100,AB的垂直平分线DE分别交AB,BC于 点D,E,则BAE等于 ( )A.80 B.60 C.50 D.40,答案
3、 D AB=AC,BAC=100, B=C=(180-100)2=40, DE所在直线是AB的垂直平分线,AE=BE, BAE=B=40,故选D.,思路分析 先利用等腰三角形的性质求出B的度数,再利用中垂线的性质求解.,主要考点 等腰三角形及线段的垂直平分线的性质.,4.(2018桂林,16,3分)如图,在ABC中,A=36,AB=AC,BD平分ABC,则图中等腰三角形的个 数是 .,答案 3,解析 AB=AC,A=36, ABC=ACB= =72, 又BD平分ABC,ABD=CBD=36, BDC=72,AD=BD=BC, ABD,BCD,ABC均为等腰三角形,故有3个.,考点二 直角三角形
4、,1.(2018柳州,6,3分)如图,图中直角三角形共有 ( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 C 题图中共有3个直角三角形,故选C.,2.(2018贺州,10,3分)如图,在ABC中,BAC=90,ADBC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED= 3,则BC的长为 ( )A.3 B.3 C.6 D.6,答案 D ADBC,AD=ED=3, AE= = =3 . 又BAC=90,E为BC的中点, BC=2AE=23 =6 .,3.(2016百色,6,3分)如图,ABC中,C=90,A=30,AB=12,则BC= ( )A.6 B.6 C.6 D.12,答案 A C=90,A=3
5、0, BC= AB= 12=6.故选A.,4.(2016北海,8,3分)如图,在ABC中,AD为BC边上的高,BE为AC边上的中线,AB=10,BC=12,AD =6,连接DE,则DE的长为 ( )A. B. C.2 D.2,答案 B 在RtABD中,AB=10,AD=6,根据勾股定理得BD= =8,则CD=BC-BD=4. 在RtACD中,根据勾股定理得AC= =2 ,又点E为AC的中点,所以DE= AC= . 故选B.,评析 本题考查了勾股定理,及直角三角形斜边上的中线是斜边的一半.,5.(2015桂林,8,3分)下列各组线段能构成直角三角形的一组是( ) A.30,40,50 B.7,1
6、2,13 C.5,9,12 D.3,4,6,答案 A A.302+402=502,该组线段能构成直角三角形,故正确;B.72+122132,该组线 段不能构成直角三角形,故错误;C.52+92122,该组线段不能构成直角三角形,故错误;D. 32+4262,该组线段不能构成直角三角形,故错误.故选A.,6.(2018玉林,17,3分)如图,在四边形ABCD中,B=D=90,A=60,AB=4,则AD的取值范围是 .,答案 2AD8,解析 过B作BEAD于E, 分别延长AD,BC交于F, 在RtABE中, =cos 60,AE=4 =2. 在RtABF中, =cos 60,AF= =8. 故2A
7、D8.,7.(2018贵港,26,10分)已知:A,B两点在直线l的同一侧,线段AO,BM均是直线l的垂线段,且BM在 AO的右边,AO=2BM,将BM沿直线l向右平移,在平移过程中,始终保持ABP=90不变,BP边与 直线l相交于点P. (1)当P与O重合(如图2所示),设点C是AO的中点,连接BC.求证:四边形OCBM是正方形; (2)请利用图1所示的情形,求证: = ; (3)若AO=2 ,且当MO=2PO时,请直接写出AB和PB的长.,图1 图2,解析 (1)证明:AOl,BMl,AOBM, AO=2BM,C为AO中点,OC=BM,四边形OCBM是平行四边形. OMB=90,四边形OC
8、BM是矩形,OCB=90, 在OCB和ACB中, OCBACB(SAS), CBO=ABC, 又ABO=90, CBO=45, 又OCB=90, COB=45, CO=CB. 四边形OCBM是正方形. (2)证明:过B作BCAO于C,设AO与PB相交于D.,AOM=OMB=OCB=90, 四边形OCBM是矩形. OM=BC. POA=ABP=90,ADB=PDO, BPM=A. 又ACB=PMB=90, ACBPMB. = . OM=BC, = . (3)当P在线段OM外时,如图.设OA与BP相交于点C.,MO=2PO, = . COBM,POCPMB. = = = , 又AO=2 ,BM=
