1、1小专题(四) 二次函数与几何图形综合1如图，抛物线 y x2 x5 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C.若点 E 为 x 轴下方抛物13 23线上的一动点，当 SABE S ABC 时，求点 E 的坐标解：令 y x2 x50，即 x22x150，13 23解得 x15，x 23.A(5，0)，B(3，0)AB8.令 x0，则 y5，C(0，5)OC5.S ABC ABOC20.12设点 E 到 AB 的距离为 h，S ABE S ABC ， 8h20.h5.12点 E 在 x 轴下方，点 E 的纵坐标为5.当 y5 时， x2 x55.13 23x 12，x 20(与点
2、C 重合，舍去)E(2，5)2如图，抛物线 y x2 x3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D(2，2)是抛物线12 12上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点 P，使得BDP 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由2解：令 y x2 x30，解得 x13，x 22.12 12点 A 的坐标为(2，0)连接 AD，交对称轴于点 P，则 P 为所求的点设直线 AD 的表达式为 ykxt.将点 A，D 的坐标代入，得解得 2k t 0，2k t 2. ) k 12，t 1.)直线 AD 的表达式为 y x1.12抛物线的对称轴为直线 x ，122
3、（ 12） 12将 x 代入 y x1，得 y .12 12 54点 P 的坐标为( ， )12 543如图，二次函数 yx 2mxn 的图象经过点 A(1，4)，B(1，0)，y xb 经过点 B，且12与二次函数 yx 2mxn 交于点 D.(1)求二次函数的表达式；(2)点 N 是二次函数图象上一点(点 N 在 BD 上方)，过 N 作 NPx 轴，垂足为 P，交 BD 于点 M，求MN 的最大值解：(1)二次函数 yx 2mxn 的图象经过点 A(1，4)，B(1，0)， 4 1 m n，0 1 m n.)解得 m 2，n 3. )二次函数的表达式为 yx 22x3.(2)y xb 经
4、过点 B，12 1b0.解得 b .12 123y x .12 12设 M(t， t )，则 N(t，t 22t3)，12 12MNt 22t3( t )t 2 t (t )2 .12 12 32 52 34 4916MN 的最大值为 .49164如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx 24x5 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点C.若点 D 是 y 轴上的一点，且以 B，C，D 为顶点的三角形与ABC 相似，求点 D 的坐标解：令 yx 24x50，解得 x11，x 25.A(1，0)，B(5，0)令 x0，则 y5，C(0，5)OCOB，OBCOCB45.AB6，BC5 .
5、2要使以 B，C，D 为顶点的三角形与ABC 相似，需有 或 .ABCD BCBC ABBC BCCD当 时，CDAB6，D(0，1)ABCD BCBC当 时， ，ABBC BCCD 652 52CDCD .253D(0， )103综上，点 D 的坐标为(0，1)或(0， )1035如图，已知抛物线 yx 22x3 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，顶点为 P.若以A，C，P，M 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标4解：yx 22x3 中，当 x0 时，y3，C(0，3)yx 22x3 中，令 y0，即x 22x30，解得 x13，x 21.A(3，0)，B(1，0)y
6、x 22x3(x1) 24，顶点 P 的坐标为(1，4)如图，分别过PAC 的三个顶点作对边的平行线，三条直线两两相交，产生 3 个符合条件的点 M1，M 2，M 3.AM 1CP，且 C(0，3)，P(1，4)，A(3，0)，M 1(4，1)AM 2PC，且 P(1，4)，C(0，3)，A(3，0)，M 2(2，1)CM 3AP，且 A(3，0)，P(1，4)，C(0，3)，M 3(2，7)综上所述，点 M 的坐标为(4，1)或(2，1)或(2，7)6如图，已知抛物线 y x2 x2 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的右边)，与 y 轴交于点 C.14 12(1)求点 A，B
7、，C 的坐标；(2)此抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得ACP 是等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由5解：(1)令 y0，得 x2 x20，14 12解得 x12，x 24.A(4，0)，B(2，0)令 x0，得 y2.C(0，2)(2)存在点 P，使得ACP 是等腰三角形设 P(1，a)，则 AP2a 29，CP 2(a2) 21a 24a5，AC 220.当 APCP 时，即 a29a 24a5，解得 a1.P 1(1，1)；当 CPAC 时，即 a24a520，解得 a2 .19P 2(1，2 )，P 3(1，2 )；19 19当 APAC 时，即 a2920，解得 a .P 4(1， )，P 5(1， )11 11 11综上所述，满足条件的点 P 的坐标为 P1(1，1)，P 2(1，2 )，P 3(1，2 )，P 4(1， )，19 19 11P5(1， )11
