1、- 1 -江西省 高考数学二轮复习 小题精做系列之数列、数学归纳法与极限1一基础题组1. 【上海市黄浦区 2014 届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列na是公差为 2 的等差数列，若 6a是 7和 8的等比中项，则 na=_.2. 【上海市嘉定区 2014 届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知数列的前 项和 （ ） ，则 的值是_na2nS*N8a3. 【上海市嘉定区 2014 届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】若存在，则实数 的取值范围是_nnr12limr- 2 -4. 【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试
2、题】在中，记角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且这三角形的三边长是公nCBAnABnCnabnc差为 1 的等差数列，若最小边 ，则 （ ） 1aClim.2.3.4.D65. 【上海市浦东新区 20132014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷） 】_.21limn6. 【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学（理）试题】若圆的圆心到直线 （ ）的距离为 ，则 .1)(22yx:nl0yx*Nnndnlim【答案】1【解析】试题分析：圆心为 ， ， (0,1)2nd221limli1nn考点：点到直线距离公式，极限- 3 -7. 【2013 学年第一学期十
3、二校联考高三数学（理）考试试卷】计算：_2(1)3lim)nn8. 【上海市浦东新区 20132014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷） 】已知数列 中， ， ，则 =_.na1*13,(2,)nanNna9. 【2013 学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】设正项数列 na的前 n 项和是 nS,若 a和 nS都是等差数列,且公差相等,则 1a=_.【答案】 14【解析】试题分析：等差数列 na的公差为 ，则 ，d21()ndSan，数列 n是等差数列，则 是关于 的一次函数（或者是21()ndSnS常函数） ，则 ， ，从而数列 n的公差是 ，那么有 ，10a2nd
4、S2dd- 4 -（舍去）或 ， 0d12d4a考点：等差数列的通项公式10. 【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷（理科） 】计算：=_21lim()2nn11. 【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷（理科） 】设正数数列 na的前 项和是nS,若 a和 nS都是等差数列,且公差相等,则 da1_ _.12. 【2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科） 】计算：210lim3xn= .【答案】【解析】试题分析：这属于“ ”型极限问题，求极限的方法是分子分母同时除以 （ 的最高次幂）n- 5 -，化为一般可求极限型，即 210lim3xn2li3n
5、考点：“ ”型极限13. 【2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科） 】如果11232nfnn ( *N)那么 1fkf共有 项.14. 【上海市杨浦区 20132014 学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科） 】计算： 13limn15.【上海市长宁区 20132014 第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科） 】已知数列都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 ,且 设nba, 1ba,51,1Nba则数列 的前 10 项和等于_.)(Ncnnc【答案】 85【解析】试题分析：数列 到底是什么暂时不知，因此我们试着把其前 10 项的和 表示出来，nc
6、10S- 6 -120bSa10 121()()()nabab 12100()ab .901458考点：等差数列的通项公式与前 和公式.n二能力题组1. 【上海市黄浦区 2014 届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列na满足 Nnann,1，则数列 na的前 2016 项的和 的值是2016S_可行，由此我们可得 2016S23443241()()kkkaaa - 7 -20134(a20156)(6)(24)(2014)k 5 071考点：分组求和2. 【上海市嘉定区 2014 届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为
7、 的等边三角形（图（1） ） ；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2） ） ；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3） ） ；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、 级分形图则 级分形图nn的周长为_3. 【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数，且 ，则 2sin)(f)1(nfan 201432aa【答案】 403【解析】试题分析：考虑到 是呈周期性的数列，依次取值 ，故在sin21,0,图（1） 图（2） 图（3）- 8 -时要分组求和，又
