1、1专题 02 命题及其关系、充分条件与必要条件【考点剖析】1.命题方向预测：（1）四种命题的概念及其相互关系、四种命题真假的判断、充分要条件的判定及其应用是高考的热点.(2)题型主要以选择题、填空题的形式出现（3）本节知识常与集合、函数、不等式、数列、立体几何中的直线、平面间的位置关系、复数、平面解析几何等知识结合，复习中在理解命题及其关系、充分条件与必要条件等基础知识的同时，重在掌握其它相关数学知识.2.课本结论总结：（1）命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫做命题.其中，判定为真的命题叫真命题，判定为假的命题叫假命题.（2）四种命题及其关系四种命题及其关系四种
2、命题的真假关系逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假，互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系.(3)充分条件与必要条件若 pq，则 是 充分条件， q是 p的必要条件.若 ，且 p，则 是 充要条件3.名师二级结论：(1) 常见结论的否定形式2(2)充要条件判定方法定义法：若 pq，则 是 充分条件；若 qp，则 是 q必要条件；若 pq，且 p，则p是 q充要条件.集合法：若满足条件 的集合为 A，满足条件 的集合为 B，若 A B，则 是 的充分不必要条件；若B A，则 是 必要不充分条件；若 A=B 则， p是 q充要条件。对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是
3、结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法.利用原命题与逆命题的真假判断若原命题为“若 p则 q”，则有如下结论：（1）若原命题为真逆命题为假，则 p是 q的充分不必要条件；（2）若原命题为假逆命题为真，则 是 的必要不充分条件；（3）若原命题与逆命题都为真，则 是 的充要条件；（4）若原命题与逆命题都为假，则 p是 q的既不充分也不必要条件4.考点交汇展示：(1)与集合交汇例 1 设 A， B是两个集合，则“ AB”是“ AB”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C.【解析】由题意得， AB，反之， ABA，故为充要条件，选 C.(
4、2)与不等式交汇例 2【2018 年理数天津卷】设 ，则“ ”是“ ”的结论是 都是大于小于至少一个至多一个至少 n个 至多有个对所有 x，成立p或q且对任何 x，不成立否定不是不都是不大于不小于一个也没有至少两个至多有（ 1n）个至少有（ ）个存在某 x，不成立p且 q或存在某 x，成立3A. 充分而不必要条件 B. 必要而不重复条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】绝对值不等式 ，由 .据此可知 是 的充分而不必要条件.本题选择 A 选项.（3）与函数交汇例 3【2017 天津，理 4】设 R，则“ |12”是“ 1sin2”的（A）充分而不必要条件 （B）必要
5、而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】 （4）与平面向量结合例 4【2018 年理北京卷】设 a，b 均为单位向量，则“ ”是“ab”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，因为 a， b 均为单位向量，所以 a b，即“ ”是“ a b”的充分必要条件.选 C.（5）与复数交汇例 5 已知 i是虚数单位， ,abR，则“ 1ab”是“ 2()abi”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】( a+bi)2 a2 b22 abi2
6、i，于是 a2 b20，2 ab2 解得 a b1 或 a b1 ,故选 A.（6）与立体几何交汇4例 6【2018 年浙江卷】已知平面 ，直线 m， n 满足 m ， n ，则“ m n”是“ m ”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】(7)与数列交汇例 7【2016 高考天津卷】设 an是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“ q0”是“对任意的正整数n， a2n1+a2n0”的（ ）（A）充要条件 （B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意得， 212(1)211
7、0()00(,1)nnnaaqqq，故是必要不充分条件，故选 C.(8)与平面解析几何交汇例 8【2018 届北京市人大附中 5 月三模】设 ,则“ ”是直线“ 与直线垂直”的A 充要条件 B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若 ，则两条直线分别为 、 ，两直线斜率的乘积为 ，故两条直线相互垂直；若两条直线相互垂直，则 ，故 或 ，故“ ”是两条直线相互垂直的充分不必要条件，选 B.【考点分类】5考向一 命题及其关系1.【河北省衡水中学 2018 届第十六次模拟理】下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”B
8、. 命题“若 ，则 ， 互为相反数”的逆命题是真命题C. 命题“ ，使得 ”的否定是“ ，都有 ”D. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题【答案】B2.【2017 北京卷】能够说明“设 a，b，c 是任意实数若 abc，则 a+bc”是假命题的一组整数a，b，c 的值依次为_【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）【方法规律】1.判断一个命题的真假有两种方法，法一：直接法，用直接法判定命题为真命题，需要严格的推理、考虑各种情况由命题条件推出结论正确，要判定一个命题为假命题，只要举出一个反例就行；法二：等价值法，若不易直接判断它的真假，利用原命题与其逆否命题同真假转化为判断其逆否命题的真假。2.
