1、1山东省 2018 年普通高校招生(春季)考试数学试题卷一一、选择题(本大题 20 个小题，每小题 3 分，共 60 分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上)1. 已知集合 ， ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据交集的定义求解.详解：因为 ， ，所以选 B.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合
2、形式有数轴、坐标系和 Venn 图2. 函数 的定义域是（ ）f(x)= x+1+xx1A. B. (1,+) (1,1)(1,+)C. D. 1,+) 1,1)(1,+)【答案】D【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负以及分母不为零列方程组，解方程组得定义域.详解：因为 ，所以x+10x10 x1x1所以定义域为 ，-1,1)(1,+)选 D.点睛：求具体函数定义域，主要从以下方面列条件：偶次根式下被开方数非负，分母不为2零，对数真数大于零，实际意义等.3. 奇函数 的局部图像如图所示，则（ ）y=f(x)A. B. f(2)0f(4) f(2)f(4)0 f(2)0 ，所以 ,即 ，f(
3、-4) f(-2) -f(4)0-f(2) f(2)0f(4)选 A.点睛：奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反4. 不等式 的解集是（ ）1+1g|x|b 2a2bA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：根据指数函数单调性可得两者关系.详解：因为为单调递增函数，所以 ab2a2b因此“ ”是“ ”的充要条件，ab 2a2b选 C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若 则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”p q q p p q为真，则 是
4、的充分条件p q2等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于条p q q p q p p q p q q p件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条AB A B B A A B A B件9. 关于直线 ，下列说法正确的是（ ）l:x3y+2=0A. 直线的倾斜角为 B. 向量 是直线的一个方向向量60 v=( 3,1)C. 直线经过点 D. 向量 是直线的一个法向量(1,3) n=(1, 3)【答案】B【解析】分析：先根据方程得斜率，再根据斜率得倾斜角以及方法向量.详解：因为直线 ，所以斜率 倾
5、斜角为 ，一个方向向量为 ，l:x- 3y+2=0 k=33 =6 (1, 33）因此 也是直线的一个方向向量，( 3,1)选 B.点睛：直线 斜率 ,倾斜角为 ，一个方向向量为 .Ax+By+C=0 k=AB tan=AB (B,A）510. 景区中有一座山，山的南面有 2 条道路，山的北面有 3 条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走法的种数是（ ）A. 6 B. 10 C. 12 D. 20【答案】C【解析】分析：根据乘法原理得不同走法的种数.详解：先确定从那一面上，有两种选择，再选择上山与下山道路，可得不同走法的种数
6、是223=12.因此选 C.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法” ；(2)元素相间的排列问题“插空法” ；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法” ；(4)带有“含”与“不含” “至多” “至少”的排列组合问题间接法.11. 在平面直角坐标系中，关于 的不等式 表示的区域(阴影部x,y Ax+By+AB0(AB0)分)可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据 A,B 符号讨论不等式 表示的区域，再对照选择.Ax+By+AB0(AB0)详解：当 时，所以不等式 表示的区域直线A0,B0 Ax+By+AB0(AB0)上方部分且含坐标原点
7、，即 B；当 时，所以不等式Ax+By+AB=0 A0,B0(AB0) Ax+By+AB=0下时，所以不等式 表示的区域直线 上A0 Ax+By+AB0(AB0) Ax+By+AB=0方部分且不含坐标原点；当 时，所以不等式 表示的区A0(AB0)6域直线 方部分且含坐标原点；选 B.Ax+By+AB=0下点睛：讨论不等式 表示的区域，一般对 B 的正负进行讨论.Ax+By+C0(AB0)12. 已知两个非零向量与 的夹角为锐角，则（ ）bA. B. C. D. ab0 ab b ab0选 A.点睛：求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ；二是坐标公式ab=|a|b|cos；三是利用数量积
8、的几何意义.ab=x1x2+y1y213. 若坐标原点 到直线 的距离等于 ，则角的取值集合是（ ）(0,0) xy+sin2=022A. B. |=k4,kZ |=k2,kZC. D. |=2k4,kZ |=2k2,kZ【答案】A【解析】分析：先根据点到直线距离公式得角关系式，再解三角方程得结果.详解：因为坐标原点 到直线 的距离为 ，所以 所以(0,0) x-y+sin2=0|sin2|2 =22 sin2=1，即 ，选 A.2=2+2k(kZ),或 2=-2+2k(kZ) =4+k(kZ),或 =-4+k(kZ)点睛：由 求最值，最大值对应自变量满足 ，最x+=2+k(kZ) x+=2+
9、2k(kZ)小值对应自变量满足 .x+=32+2k(kZ)14. 关于 的方程 ，表示的图形不可能是（ ）x,y x2+ay2=a2(a0)A. B. 7C. D. 【答案】D【解析】分析：先化方程为标准方程形式，再根据标准方程几何条件确定可能图像.详解：因为 ，所以x2+ay2=a2(a0)x2a2+y2a=1所以当 时，表示 A; 当 时，表示 B; 当 时，表示 C;a2a0 a20a选 D.点睛：对于 ，有当 时，为圆；当 时，为椭圆；当mx2+ny2=1 m=n0 m0,n0,mn时，为双曲线 .mn0) |PF|=x0+p2 ABAB 的端点坐标为 ，则弦长为 可由根与系数的关系整
