1、1小专题(七) 与圆的切线有关的计算与证明1如图，已知 RtABC，ABC90，以直角边 AB 为直径作O，交斜边 AC 于点 D，连接 BD.取BC 的中点 E，连接 ED，求证：ED 与O 相切证明：连接 OD.ODOB，OBDBDO.AB 是直径(已知)，ADB90.ADBBDC90.在 RtBDC 中，E 是 BC 的中点，BECEDE.DBEBDE.又ABCOBDDBE90，ODEBDOBDE90.OD 是O 的半径，ED 与O 相切2如图，四边形 ABCD 为菱形，ABD 的外接圆O 与 CD 相切于点 D，交 AC 于点 E.(1)判断O 与 BC 的位置关系，并说明理由；(2)
2、若 CE2，求O 的半径 r.解：(1)O 与 BC 相切理由：连接 OD，OB，O 与 CD 相切于点 D，ODCD，ODC90.2四边形 ABCD 为菱形，ADCDCB.ODOB，OCOC，CBCD.OBCODC.OBCODC90.又OB 为半径，O 与 BC 相切(2)ADCD，ACDCAD.AOOD，OADODA.CODOADADO，COD2ACD.又CODACD90，ACD30.OD OC，12即 r (r2)12r2.3如图，已知 AB 是O 的直径，且 AB12，AP 是半圆的切线，点 C 是半圆上的一动点(不与点A，B 重合)，过点 C 作 CDAP 于点 D，记COA.(1)
3、当 60时，求 CD 的长；(2)当 为何值时，CD 与O 相切？说明理由解：(1)过点 C 作 CEAB 于点 E.在 RtOCE 中，OEOCcosCOA 63，12则 CDOAOE633.(2)当90时，CD 与O 相切理由：90，则在四边形 OCDA 中，COAOADCDA90，3OCD90.OCCD.又OC 是O 的半径，CD 是O 的切线4(2018宿迁)如图，AB，AC 分别是O 的直径和弦，ODAC 于点 D.过点 A 作O 的切线与 OD的延长线交于点 P，PC，AB 的延长线交于点 F.(1)求证：PC 是半圆 O 的切线；(2)若ABC60，AB10，求线段 BF 的长解
4、：(1)证明：连接 OC.ODAC，OD 经过圆心 O，ADCD.PAPC.在OAP 和OCP 中，OA OC，PA PC，OP OP， )OAPOCP(SSS)OAPOCP.PA 是O 的切线，OAP90.OCP90，即 OCPC.又OC 是O 的半径，PC 是O 的切线(2)OBOC，OBC60，OBC 是等边三角形COB60.AB10，OC5.由(1)知，OCF90，4CFOCtanCOB5 .35如图，ABC 内接于O，AB 是直径，O 的切线 PC 交 BA 的延长线于点 P，OFBC 交 AC 于点E，交 PC 于点 F，连接 AF.(1)判断 AF 与O 的位置关系并说明理由；(
5、2)若 AC24，AF15，求O 的半径解：(1)AF 与O 相切理由如下：连接 OC，PC 是O 的切线，OCPC.OCF90.OFBC，BAOF，OCBCOF.OBOC，BOCB.AOFCOF.在OAF 和OCF 中，OA OC， AOF COF，OF OF， )OAFOCF(SAS)OAFOCF90.又OA 是O 的半径，AF 与O 相切(2)OAFOCF，AOECOE.OEAC，AE AC12.12EF 9.152 122OAF90，OAEAFE. ，即 ，OAAF AEFE OA15 1295OA20，即O 的半径为 20.6如图，四边形 ABCD 内接于O，对角线 AC 为O 的直
6、径，过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE 的中点，连接 DB，DC，DF.(1)求CDE 的度数；(2)求证：DF 是O 的切线；(3)若 AC2 DE，求 tanABD 的值5解：(1)AC 为O 的直径，ADC90.CDE90.(2)证明：连接 OD.CDE90，F 为 CE 中点，DF CECF.12FDCFCD.又ODOC，ODCOCD.ODCFDCOCDFCD.ODFOCF.ECAC，OCF90.ODF90.DO 是O 的半径，DF 为O 切线(3)在ACD 与ACE 中，ADCACE90，EACCAD，ACDAEC. .AC 2ADAE.ACAE
7、ADAC又 AC2 DE，20DE 2(AEDE)AE.5(AE5DE)(AE4DE)0.AE5DE，AD4DE.6在 RtACD 中，AC 2AD 2CD 2，CD2DE.又ABDACD，tanABDtanACD 2.ADCD7如图，已知以 RtABC 的边 AC 为直径作O 交斜边 AB 于点 E，连接 EO 并延长交 BC 的延长线于点 D，点 F 为 BC 的中点，连接 EF.(1)求证：EF 是O 的切线；(2)若O 的半径为 3，EAC60，求 AD 的长解：(1)证明：连接 FO，易证 OFAB.AC 为O 的直径，CEAE.OFAB，OFCE.OEOC，OF 所在直线垂直平分 CE.FCFE.FECFCE，OECOCE.ACB90，OCEFCE90.OECFEC90，即FEO90.又OE 是O 的半径，FE 为O 的切线(2)O 的半径为 3，AOCOEO3.EAC60，OAOE，EOA60.CODEOA60.在 RtOCD 中，COD60，OC3，7CD3 .3在 RtACD 中，ACD90，CD3 ，AC6，3AD 3 .AC2 CD2 7
