1、12018 年宁夏银川一中高考（理科）数学四模试卷选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1.1.已知 m， ，集合 ，集合 ，若 ，则 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】A【解析】【分析】根据交集的定义和元素和集合的关系求结果.【详解】 ， ，集合 ，集合 ， ，且 ， ， ，故选： A【点睛】本题考查了集合的运算，考查对数的运算，是一道基础题2.2.若 ， ，则 A. 6 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用复数的模等于模的乘积求解【详解】 ， ，z1=1+2i z2=1-i|z1z2|=|1+2i|1-i|= 5 2= 10故选： B【点睛】本题考查复数代
2、数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题3.3.已知命题 p： ， ，则 为 xR sinx1 pA. ， B. ， C. ， D. ，xR sinx1 xR sinx1 xR sinx1 xRsinx12【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为 ，使得xR sinx1【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得，命题 p： ， ，的否定是 ，使得xR sinx1 xR sinx1故选： C【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题的之间的关系的应用，属于基础试题4.4.设 ， ， ，则 a， b， c 的大小关系是 a=0.50.4b=log0.40.3c=lo
3、g80.4A. B. C. D. alog0.40.4=1，c=log80.40) 2，所得图象关于原点对称，则实数 a 的最小值为 (a0)A. B. C. D. 4 34 2 8【答案】D【解析】【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得 的值，可得函数的解析式，利用函数 的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，y=Acos(x+)求得 a 的最小值【详解】 f(x)=sin2(x)-12=1-cos2x2 -12，=-12cos2x，解得： ，22=2 =2，f(x)=-12cos4x将函数 图象沿 x 轴向右平移 a 个单位 ，得到的新函数为 ， f
4、(x) (a0) g(x)=-12cos(4x-4a)，cos4a=0， ，4a=k+2 kZ当 时， a 的最小值为 k=08故选： D【点睛】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数 的图象变y=Acos(x+)换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题12.12.定义在 R 上的奇函数 满足 ，且当 时，不等式 恒成立，y=f(x) f(3)=0 x0 f(x)-xf(x)8则函数 的零点的个数为 g(x)=xf(x)+lg|x+1|A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】由不等式 在 上恒成立，得到函数 在 时是增函数，f(x)-xf(x) (0,+
5、) h(x)=xf(x) x0再由函数 是定义在 R 上的奇函数得到 为偶函数，y=f(x) h(x)=xf(x)结合 ，作出两个函数 与 的大致图象，即可得出f(0)=f(3)=f(-3)=0 y1=xf(x) y2=-lg|x+1|答案【详解】解：定义在 R 的奇函数 满足：f(x)，f(0)=0=f(3)=f(-3)且 ，f(-x)=-f(x)又 时， ，即 ，x0 f(x)-xf(x) f(x)+xf(x)00/，函数 在 时是增函数，h(x)=xf(x) x0又 ， 是偶函数；h(-x)=-xf(-x)=xf(x) h(x)=xf(x)时， 是减函数，结合函数的定义域为 R，且 ，x
6、=22影【详解】 ， ，且 ，|a|=1 |b|= 2 a(a-b)a(a-b)=a2-ab，=1-1 2cos=0， ，cos=22向量在向量方向上的投影为： |a|cos=22故答案为： 22【点睛】本题考查向量的投影的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14.14.已知 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c 且 ，ABC a=1， ，则 _B=45 SABC=2 b=【答案】5【解析】【分析】由 a， 和面积的值，利用三角形的面积公式求出 c 的值，然后由 a， c 及 的值，利sinB cosB用余弦定理即可求出 b 的值
