1、椭圆与双曲线的对偶性质-（必背的经典结论）椭 圆1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2 在点 P 处的外角.2. PT 平分PF 1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .0(,)xy21xyab0P021xyab6. 若 在椭圆 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2 的直线方程是 .,P2 021xyab7. 椭圆 (a
2、b0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 ，则椭圆的焦点角形的面积为 .21xya F12tanFPS8. 椭圆 （ab0）的焦半径公式：2, ( , ).1|MFex20|ex1)c2(0)0,)Mxy9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A 1、A 2 为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是椭圆 的不平行
3、于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则 ，21xyab),(0yxOBbka即 。02yaxbKAB12. 若 在椭圆 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 .0(,)P21 2002xyxyab13. 若 在椭圆 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 .0,xy2xyab 022双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2 在点 P 处的内角.2. PT 平分PF 1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切
4、.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若 在双曲线 （a 0,b0）上，则过 的双曲线的切线方程是 .0(,)xy21xyb0021xyab6. 若 在双曲线 （a 0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2 的直线方程是,2.021ab7. 双曲线 （a 0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点 ，则双曲线的焦点角形的面积为2xy 12F.12tFPSc8. 双曲线 （a0,b o）的焦半径公式：( , 21xyb1(0)Fc2()当 在右支上时， , .0(,)M10|MFexa2|exa当 在左支上时， ,0
5、9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A 1、A 2 为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是双曲线 （a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则 ，即 。21xyb),(0yx 0yaxbKBO 02yaxbAB12. 若 在双曲线 （a 0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 .0(,)
6、P2 2002xya13. 若 在双曲线 （a 0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 .,xy21xyb 2b椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）高三数学备课组椭 圆1. 椭圆 （a bo）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、 P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是21xy1(0)Aa2(.2a2. 过椭圆 (a0, b0) 上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 （常21xy0(,)xy 20BCbxkay数）.3. 若 P 为椭圆 （a b0）上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2 是焦点, ,
7、 ，则 .21xy 12P21Ftant2co4. 设椭圆 （a b0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF 1F2 中，记 , ,2 12P12F，则有 .12FPsincea5. 若椭圆 （a b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当 0e 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应2xy 21准线距离 d 与 PF2 的比例中项.6. P 为椭圆 （ab0）上任一点,F 1,F2 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则 ,当且仅当21xy 211|2|aAFPaAF三点共线时，等号成立.,AF7. 椭圆 与直线 有公共点的充要条件
8、是 .2200()()1xyab0xByC2220()aBbxyC8. 已知椭圆 （a b0） ，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且 .（1） ;（2）2 OPQ221|POab|OP|2+|OQ|2 的最大值为 ;（3） 的最小值是 .24S2ab9. 过椭圆 （a b0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 .21xy |2FeMN10. 已知椭圆 （ ab0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 , 则2 0().20abx11. 设 P 点是椭圆 （ ab0）上异于长轴端点的任一点 ,F1
9、、F 2 为其焦点记 ，则(1) .(2) 21y 12PF212|cosbPF.12tanFSb12. 设 A、B 是椭圆 （ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点， , , ， c、e 分别是椭圆的21xy ABBA半焦距离心率，则有(1) .(2) .(3) .2|cos|A2tan1e2cotPabS13. 已知椭圆 （ ab0）的右准线 与 x 轴相交于点 ，过椭圆右焦点 的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 在右准线 上，且21xyalEFCl轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.BC14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线
10、必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线1. 双曲线 （a0,b0）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、 P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的
11、轨迹方21xyb1(0)Aa2(程是 .22. 过双曲线 （a0,bo）上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且21xyb0(,)xy（常数）.02BCk3. 若 P 为双曲线 （a 0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点 ,F1, F 2 是焦点, , ，则21xyb 12PF21F（或 ）.tant2ccotant2co4. 设双曲线 （a 0,b0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF 1F2 中，记 , 1xyb 12P, ，则有 .12PF12Psin()cea5. 若双曲线 （a 0,b0）的左、右焦
12、点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当 1e 时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF12xyb 2是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项 .6. P 为双曲线 （a 0,b0）上任一点,F 1,F2 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则 ,当且仅当21xyb 21|AFaF三点共线且 和 在 y 轴同侧时，等号成立.2,AF2,AF7. 双曲线 （a0,b0）与直线 有公共点的充要条件是 .21xyb0xByC22aBbC8. 已知双曲线 （ba 0） ，O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且 .2 OPQ（1） ;（2）|OP| 2+|OQ|2 的最小值为 ;（3） 的最
13、小值是 .|OPQ24abS2ba9. 过双曲线 （a 0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 .21xyb |2FeMN10. 已知双曲线 （a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 , 则 或2 0()0ab.0x11. 设 P 点是双曲线 （a 0,b0）上异于实轴端点的任一点 ,F1、F 2 为其焦点记 ，则(1) .21xyb 12PF212|cosbPF(2) .12cotFS12. 设 A、B 是双曲线 （a 0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点， , , ，c、
14、e 分别21xyb ABBA是双曲线的半焦距离心率，则有(1) .2|cos|bA(2) .(3) .2tan1e2tPBSa13. 已知双曲线 （a0,b0）的右准线 与 x 轴相交于点 ，过双曲线右焦点 的直线与双曲线相交于 A、B 两点 ,点 在右准2xyblEFC线 上，且 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.lBC14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