9、AO= ,OC= ,AC= . ABP=POA=90,PCO=ACB,ABCPOC, = ,CBCP=ACCO. = ,设PC=x(x0),则CB=2x. =2x2,解得x= (负值舍去). PB= ,CB= . 在RtABC中,由勾股定理得AB= = = . 当P在线段OM内时,如图.,过A作ACBM交MB的延长线于C,ACB=AOM=OMB=90. 四边形AOMC是矩形. AO=CM,AC=OM, 又AO=2BM,AO=2 , BC=BM= . ABP=90,OMB=90, PBM+ABC=90,PBM+BPM=90, ABC=BPM. PMBBCA., = . ACPM=BMCB,即MO
10、PM=6. 又MO=2PO,PO=PM= MO, 2PM2=6. PM= .MO=AC=2 . 在RtBPM中,PB= = =3, 在RtABC中,AB= = =3 . 综上所述,AB= 或3 ,PB= 或3.,B组 20142018年全国中考题组,考点一 等腰三角形,1.(2018福建,5,4分)如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45,则 ACE等于 ( )A.15 B.30 C.45 D.60,答案 A 由等边三角形ABC中,ADBC,垂足为点D,可得ACB=60,且点D是BC的中点,所 以AD垂直平分BC,所以EC=EB,根据等边对等角,得到ECB=
11、EBC=45,故ACE=ACB- ECB=60-45=15.,2.(2017内蒙古包头,6,3分)若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形 的底边长为 ( ) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm,答案 A 当腰长为2 cm时,底边长为6 cm,但是2+2=46,即两边之和小于第三边,不合题意;当 底边长为2 cm时,腰长为4 cm,符合题意,故选A.,3.(2017湖北武汉,10,3分)如图,在RtABC中,C=90,以ABC的一边为边画等腰三角形,使得 它的第三个顶点在ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 ( ) A.4
12、B.5 C.6 D.7,答案 D 如图1,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则BCD就是等腰三角形; 如图2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,则ACE就是等腰三角形; 如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于M,交AC于点F,则BCM、BCF是等腰三角 形; 如图4,作AC的垂直平分线交AB于点H,则ACH就是等腰三角形;,如图5,作AB的垂直平分线交AC于点G,则AGB就是等腰三角形; 如图6,作BC的垂直平分线交AB于I,则BCI就是等腰三角形. 故选D.,4.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50,则它的顶角的度数为 .,答案 80,解析
13、等腰三角形的两底角相等,180-502=80, 顶角为80.,5.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F, G为EF的中点,连接DG,则DG的长为 .,答案,解析 连接DE,在等边ABC中,D、E分别是AB、BC的中点, DEAC,DE=EC= AC=2. DEB=C=60. EFAC,EFC=90. FEC=30,EF= . DEG=180-60-30=90. G是EF的中点,EG= .,在RtDEG中,DG= = = .,思路分析 连接DE,根据题意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度数,判断出DEG是 直角三角形,再
14、根据勾股定理即可求解DG的长.,疑难突破 本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段 DG的长,DG与图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股 定理求出DG的长.,6.(2018辽宁沈阳,16,3分)如图,ABC是等边三角形,AB= ,点D是边BC上一点,点H是线段AD 上一点,连接BH、CH,当BHD=60,AHC=90时,DH= .,答案,解析 延长AD至点E,使得HE=BH,连接BE、CE,BHD=60,BHE是等边三角形,BH=BE=HE,BEH=60, ABC是等边三角形,AB=BC,ABC=60,ABH=CBE,ABHCB