8、由 的定义，知122014a na1352013aa()(3)(2013)(4)ffff222579 ()97()(01)(01)(5792013 1062， 2424a()3()ff5(2014)()ff 22255，从而2501 26122014a126043考点：周期数列，分组求和4. 【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知 是na各项均为正数的等比数列，且 与 的等比中项为 2，则 的最小值等于 1a5 4a5. 【上海市长宁区20132014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科） 】数列 满足na，则 .*,521.21Nnaanna- 9
9、-6. 【上海市浦东新区 20132014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷） 】已知函数 则,1)(2xf（ 111(03)2432034fffffffKL）(A) 2010 (B) 2011 (C) 2012 (D) 201322127. 【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学（理）试题】数列 中，若na， （ ） ，则 .1ann21*N)(lim221nnaa- 10 -8. 【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学（理）试题】数列 的前 项na和为 ，若 （ ） ，则 .nS2cos1na*N2014S【答案】1006【解析】试题
10、分析：组成本题数列的通项公式中，有式子 ，它是呈周期性的，周期为 4，因此cos2n在求和 时，想象应该分组，依次 4 个为一组，2014S 1341(2)(1)a， ，656781(6)(8)6aa43242)kkkkk，最后还剩下 ， ，所以01320140132014656S考点：分组求和9. 【2013 学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】若数列 na满足：11,2()naaN，则前 6 项的和 6S .（用数字作答）- 11 -10. 【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷（理科） 】等差数列 中，na，记 ，则当 _时， 取得最大值.102,5aS2482nnBa
11、a nB11. 【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷（理科） 】已知函数，记 ，若 是递减数列，则实数 的2318,3xtxf*nafNnat取值范围是_.12. 【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷（理科） 】已知无穷数列 na具有如下性质:- 12 -1a为正整数；对于任意的正整数 n,当 a为偶数时, 12na;当 为奇数时,.在数列 na中，若当 时， ，当 时， （ ，2nknk1n2k） ，则首项 可取数值的个数为 （用 表示）*kN1三拔高题组1. 【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】数列 是na递增的等差数列，且 ， 6
12、1a843a（1）求数列 的通项公式；n（2）求数列 的前 项和 的最小值；nS（3）求数列 的前 项和 naT【答案】(1) ；（2） ；（3） 10n29,15,*,406nnNT【解析】- 13 -2.【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学（理）试题】已知数列 中，na， ， .13a132nna*N（1）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；na（2）在数列 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若n不存在，请说明理由；（3）若 且 ， ，求证：使得 ， ， 成等差数列的点列 在某一直1rs*N1ars ,rs线上.- 14 -（2）
13、假设在数列 中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为 ， ，na 1ka（ ， ） ，由题意得， ，1ka*kN12kka将 ， ， 代入上式得7 分1)(1)(k k)(28 分)(22 2kkkk化简得， ，即 ，得 ，解得14k 11)(44)(1k3k所以，存在满足条件的连续三项为 2a， ， 成等比数列。10 分3- 15 -3. 【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷（理科） 】已知无穷数列 的前 项和为na，且满足 ，其中 、 、 是常数.nS2nnAaBCABC（1）若 ， ， ，求数列 的通项公式；03na（2）若 ， ， ，且 ，求数列 的前 项和 ；126
14、0nnS（3）试探究 、 、 满足什么条件时，数列 是公比不为 的等比数列.ABC1【答案】 （1） ；（2） ；（3） ， 或 或 ，13()na24nS0AqB200C- 16 -（3）若数列 是公比为 的等比数列，naq- 17 -4. 【2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科） 】称满足以下两个条件的有穷数列 12,na 为 2,34 阶“期待数列”： 130 ； 131naa .（1）若等比数列 n为 *kN阶“期待数列” ，求公比 q 及 n的通项公式；（2）若一个等差数列 a既是 2阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记 n 阶“期待数
15、列” i的前 k 项和为 1,23,kSn ：（i）求证： 12kS；- 18 -（ii）若存在 1,23,mn 使 12mS，试问数列 kS能否为 n 阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.【答案】 （1） 或 ；（2） ；（3） （i）证明见解析；（ii）不能，证明见解析试题解析：（1）若 ，由得， ，得 ，矛盾-1 分若 ，则由 =0，得 ，-3 分- 19 -由得 或 所以， 数列 的通项公式是或 -4 分- 20 -记数列 的前 项和为 ，kS(1,23,)n kkT则由（i）知， ，T，而 ，12mm 12mS，从而 ， ，10SS 110maa 2又 ，1