9、正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要3. 在书写命题的四种形式时，首先要将命题转化成“若 p，则 q”的形式，然后严格按定义书写，注意正确应用常见词语的否定.64.在判断四种形式的命题真假时，先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假【解题技巧】1.当一个命题有大前提而要写出其他三个命题时，必须保留大前提且不作改换2.在判断命题的真假时，如果不易直接判断它的真假，可以转化为判断其逆否命题的真假3.在书写否命题题与您否命题时，要特别注意条件
10、的否定和结论的否定即为条件的反面和结论的反面.【易错点睛】1.区分否命题与命题：否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法2.特别要注意含有逻辑连结词的否定形式.例 写出命题“若 20xy，则 x， y全为 0”的否命题.【错解】若 ，则 ， 全不为 0.【预防措施】要正确区分命题的否定与否命题：写一个命题的否命题，既要否定条件又要否定结论，只否定结论，得到的命题是命题的否定；对条件和结论的否定要正确，如“都是”的否定是“不都是” ，而不是“都不是” ，条件和结论的否定就是分别找条件和结论的对立面，抓住这一点就可
11、以避免类似的错误.【正解】若 20xy，则 x， y不全为 0. 热点二 充分条件与必要条件1.“ 1”是“ 12log()”的（ ）A、充要条件 B、充分不必要条件C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】 12log()021xxx，因此选 B.2.【2018 届浙江省诸暨市 5 月适应性考试】已知圆 与直线 ，则“ ”是“直线与圆相切”的（ ）7A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由圆心到直线的距离 若直线与圆相切，则 ，即 ，则 ，则“ ”是“直线与圆相切“的充分而不必要条件，故选：A3.【四川省成都市
12、 2018 届模拟】设 ，则 是 的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A的充分不必要条件，故选 A.4.设 na是公比为 q的等比数列，则 “1q是 “na为递增数列的（ ）.A充分且不必要条件 .B必要且不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】D.8【方法规律】1.在进行充分条件、必要条件的判断时，首先要明确哪个论断是条件，哪个论断是结论，再从两方面分析：一是由条件 p 能否推得条件 q，二是由条件 q 能否推得条件 p，结合定义即可做出判断.2.充分条件、必要条件的三种判断方法，要注意灵活应用.利用
13、集合法进行判断时，借助数轴能直观显示两个集合的关系，从而命题易于求解对于条件或结论是否定形式的充分条件、必要条件的判断，要善于利用等价命题进行判断【解题技巧】1.在进行充要条件判断时，在明确条件、结论的基础上，将条件进行适当的化简及合理的表示条件间的推出关系是解决问题的关键2.在利用集合法进行充要条件判断时，常借助数轴直观显示两个集合的关系，从而使问题易于求解.3.在利用命题法判定充要条件时，对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题【易错点睛】在判断充要条件时，因条件与结论分不
14、清或因考虑不全面导致致错误.例 已知 p：“向量 a与向量 b的夹角 为钝角”是 q：“ ab0”的 条件.【错解】若向量 与向量 的夹角 为钝角，则 cos|0，即 0，故 p是 q的充要条件.【错因分析】判断条件与结论之间的关系时要从两个方向判断，而上面之判定了一个方向就下结论，忽视了对“ ab0”成立时能否导出“向量 a与向量 b的夹角为钝角”的判断.【防范措施】判断充要条件时要注意两点：首项要分清哪个是条件 p，哪个是条件 q；其次要从两个方向进行判断，即条件 p能否导出结论 q与结论 能否导出条件 .【正解】若向量 a与向量 b的夹角 为钝角，则 cos|ab0，即 ab0，即 p；