7、【详解】由三角形的面积公式得： ，由 ， ，S=12acsinB=2 a=1 sinB=22所以 ，又 ， ，c=42 a=1 cosB=22根据余弦定理得： ，解得 b2=1+32-8=25 b=5故答案为：5【点睛】此题考查学生灵活运用三角形的面积公式及特殊角的三角函数值化简求值，灵活运用余弦定理化简求值，是一道中档题1015.15.已知实数 x， y 满足 ，则 的最小值为_x-y1x+y1x0 2x+y+2x【答案】4【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义，即可行域内的动点与定点 连线P(0,-2)的斜率加 2 求得答案【详解】解：由实数 x， y 满足 ，作出可
8、行域如图，x-y1x+y1x0 联立 ，解得 ，x-y=1x+y=1 A(1,0) 2x+y+2x，=2+y+2x其几何意义为可行域内的动点与定点 连线的斜率加 2P(0,-2)，kPA=0+21 =2的最小值为 42x+y+2x故答案为：4【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题16.16.已知双曲线 的左、右焦点分别为点 ， ，抛x2a2-y2b2=1(a0,b0) F1(-c,0) F2(c,0)(c0)物线 与双曲线在第一象限内相交于点 P，若 ，则双曲线的离心率为y2=4cx |PF2|=|F1F2|_11【答案】 1+ 2【解析】【分
9、析】画出图形，利用双曲线的右焦点与抛物线的焦点坐标相同，结合抛物线定义，求出 P 的坐标，然后求解双曲线的离心率即可【详解】 解：抛物线 与双曲线的右焦点y2=4cx相同， ，由抛物线定义可知， ， P 在双曲线上，所以： ，F2(c,0) |PF2|=|F1F2| P(c,2c)c2a2-4c2b2=1，e2- e2e2-1=1，e4-6e2+1=0，e1e=1+ 2故答案为： 1+ 2【点睛】本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定关于几何量的等式三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分）17.17.已知各项均为正数的数列 的前 n 项和为 ，且 an Sn
10、 a2n+2an=4Sn求 ；Sn设 ，求数列 的前 n 项和 bn=( n+1+ n) Sn 1bn Tn【答案】 （1） （2）n2+n 1-1n+1【解析】【分析】12利用递推关系式推出数列是等差数列，求出首项与公差，然后求解求 ；Sn化简数列的通项公式，利用分母有理化，裂项相消法求解即可【详解】解：由题意得 ，两式作差得 ，a2n+2an=4Sna 2n+1+2an+1=4Sn+1 (an+1+an)(an+1-an-2)=0又数列 各项均为正数，所以 ，即an an+1-an-2=0 an+1-an=2当 时，有 ，得 ，则 ，n=1 a21+2a1=4S1=4a1 a1(a1-2)
11、=0 a1=2故数列 为首项为 2 公差为 2 的等差数列，所以an Sn=na1+n(n-1)2 d=n2+n )1bn= 1(n+1+n) 1Sn=n+1- nn(n+1)=1n- 1n+1所以 Tn=ni=11bi=ni=1(1i- 1i+1)=1- 1n+1【点睛】本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力18.18.第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日到 23 日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者将这 30 名志愿者的身高编成如图的茎叶图单位： ：若身高在 175cm 以上
12、包括 定义为“高个子” ，身高cm) 175cm)在 175cm 以下不包括 定义为“非高个子” ，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”175cm)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取 5 人，再从这 5 人中选 2(1)人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用表示所选志愿者中能担任 “礼仪小姐”的人数，(2)试写出的分布列，并求的数学期望【答案】 （1） （2）见解析710【解析】【分析】13由题意及茎叶图，有“高个子”12 人， “非高个子”18 人，利用用分层抽样的方法，每(1)个人被抽中的概率是 ，利用对立事件即可；530=
13、16由于从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用表示所选志愿者中能担任 “礼仪小姐”的人(2)数，利用离散型随机变量的定义及题意可知的取值为 0，1，2，3 在利用古典概型的概率公式求出每一个值对应事件的概率，有期望的公式求出即可【详解】解： 根据茎叶图，有“高个子”12 人， “非高个子 ”18 人，(1)用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 ，530=16所以选中的“高个子”有 人， “非高个子”有 人1216=2 1816=3用事件 A 表示“至少有一名“高个子”被选中” ，则它的对立事件 表示“没有一名“高个A子”被选中” ，则 P(A)=1-C23C25=1-310=710因此，至少