10、A(x1,y1),B(x2,y2) |AB|=x1+x2+p,x1+x2体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到18. 某停车场只有并排的 8 个停车位，恰好全部空闲，现有 3 辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有 2 辆汽车停放在相邻车位的概率是（ ）A. B. C. D. 514 1528 914 67【答案】C【解析】分析：先求三辆车皆不相邻的概率，再根据对立事件概率关系求结果.详解：因为三辆车皆不相邻的情况有 ，所以三辆车皆不相邻的概率为 ,C36 C36C38=514因此至少有 2 辆汽车停放在相邻车位的概率是 1514=914,9选
11、 C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19. 己知矩形 ， ，把这个矩形分别以 所在直线为轴旋转一周，所成ABCD AB=2BC AB、BC几何体的侧面积分别记为 ，则 与 的比值等于（ ）S1、S2 S1 S2A. B. C. D. 12 1 2 4【答案】B【解析】分析：根据圆柱侧面积公式分别求 ，再求比值得结
12、果 .S1、S2详解：设 ，所以 ，BC=a,AB=2a S1=2(2a)a,S2=2(a)2a,S1:S2=1选 B.点睛：旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用，多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理20. 若由函数 的图像变换得到 的图像，则可以通过以下两个步骤y=sin(2x+2) y=sin(x2+3)完成:第一步，把 图像上所有点的横坐标变为原来的 4 倍，纵坐标不变:第二y=sin(2x+2)步，可以把所得图像沿 轴（ ）xA. 向右移 个单位 B. 向右平移 个单位3 512C. 向左平移 个单位 D. 同左平移 个单位3 512【答案】A【解析】
13、分析：根据图像平移“左正右负”以及平移量为 确定结果.|1-2|10详解：因为 ，所以所得图像沿 轴向右平移 个单位 ,3212=3 x 3选 A.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言.x卷二二、填空题(本大题 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。请将答案填在答题卡相应题号的横线上)21. 已知函数 ，则 的值等于_f(x)=x2+1,x05,x0 ff(0)【答案】 5【解析】分析：根据自变量对应解析式代入求值,再根据求得函数值对应解析式代入求结果.详解：因为 ，所以
14、 .f(0)=-5 ff(0)=f(-5)=-5点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 的形式时，应从内到外依次求值.f(f(a)22. 已知 ，若 ，则 等于_(2,0) cos=32 sin【答案】 12【解析】分析：根据平方关系得 ，再根据范围取负值.sin2详解：因为 ，所以sin2+cos2=1 sin2=1-34=14因为 ，所以(-2,0) sin=-12点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的
15、差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.11(3)给值求角：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.23. 如图所示，已知正方体 ， 分别是 上不重合的两个动点，ABCDA1B1C1D1 E,F D1B,A1C给山下列四个结论： ； 平面 平面 ；CED1F AFD B1EC1 ； 平面 平面 .AB1EF AED ABB1A1其中，正确结论的序号是_【答案】【解析】分析：取 E,F 特殊位置可否定，根据线面垂直关系可得正确.详解：当 E=D1，F=A 1时 平面 平面 ，所以错；C
16、ED1F与 AFD B1EC1不 成 立因为 ， 在 内，所以 ；AB1平 面 BCD1A1 EF 平 面 BCD1A1 AB1EF因为 平面 ，所以平面 平面 .因此正确.AD ABB1A1 AED ABB1A1点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.24. 已知椭圆 的中心在坐标原点，一个焦点的坐标是 ，若点 在椭圆 上，则椭圆C (0,3) (4,0) C的离心率等于_C【答案】35【解析】分析：根据椭圆几何条件得 b=4,c=3,解得 a,
17、以及离心率.详解：因为 b=4,c=3，所以 a=5,e= .35点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程a,b,c或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要a,b,c b a,c a,b,c12充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.25. 在一批棉花中随机抽测了 500 根棉花纤维的长度(精确到 )作为样本，并绘制了如1mm图所示的频率分布直方图，由图可知，样本中棉花红维的长度大于 的频数是225mm_【答案】 235【解析】分析：根据频率分布直方图得长度大于 的频率，再根据频数等于总数与频率的乘积225mm得
18、结果.详解：因为长度大于 的频率为 ，所以长度大于 的225mm (0.0044+0.0050)50=0.47 225mm频数是 .0.47500=235点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为 1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.三、解答题(本大题 5 个小题，共 40 分) 26. 已知函数 ，其中 为常数.f(x)=x2+(m1)x+4 m(1)若函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围:f(x) (,0) m(2)若 ，都有 ，求实数 的取值范围.xR
19、 f(x)0 m【答案】 （1） （2）m|m1 m|30所以 =(m-1)2-260)在区间 A 上单调递减(单调递增)，则 A （A ）即区(,b2a b2a,+)间 A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)27. 己知在等比数列 中， .an a2=14,aS=132(1)求数列 的通项公式；an(2)若数列 满足 ，求 的前 项和 .bn bn=an+n bn n Sn【答案】 （1） （2）2-n Sn=1-(12)n+n2+n22【解析】分析：(1)根据条件列关于首项与公比的方程组，解得首项与公比后代入等比数列通项公式即可，(2)利用分组求和法，根据等差数列以及等比数列求和公式即得结果.