15、E,BEC= BHA=120,HEC=60, CHAD,CHE=90,设BH=x(x0),则HE=x,CH= x, 过点B作BGHE于G,则BG= x,EG= ,BGD=CHD=90,又BDG=CDH,BDG CDH, = = = , BC= ,CD= ,又DH= GH= HE= ,由勾股定理得,DH2+CH2=CD2,即 +( x)2,= ,解得x=1,DH= .,疑难突破 此类题型中,可根据等边三角形、60这些条件,通过补全小等边三角形,构造全等 三角形,从而实现线段的转化.,考点二 直角三角形,1.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂
16、足为D,ABC的平 分线交AD于点E,则AE的长为 ( )A.2 B.3 C. D.,答案 D AC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin 45=4 ,过点E作EFAB于点F,BE是 ABC的平分线,DE=EF,ABC=60,ADBC,BAE=30,在RtAEF中,EF= AE,又 AD=4 ,DE=EF,AE= AD= ,故选D.,思路分析 首先利用AC的长及C的正弦求出AD的长,进而通过角平分线的性质及直角三角 形中30度角的性质确定DE和AE的数量关系,最后求出AE的长.,2.(2016四川南充,7,3分)如图,在RtABC中,A=30,BC=1,点D,E分别是直角边BC,AC的中点
17、, 则DE的长为 ( )A.1 B.2 C. D.1+,答案 A 在RtABC中,A=30,BC=1,AB=2. 点D,E分别是BC,AC的中点, DE= AB= 2=1.,3.(2017内蒙古包头,12,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,AF平分CAB, 交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为 ( )A. B. C. D.,答案 A 过F作FGAB于点G, AF平分CAB,ACB=90,FC=FG. 易证ACFAGF,AC=AG.5+6=90,B+6=90,5=B. 3=1+5,4=2+B,1=2, 3=4,CE=CF. AC=3,AB=5
18、,BC=4. 在RtBFG中,设CF=x(x0), 则FG=x,BF=4-x.BG=AB-AG=5-3=2.,由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x= ,CE=CF= .选A.,4.(2018福建,13,4分)如图,RtABC中,ACB=90,AB=6,D是AB的中点,则CD= .,答案 3,解析 依题意可知CD是直角三角形ABC斜边上的中线,由“直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半”可得CD= AB=3.,5.(2018福建,15,4分)把两个同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三 角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C
19、,D在同一直线上.若 AB= ,则CD= .,答案 -1,解析 由题意知ABC,ADE均为等腰直角三角形,且AB=AC=AE=ED= ,由勾股定理得BC =AD=2.过A作AFBC于F,则FC=AF=1,在RtAFD中,由勾股定理得FD= ,故CD=FD-FC=-1.,6.(2018湖北黄冈,13,3分)如图,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂 蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计).,答案 20,解析 如图,将圆柱侧面展开,延长AC至A,使AC=AC,
20、连接AB,则线段AB的长为蚂蚁到蜂蜜的 最短距离.过B作BBAD,垂足为B.在RtABB中,BB=16,AB=14-5+3=12,所以AB= = =20,即蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20 cm.,7.(2018河南,15,3分)如图,MAN=90,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,A BC与ABC关于BC所在直线对称.点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交AB所在直线 于点F,连接AE.当AEF为直角三角形时,AB的长为 .,答案 4或4,解析 (1)当点A在直线DE下方时,如图1,CAF=90,EAFCAF,AEF为钝角三角 形,不符合;(2)当点