14、有一人是“高个子”的概率是 710依题意，的取值为 0，1，2， (2) 3.， ， ， P(=0)=C38C312=1455P(=1)=C14C28C312=2855P(=2)=C24C18C312=1255P(=3)=C34C312=155因此，的分布列如下： 0 1 2 3p 1455 2855 1255 155E=01455+12855+21255+3155=1【点睛】本题主要考查茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的数据处理能力和应用意识19.19.如图，四棱锥 ， ， ， ， ， M， OP-
15、ABCD AD/BC AD=2BC=4 AB=23 BAD=90分别为 CD 和 AC 的中点， 平面 ABCDPO求证：平面 平面 PAC；(I) PBM14是否存在线段 PM 上一点 N，使得 平面 PAB，若存在，求 的值，如果不存在，说明ON/PNPM理由【答案】 （1）见解析（2）当 N 为 PM 靠近 P 点的三等分点时， 平面 PABON/【解析】【分析】连结 MO 并延长交 AB 于 E，设 AC， BM 的交点为 则 ，故 ，于是(I) F. OM/-BC BCF MOF， ，根据勾股定理求出 AC， BM 的值得出 BF， CF，由勾股定理得逆定理CF=14AC BF=12
16、BM得出 ，又由 平面 ABCD 得 ，故 BF 平面 PAC，于是平面 平面BFCF PO POBF PBMPAC；连结 PE，则当 平面 PAB 时， ，故当 时，结论成立(II) ON/ ON/PEMNMP=MOME=23【详解】 解： 连结 MO 并延长交 AB 于 E，设 AC， BM(I)的交点为 F， O 是 CD， AC 的中点， ， ，M MO/AD/BC MO=12AD=2是 AB 的中点， E BE=12AB= 3ME=12(AD+BC)=3BM= BE2+ME2=23， ，MO/BC MO=BC ，BCF MOF15， BF=12BM= 3 CF=12OC=14AC，
17、AC= AB2+BC2=4 CF=1， ，即 BF2+CF2=BC2 BFCF BMAC平面 ABCD， 平面 ABCD，PO BM，又 平面 PAC， 平面 PAC， ，POBM PO AC POAC=O平面 PAC，又 平面 PBM，BM BM平面 PBMPAC当 N 为 PM 靠近 P 点的三等分点时， 平面 PAB(II) ON/证明：连结 PE，由 可知 ， ，(I) MO=2 EM=3，MOME=MNPM=23，又 平面 PAB， 平面 PAB，ON/PE ON PE平面 PABON/【点睛】本题考查了面面垂直的判定，线面平行的判定，属于中档题20.20.设 ， 分别是椭圆 C：
18、的左、右焦点，过 且斜率不为零的动直线 l 与F1 F2x22+y2=1 F1椭圆 C 交于 A， B 两点求 的周长；AF1F2若存在直线 l，使得直线 ， AB， 与直线 分别交于 P， Q， R 三个不同的点，F2A F2B x=-12且满足 P， Q， R 到 x 轴的距离依次成等比数列，求该直线 l 的方程【答案】 （1） （2） 22+2 y=52(x+1)【解析】【分析】 的周长为 ；)AF1F2 |AF1|+|AF2|+|F1F2|16由题意得 l 不垂直两坐标轴，故设 l 的方程为 ，因为 P， Q， R 到 x 轴的y=k(x+1)(k0)距离依次成等比数列，所以 ，联立
19、与椭圆方程，消去 y，利用韦|yP|yR|=|yQ|2 y=k(x+1)达定理，即可得出结论【详解】解：因为椭圆的长轴长 ，焦距 2a=22 2c=2又由椭圆的定义得 |AF1|+|AF2|=2a所以 的周长为AF1F2 |AF1|+|AF2|+|F1F2|=22+2由题意得 l 不垂直两坐标轴，故设 l 的方程为 y=k(x+1)(k0)于是直线 l 与直线 交点 Q 的纵坐标为x=-12 yQ=k2设 ， ，显然 ， ，A(x1,y1) B(x2,y2) x1 x21所以直线 的方程为F2A y=y1x1-1(x-1)故直线 与直线 交点 P 的纵坐标为F2A x=-12 yP= -3y1
20、2(x1-1)同理，点 R 的纵坐标为 yR=-3y22(x2-1)因为 P， Q， R 到 x 轴的距离依次成等比数列，所以 |yP|yR|=|yQ|2即 |-3y12(x1-1) -3y22(x2-1)|=k24整理得 9|x1x2+(x1+x2)+1|=|x1x2-(x1+x2)+1|.(*)联立 与椭圆方程，消去 y 得y=k(x+1) (1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0所以 ，x1+x2=-4k21+2k2 x1x2=2k2-21+2k2代入 化简得(*) |8k2-1|=9解得 k=52经检验，直线 l 的方程为 y=52(x+1)【点睛】本题考查椭圆的定义，考查直线与椭