20、详解：(1)由等比数列的定义可知，公比 q5-2=a5a2=18解得 q=12由 得a2=a1q a1=12因此，所求等比数列的通项公式为 an=a1qn-1=12(12)n-1 =(12)n=2-n(2)由上题可知， an=2-n因为 是等差数列，所以设n Cn=n14的前 项和公式an nSan=121-(12)n1-12 =1-(12)n的前 项和公式cn n Scn=(1+n)n2 =n+n22所以 Sn=1-(12)n+n2+n22点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ） ，符号型（如 ） ，an=n,
21、n为 奇 数2n,n为 偶 数 an=(-1)nn2周期型 （如 ）an=sinn328. 如图所示的几何体中，四边形 是矩形， 平面 ， 平面 ，ABCD MA ABCD NB ABCD且 ， .AB=NB=1 AD=MA=2(1)求证: 面 ；NC| MAD(2)求棱锥 的体积.MNAD【答案】 （1）见解析（2） . 23【解析】分析：(1) 取 中点 ，根据平几知识得四边形 为矩形，即得 ，再根据线MA H NCDH NCHD面平行判定定理得结论， (2)先证 AD 垂直平面 ABNM，再根据等体积法以及锥体体积公式得结果.详解：15(1) 平面 ，取 中点 ，NC MAD MA H连
22、接 NH,DH平面 ， ，MA ABCD AM=2四边形 为矩形ANCD平面 ，NB BCD NB=1，NBHACD NB=HA=CD四边形 为平行四边形 NCDHNCHD,NCMAD平面HD MAD平面NC MAD(2)以平面 为底， 为高NAM AD，SNAM=1221=1 AD=2V=1312=23点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解29. 如下图所示，在 中， ， 在 上，且 .求ABC BC=7,2AB
23、=3AC P BC BAP=PAC=30线段 的长.AP【答案】 AP=6215【解析】分析：先根据余弦定理得 AC，AB,再根据余弦定理求角 B,由角平分线性质定理得 PB，最后根据余弦定理求 AP.16详解：由余弦定理可知cosBAC=cos60=9t2+4-4923t2t=12，t= 7,AB=37 AC=27由余弦定理可知cosB=63+49-282737 =277sinB=217sin-(B+BAP) =sin(B+30)=sinAPBsinAPB=sinB cos30+cosBsin30=217 32+27712=5714由正弦定理可知APsinB= ABsinAPB所以AP217
24、=375714因此 AP=6215点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.30. 双曲线 的左、右焦点分别是 ，抛物线 的焦点与x2a2y2b2=1(a0,b0) F1,F2 y2=2px(p0)点 重合，点 是抛物线与双曲线的一个交点，如图所示.F2 M(2,26)17(1)求双曲线及抛物线的标准方程；(2)设直线与双曲线的过一、三象限的渐近线平行，且交抛物线于 两点，交双曲线于点A,B，若点 是线段 的中点，求直线的方程 .C C AB【答案】 （1） ， （2）y2=12x x2y28=1 y=22x
25、2【解析】分析：(1)先根据 M 坐标求 p,得焦点坐标，再将 M 坐标代入双曲线方程，联立方程组解得a,b，(2)先求渐近线方程，设直线方程，分别与抛物线方程、双曲线方程联立方程组，利用韦达定理以及中点坐标公式列方程，解得直线的方程.详解：(1) 代入 得y2=2px M(2,26)26=2p2解得 p=6因为焦点为 (3,0)所以 ，双曲线的焦点在 轴上c=3 x将 代入x2a2- y29-a2=1 M(2,26)所以 或 (舍去)a2=1 a2=3618所以 c2=9,b2=8所以她物线的标准方程为 y2=12x曲线的标准方程为 x2-y28=1(2)渐近线 y=baxy=22x设直线， y=22x+my=22x+my2=12x 别消去 得将 代入 得，解得 或 ，经验证， 不合题意，故舍去.所以点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.