21、A在直线DE上方时,如图2.当AFE=90时,DEAB,EDA=90,A BAC.由对称知四边形ABAC为正方形,AB=AC=4;当点A在直线DE上方时,如图3.当A EF=90时,AEAC,所以AEC=ACE=ACE,AC=AE.AE=EC,ACE为等边三角 形,ACB=ACB=60,在RtACB中,AB=ACtan 60=4 ;当点A在直线DE上方时, EAFCAB,不可能为90. 综上所述,当AEF为直角三角形时,AB的长为4或4 .图1,图2图3,方法总结 解对称(折叠)型问题,当对称轴过定点时,一般要找出对称中的定长线段,以定点为 圆心,定长为半径作辅助圆来确定对称点的轨迹是较为有效
22、的方法.再根据题目中所要求的条 件,结合全等、相似或勾股定理等计算得出结果.,思路分析 由题意知,点B为边AN上的动点,A点的对称点A可以在直线DE的下方或上方.分类 讨论,当点A在DE的下方时,AEF不可能为直角三角形,当点A在直线DE上方时,AEF或 AFE为90时分别计算AB的长,显然EAF90,可以排除.,8.(2018新疆乌鲁木齐,15,4分)如图,在RtABC中,C=90,BC=2 ,AC=2,点D是BC的中点,点 E是边AB上一动点,沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置,BD交AB于点F.若ABF为 直角三角形,则AE的长为 .,答案 3或2.8,解析 易知BAF不可能为直角
23、. 当BFA是直角时,如图1,图1 C是直角,ABC=DBF,BCABFD, = ,又BC=2 ,且易知BD= ,AB =4,BF= 2 = ,由翻折可知DBEDBE,BE=BE,EBF=ABD=30,BE=EB= 2EF,BE= BF=1,AE=4-1=3. 当FBA是直角时,如图2,图2 连接BC、AD、BB,由翻折可知DBEDBE,BD=BD= BC=CD,BBC=90,FB A =ACD=90,RtACDRtABD,AC=AB,又易证DBB =CBA,DBBAB C, = = ,又 = ,故可证BBCDCA,CDA=BBC,ADBB,延长DE 交BB于M,可得 = = (*),易知DM
24、垂直平分BB,BM= BB,在直角三角形BBC中, 由BB2+BC2=BC2=12, = ,可求得BB= ,BM= .在直角三角形DCA中,DA=,= ,将BM= ,AD= 代入(*)可得AE=2.8. 综上,AE=3或2.8.,疑难突破 本题的难点是FBA为直角时如何求AE,突破方法是作出辅助线BC、AD、BB, 并根据翻折证明BBCDCA,然后利用相似比求出AE.,9.(2017河南,15,3分)如图,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC= +1,点M,N分别是边BC,AB上 的动点,沿MN所在的直线折叠B,使点B的对应点B 落在边AC上.若MBC为直角三角 形,则BM的长为 .,答
25、案 或1,解析 在RtABC中,A=90,AB=AC,B=C=45. (1)当MBC=90时,BMC=C=45. 设BM=x,则BM=BC=x, 在RtMBC中,由勾股定理得MC= x, x+x= +1,解得x=1, BM=1. (2)如图,当BMC=90时,点B与点A重合,此时BM=BM= BC= . 综上所述,BM的长为1或 .,10.(2018安徽,23,14分)如图1,RtABC中,ACB=90.点D为边AC上一点,DEAB于点E.点M 为BD的中点,CM的延长线交AB于点F. (1)求证:CM=EM; (2)若BAC=50,求EMF的大小; (3)如图2,若DAECEM,点N为CM的
26、中点.求证:ANEM.,图1 图2,解析 (1)证明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M为斜边BD的中点, CM= BD. 又DEAB,同理,EM= BD, CM=EM. (4分) (2)由已知得,CBA=90-50=40. 又由(1)知CM=BM=EM, CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80, EMF=180-CME=100. (9分) (3)证明:DAECEM, CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM. 又CM=DM=EM,DM=DE=EM,DEM是等边三角形, MEF=DEF-DEM=30. 证法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30,