21、圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题21.21.设函数 ，其中 e 为自然对数的底数f(x)=ex-ax2-ex+b若曲线 在 y 轴上的截距为 ，且在点 处的切线垂直于直线 ，求实数 a， b(1) f(x) -1 x=1 y=12x17的值；记 的导函数为 ，求 在区间 上的最小值 (2) f(x) g(x) g(x) 0,1 h(a)【答案】 （1）实数 a， b 的值分别为 1， ；（2）-2h(a)=1-e，a122a-2aln2a-e，12e2 【解析】【分析】将 ，代入 ，即可求得 b 的值，求导，由 ，即可求得 a 的值；(0,-1) f(x) f(1)=-2求导， ，
22、分类分别取得 在区间 上的最小值 解析式g(x)=ex-2a g(x) 0,1 h(a)【详解】解：曲线 在 y 轴上的截距为 ，则过点 ，f(x) -1 (0,-1)代入 ，f(x)=ex-ax2-ex+b则 ，则 ，求导 ，1+b=-1 b=-2 f(x)=ex-2ax-e由 ，即 ，则 ，f(1)=-2 e-2a-e=-2 a=1实数 a， b 的值分别为 1， ； -2 ， ， ，)f(x)=ex-ax2-ex+b g(x)=f(x)=ex-2ax-e g(x)=ex-2a当 时， ， ， 恒成立，(1) a12 x0,1 1exe 2aex即 ， 在 上单调递增，g(x)=ex-2a
23、0 g(x) 0,1g(x)g(0)=1-e当 时， ， ， 恒成立，(2) ae2 x0,1 1exe 2aex即 ， 在 上单调递减，g(x)=ex-2ae2 18【点睛】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程考查发现问题解决问题的能力22.22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为： =2cos若曲线 ，参数方程为： 为参数，求曲线 的直角坐标方程和曲线 的(I) C2 x=tcosy=1+tsin ( C1 C2普通方程若曲线 ，参数方程为 为参数， ，且曲线 ，与曲线 交点分别C2
24、x=tcosy=1+tsin (t A(0,1) C1 C2为 P， Q，求 的取值范围，1|AP|+ 1|AQ|【答案】 （1） （2）x2+y2=2x，x2+(y-1)2=t2 (2,22.【解析】【分析】曲线 C 的极坐标方程为： 可得 ，利用极坐标与直角坐标的互化即可(I) =2cos. 2=2cos得出直角坐标方程曲线 ，参数方程为： 为参数，利用 即C2 x=tcosy=1+tsin ( cos2+sin2=1可得出普通方程将 的参数方程： 为参数，代入 的方程得：(II) C2 x=tcosy=1+tsin ( C1， ， ，可得 ，t2+(2sin-2cos)t+1=0 0 |
25、sin(-4)|(22,1 sin(-4)-1,- 22)(22,1由 ， ，可得 与 同号，可得 ，由的几何意义t1+t2=-(2sin-2cos) t1t2=1 t1 t2 |t1|+|t2|=|t1+t2|可得： 即可得出1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1+t2|t1t2|【详解】.解： 曲线 C 的极坐标方程为： (I) =2cos， 2=2cos x2+y2=2x曲线 ，参数方程为： 为参数，C2 x=tcosy=1+tsin (曲线 的普通方程： C2 x2+(y-1)2=t2将 的参数方程： 为参数，(II) C2 x=tcosy=1+tsin (代入 的方程
26、得： ，C1 t2+(2sin-2cos)t+1=0，=(2sin-2cos)2-4=8sin2(-4)-4019|sin(-4)|(22,1,，sin(-4)-1,- 22)(22,1， ，t1+t2=-(2sin-2cos) t1t2=1与 同号，t1 t2，|t1|+|t2|=|t1+t2|由的几何意义可得：1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2|t1|t2| =|t1+t2|t1t2|，=22|sin(-4)|(2,221|PA|+1|PB|(2,22.【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数、参数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23.23.已知函数 f(x)=|2x+b|+|2x-b|若 解不等式 (I) b=1. f(x)4若不等式 对任意的实数 a 恒成立，求 b 的取值范围f(a)|b+1|【答案】 （1） （2） 【解析】【分析】利用分段讨论法去掉绝对值，求不等式 的解集；利用绝对值不等式求出 的最小值，再解对应的不等式【详解】解：函数 ，时，不等式 为 ，它等价于 或 或 ，解得 或 或 ；不等式 的解集为 ，当且仅当 时 取得最小值为 ；20令 ，得 ，解得 或 ，的取值范围是 b (-,-13)(1,+)【点睛】本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，是基础题