16、2mna则 ，-16 分,，123123nnSSS 与 不能同时成立，0 1所以，对于有穷数列 ，若存在 使 ，则数12,(,4)na ,23,mn 12mS列 的和数列 不能为 阶“期待数列” -nakS(,3 n18 分考点：（1）等比数列的前 和公式与通项公式；（2）等差数列的前 和公式与通项公式；nn（3）数列综合题5. 【上海市黄浦区 2014 届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列- 21 -na，满足 62， nan11N，（1）已知 ，求数列 所满足的通项公式；1,(*)b nb（2）求数列 na 的通项公式；（3）己知 02limn，设 ，常数 ,若数列 是等
17、差数列，nca(*)N0cRnc记 ，求 .31 nScc limnS【答案】 （1） ；（2） ；（3） .,1nb(21)na49【解析】试题分析：（1）这属于数列的综合问题，我们只能从已知条件出发进行推理，以向结论靠拢，由已知 可得 ，从而当 时有结论1na1()()(1)nna1n1()()nn，很幸运，此式左边正好是 ，则此我们得到了数列 的相邻两项的差1nbnb，那么为了求 ，可以采取累加的方法（也可引进新数列）求得，注意这里有1nbn，对 要另外求得；（2）有了第（1）小题 ，那么求 就方便多了，因为 nbna，这里不再累赘不；（3）在（2）基础上有 ，我们只有求出()nna (
18、21)c才能求出 ，这里可利用等差数列的性质，其通项公式为 的一次函数（当然也可用等差cS数列的定义）求出 ，从而得到 ，那么和 的求法大家应该知道是乘公比错位12c2ncnS相减法，借助已知极限 可求出极限 .lim0nlim- 22 - .1,2,nbn（说明：这里也可利用 111()nnnbbb，依据递推，得2 2nn）- 23 -6. 【上海市长宁区 20132014 第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科） 】由函数确定数列 ， .若函数 能确定数列 ， ，)(xfyna)(f)(1xfynb)(1nf则称数列 是数列 的“反数列”.nb（1）若函数 确定数列 的反数列为 ，求 ；x
19、f2)(nanb.n（2）对（1）中的 ，不等式 对任意的正整n )21(log122 abnnn 数 恒成立，求实数 的取值范围；na（3）设 （ 为正整数） ，若数列 的反数列为)()132)(cn nc， 与 的公共项组成的数列为 （公共项 为正整数） ，求ndndnt qpkdctpk,数列 的前 项和 .tS- 24 -（3）当 为奇数时， ， . 11分12nc)1(2nd由 ，则 ，)(21qp34p- 25 -即 ，因此 ， 13分ndc12nt所以 14分.2S当 为偶数时， ， . 15分nc3d3log由 得 ，即 ，因此 ， 17 分qp3logpncnt3所以 18分
20、).1(2nnS考点：（1）反函数；（2）数列的单调性；（3）分类讨论，等差数列与等比数列的前 项n和7. 【上海市嘉定区 2014 届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】数列 的na首项为 （ ） ，前 项和为 ，且 （ ） 设 ，a0nnSaStn10t1nSb（ ） nbbkc21Rk（1）求数列 的通项公式；n（2）当 时，若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围；t *N|3bna（3）当 时，试求三个正数 ， ， 的一组值，使得 为等比数列，且 ， ，atkncat成等差数列k，可分类（ ）分别求出 的范围，最后取其02)3(an1,23,4nna- 26 -交集即得；（3）
21、考查同学们的计算能力，方法是一步步求出结论，当 时， ，1t1nat，(1)nnatS(1)natb，最后用分组求和法求出nt 12nnckb 12()attn，2(1)kta根据等比数列的通项公式的特征一定有 ，再加上三个正数 ， ， 成等0)1(,2takt atk差数列，可求出 ， ， ，这里考的就是计算，小心计算atk- 27 -（3）当 时， ， ，1ttaSnn1)( tatabnn11)(- 28 -8. 【上海市浦东新区 20132014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷） 】设项数均为 （ ）的数列 、 、 前 项的和分别为 、 、 . 已k*2,NnabncnS
22、TnU知集合 = .112,kkab ,46,2,4k（1）已知 ，求数列 的通项公式；nnUnc（2）若 ，试研究 和 时是否存在符合ST*(,)kNk6条件的数列对（ ， ） ，并说明理由；nab（3）若 ，对于固定的 ，求证：符合条件的数列对（*2(1,)knk， ）有偶数对.nab【答案】 （1） ；（2） 时，数列 、 可以为（不唯一）14,2nnck4nab6,12,16,14；2,8,10,4， 时，数列对（ ， ）不存在.（3）证明见解析6nab- 29 -【解析】6,12,16,14；2,8,10,4 16, 10,8,14；12,6,2,4 8 分- 30 -当 时，6k11122()kkkkab0111kkkCC2()4()4kk此时 不存在. 故数列对（ ， ）不存在. 10 分kanab另证： 112428kkkb当 时，6k021012()kkkkkCCC 84k9. 【2013 学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】已知数列 具有性质：na 为整数；对于任意的正整数 ，当 为偶数时，1ana；当 为奇数时， .2n12（1）若 为偶数，且 成等差数列，求 的值；1123,a1（2）设 ( 且 N)，数列 的前 项和为 ，求证：mananS；13nS（3）若 为正整数，求证：当 ( N)时，都有 .1 21logn0na