27、 = ,又NM= CM= EM= AE, FN=FM+NM= EF+ AE= (AE+EF)= AF. = = . 又AFN=EFM,AFNEFM,NAF=MEF, ANEM. (14分) 证法二:连接AM,则EAM=EMA= MEF=15,AMC=EMC-EMA=75, 又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD, ACM= (180-30)=75. 由可知AC=AM,又N为CM的中点, ANCM,又EMCF,ANEM. (14分),思路分析 (1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;(2)由直角三角形中两锐角 互余求出CBA,由等腰三角形的性质可得MEB=MBE,MCB=MBC
28、,从而可得CME= DME+CMD=2(CBM+EBM),最后由补角性质求出EMF;(3)由DAECEM可推 出DEM为等边三角形,从而可得MEF=30,下面证ANEM有两个思路:一是根据直角三角 形30角所对直角边等于斜边的一半可得 = ,又点N是CM的中点,可推出 = ,从而可证 AFNEFM,进一步即可证明ANEM;二是连接AM,计算可得AMC=ACM,而N是CM 的中点,从而ANCM,进一步即可证明ANEM.,11.(2016内蒙古呼和浩特,21,7分)已知,如图,ACB和ECD都是等腰直角三角形,ACB= ECD=90,D为AB边上一点. (1)求证:ACEBCD; (2)求证:2C
29、D2=AD2+DB2.,证明 (1)ACB和ECD都是等腰直角三角形, CD=CE,AC=BC,ECD=ACB=90, ECD-ACD=ACB-ACD, 即ECA=DCB. (1分) 在ACE与BCD中, (3分) ACEBCD. (4分) (2)ACEBCD, AE=BD. (5分) EAC=BAC=45, EAD=90. 在RtEAD中,ED2=AD2+AE2, ED2=AD2+BD2. (6分) 又ED2=EC2+CD2=2CD2,2CD2=AD2+DB2. (7分),C组 教师专用题组,考点一 等腰三角形,1.(2016湖北武汉,10,3分)平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,
30、0),若在坐标轴上取点C,使ABC 为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8,答案 A 如图,当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除 外),即O(0,0),C0(0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;当AB=BC时,以点B为圆心,AB长 为半径作圆,与坐标轴有两个交点,均符合题意;当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有 两个交点,均符合题意.所以满足条件的点C有5个,故选A.,2.(2016河北,16,2分)如图,AOB=120,OP平分AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且 PMN为等
31、边三角形,则满足上述条件的PMN有 ( )A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上,答案 D 如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,则PCD为等边三 角形.在OC,DB上分别取M,N,使CM=DN,则PCMPDN,所以CPM=DPN,PM=PN, MPN=60,则PMN为等边三角形,因为满足CM=DN的M,N有无数个,所以满足题意的三角形 有无数个.,3.(2015福建龙岩,8,4分)如图,在边长为 的等边三角形ABC中,过点C垂直于BC的直线交 ABC的平分线于点P,则点P到边AB所在直线的距离为 ( )A. B. C. D.1,答案 D 由题意可得,PBC=
32、30,在RtPBC中,PC=BCtan 30=1,因为BP是ABC的平分 线,所以点P到直线AB的距离等于点P到直线BC的距离,即为1,故选D.,4.(2015吉林长春,6,3分)如图,在ABC中,AB=AC,过点A作ADBC.若1=70,则BAC的大小 为 ( )A.30 B.40 C.50 D.70,答案 B AB=AC,B=C.ADBC,1=C=70.B=70.BAC=40.故选B.,5.(2014江苏苏州,10,3分)如图,AOB为等腰三角形,顶点A的坐标为(2, ),底边OB在x轴上.将 AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得AOB,点A的对应点A在x轴上,则点O的坐标 为 ( )