15、当 b0，即 cos|0，因为 ，所以 2，故向量 与向量的夹角 为钝角或平角，即 qp，故 是 q的充分不必要条件.9【热点预测】1 【2018 届江西省南昌市二轮测试卷（八） 】在实数范围内，使得不等式 成立的一个充分而不必要的条件是A B C D 【答案】D2.【2018 届浙江省温州市 9 月】已知 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为当 时， 不成立；当 时， 不成立，所以“ ”是“”的既不充分也不必要条件，故选 D.3.【2018 届山东省肥城市适应性训练】已知向量 ， ，则“ ”
16、是“ ”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为 ，所以因此“ ”是“ ”的充分不必要条件，选 A. 4 【2018 届广东省汕头市潮南区 5 月冲刺】已知直线 与圆 相交于 两点（ 为坐标原点） ，则“ ”是“ ”的( )A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】105 【2018 届广西柳州高级中学 5 月模拟】已知向量 ，则 是 的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为 ，所以因为 ， ，所以
17、是 的充分必要条件.故答案为：A.6 【2018 届浙江省余姚中学模拟（二） 】 “ ”是“直线 与 互相平行”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】A11【解析】7.【2018 届浙江省杭州市第二中学 6 月热身】已知数列 是等比数列，其公比为 ，则“ ”是“数列 为单调递增数列“的” （ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】取 ， ，则 ，但 为减数列；取 ， ，则 ， 为增数列，但 ，故“ ”是“等比数列 为单调递增数列”的既不充分又不必要条件，故选 D8.【2018
18、届安徽省六安市第一中学适应性考试】已知函数 ，则 在 上不单调的一个充分不必要条件是（ ）A B C D 【答案】C【解析】，若 在 上不单调，令 ，则函数 与 x 轴在 有交点，设其解为 ，则 ，因此方程的两解不可能都大于 1，其在 中只有一解，12其充要条件是 ，解得 或 ，因此选项 C 是满足要求的一个充分必要条件.故选：C.9.“实数 1a”是“复数 (1)ai（ ,Ri为虚数单位）的模为 2”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分条件又不必要条件【答案】10 【2018 届湖北省武汉市四月调研】在 中，角 、 、 的对应边分别为 ， ， ，条件 ：，条件 ：
19、 ，那么条件 是条件 成立的（ ）A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由条件 p：a ，则 cosA= = = ，当且仅当 b=c=a 时取等号又 A（0，） ， 由条件 q：A，B，C（0，） ，A 取 ，C= ，B= 满足上述条件，但是 a 条件 p 是条件 q 成立的充分不必要条件故选：A11.“ 1m”是“直线 0xy和直线 0xmy互相垂直”的 （ ）13A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C12.【2018 届浙江省台州市高三上期末】已知 aR，则“ 1”是“ 12a”的
20、（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为 21a,但 142a; 12a 11a 所以“ ”是“ ”的必要不充分条件,选 B.13.【2018 届浙江省嘉兴市 4 月模拟】已知 ：不等式 的解集为 ， ： ，则 是的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 :不等式 的解集为 ，由一元二次不等式的性质可得 ，又为 的真子集，所以 是 的充分不必要条件，故选 A.14已知条件 2:log10px，条件 :qxa，若 p是 q的充分不必要条件，则实数 a的取值范围是_【答案】 ,01