33、A. B. C. D.,答案 C 过A作OB边的垂线AC,垂足为C,过O作BA边的垂线OD,垂足为D,因为顶点 A 的坐 标为(2, ),所以C点坐标为(2,0),所以OC=2,AC= ,在RtOAC中,根据勾股定理得OA=3,所 以AB=3.因为AOB为等腰三角形,所以C为OB的中点,所以B点坐标为(4,0),故BO=BO=4.在Rt OBD和RtOAD中,OB2-BD2=OA2-AD2.设BD=x,则有42-x2=32-(3-x)2,解得x= ,所以BD= ,所 以OD= ,又OD=4+ = ,故O点的坐标为 ,故选C.,6.(2015浙江绍兴,13,5分)由于木质的衣架没有柔性,在挂置衣
34、服的时候不太方便操作.小敏设 计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm. 若衣架收拢时,AOB=60,如图2,则此时A,B两点间的距离是 cm.,答案 18,解析 连接AB.因为OA=OB=18 cm,收拢后的AOB=60,所以AOB是正三角形,故AB=18 cm.,7.(2016湖南长沙,17,3分)如图,ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC 于点E,则BCE的周长为 .,答案 13,解析 DE垂直平分AB,AE=BE, BCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13.,评析
35、 本题考查了线段垂直平分线的性质定理,即线段的垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等.,8.(2014江苏苏州,15,3分)如图,在ABC中,AB=AC=5,BC=8.若BPC= BAC,则tanBPC=.,答案,解析 过A作等腰ABC底边BC上的高AD,垂足为D,则AD 平分BAC,且D为BC的中点,所以 BD=4,根据勾股定理可求出AD=3,又因为BPC= BAC,所以BPC=BAD,所以tanBPC =tanBAD= = .,9.(2014河南,11,3分)如图,在ABC中,按以下步骤作图:分别以点B、C为圆心,以大于 BC的 长为半径作弧,两弧相交于M、N两点;作直线MN交AB
36、于点D,连接CD.若CD=AC,B=25,则 ACB的度数为 .,答案 105,解析 由题意知MN垂直平分BC, CD=BD, 又CD=AC,AC=CD=BD, DCB=B=25, A=CDA=50, ACB=180-A-B=105.,10(2016北京,16,3分)下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知:直线l和l外一点P.求作:直线l的垂线,使它经过点P. 作法:如图, (1)在直线l上任取两点A,B;,(2)分别以点A,B为圆心,AP,BP长为半径作弧,两弧相交于点Q; (3)作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的垂线.请回答:该作图的依据是 .,答案 三边分别
37、相等的两个三角形全等;全等三角形的对应角相等;等腰三角形的顶角平分线 与底边上的高重合;两点确定一条直线,解析 连接PA、QA、PB、QB.由题意可知PA=QA,PB=QB,又AB=AB, PABQAB(三边分别相等的两个三角形全等), PAB=QAB(全等三角形的对应角相等). 由两点确定一条直线作直线PQ. PA=QA, ABPQ(等腰三角形的顶角平分线与底边上的高重合).,11.(2016贺州,16,3分)如图,在ABC中,分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形 BCE,连接AE、BD交于点O,则AOB的度数为 .,答案 120,解析 设AC与BD交于点H. ACD,BCE都
38、是等边三角形, CD=CA,CB=CE,ACD=BCE=60. ACD+ACB=BCE+ACB, 即DCB=ACE. 在DCB和ACE中,DCBACE(SAS), CDB=CAE. 又DCH+CHD+CDB=180,AOH+OHA+CAE=180,CHD=OHA, AOH=DCH=60. AOB=180-AOH=120.,思路分析 先证明DCBACE,再利用全等三角形的性质得到CDB=CAE,再利用对 顶角相等及三角形内角和定理得AOD=ACD=60,即可求出AOB.,主要考点 全等三角形的判定及性质及等边三角形的性质.,12.(2016吉林,12,3分)如图,已知线段AB,分别以点A和点B为
39、圆心,大于 AB的长为半径作弧,两 弧相交于C,D两点,作直线CD交AB于点E.在直线CD上任取一点F,连接FA,FB.若FA=5,则FB= .,答案 5,解析 由题意可知EF垂直平分AB,所以FB=FA=5.,13.(2016柳州,23,8分)求证:等腰三角形的两个底角相等. (请根据下图用符号表示已知和求证,并写出证明过程). 已知: 求证: 证明:,解析 已知:在ABC中,AB=AC. 求证:B=C. 证法一:过点A作ADBC,垂足为D.则ADB=ADC=90. 在ABD和ACD中,ABDACD(HL). B=C. 证法二:过点A作BAC的平分线AD交BC于点D.,则BAD=CAD. 在
40、ABD和ACD中,ABDACD(SAS). B=C. 证法三:过点A作BC边上的中线AD交BC于点D.则BD=CD.,在ABD和ACD中,ABDACD(SSS). B=C.,14.(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90 ,连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. (1)如图1,求证:AE=BD; (2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.图1,图2,解析 (1)证明:ACB和DCE都是等腰直角三角形, ACB=DCE=90, AC=BC,DC=EC, ACB+A
41、CD=DCE+ACD,即BCD=ACE, ACEBCD, AE=BD. (2)ACBDCE,AONDOM, AOBDOE,NCBMCE.,15.(2016宁夏,21,6分)在等边ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,若CD=2,过点D作DEAB,过 点E作EFDE,交BC的延长线于点F.求EF的长.,解析 ABC为等边三角形,A=B=ACB=60, DEAB,EDF=B=60,DEC=A=60, CDE为等边三角形,DE=CD=2. (4分) EFDE,DEF=90, 在RtDEF中,EF=DEtan 60=2 . (6分),16.(2015北京,20,5分)如图,在ABC中,AB=AC,A
42、D是BC边上的中线,BEAC于点E. 求证:CBE=BAD.,证明 AB=AC,AD是BC边上的中线, ADBC,BAD=CAD. BEAC,BEC=ADC=90. CBE=90-C,CAD=90-C. CBE=CAD. CBE=BAD.,17.(2014浙江杭州,18,8分)在ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB,AC上,AE=AF,BF与CE相交于点 P.求证:PB=PC,并直接写出图中其他相等的线段.,解析 在AFB和AEC中, AF=AE,A为公共角,AB=AC, 所以AFBAEC,所以ABF=ACE. 因为AB=AC,所以ABC=ACB, 所以PBC=PCB, 所以PB=PC.
43、其余相等的线段有:BF=CE;PE=PF;BE=CF.,18.(2014浙江温州,20,10分)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DEAB,过 点E作EFDE,交BC的延长线于点F. (1)求F的度数; (2)若CD=2,求DF的长.,解析 (1)ABC是等边三角形,B=60. DEAB,EDC=B=60. EFDE,DEF=90.F=90-EDC=30. (2)ACB=60,EDC=60,EDC是等边三角形. ED=DC=2. DEF=90,F=30,DF=2DE=4.,19.(2015重庆,25,12分)如图1,在ABC中,ACB=90,BAC=60.点E是BAC
44、角平分线上一 点.过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点.DHAC, 垂足为H,连接EF,HF. (1)如图1,若点H是AC的中点,AC=2 ,求AB,BD的长; (2)如图1,求证:HF=EF; (3)如图2,连接CF,CE.猜想:CEF是不是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由.图1,图2,解析 (1)点H是AC的中点,AC=2 , AH= AC= . (1分) ACB=90,BAC=60, ABC=30,AB=2AC=4 . (2分) DAAB,DHAC, DAB=DHA=90. DAH=30,AD=2. (3分) 在RtADB中,DAB=90,BD2=AD2+AB2. BD= =2 . (4分) (2)证明:连接AF,如图.,F是BD的中点,DAB=90, AF=DF,FDA=FAD. (5分) DEAE,DEA=90. DHA=90,DAH=30,DH= AD. AE平分BAC, CAE= BAC=30. DAE=60,ADE=30.,AE= AD,AE=DH. (6分) FDA=FAD,HDA=EAD=60, FDA-HDA=FAD-EAD, FDH=FAE. (7分) FDHFAE(SAS).FH=FE. (8分) (3)CEF是等边三角形. (9分) 理由如下:取AB的中点G,连接FG,CG.如图.,
