1、 1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.把答案填在题中横线上.)(1) 设 则 _.sin,xyzedz(2) 设曲线 与 都通过点 且在点 有公共切线,3fa2gxbc10,10则 _, _, _.a(3) 设 ,则 在点 _处取极小值 _.xfenf(4) 设 和 为可逆矩阵, 为分块矩阵,则 _.AB0AXB1X(5) 设随机变量 的分布函数为 0,.41()8,3,.xFxPx则 的概率分布为 _.X二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
2、(1) 下列各式中正确的是 ( )(A) (B) 01limxx 01limxxe(C) (D) lixxelixx(2) 设 则下列级数中肯定收敛的是 ( )10(,2)na(A) (B) 1n1na(C) (D) 1na 21()n(3) 设 为 阶可逆矩阵, 是 的一个特征根,则 的伴随矩阵 的特征根之一是( )AAA*(A) (B) (C) (D) 1n1nA(4) 设 和 是任意两个概率不为零的不相容事件 ,则下列结论中肯定正确的是 ( )B(A) 与 不相容 (B) 与 相容 ABAB(C) (D) PP(5) 对于任意两个随机变量 和 ,若 ,则 ( )XY()()EXEY(A)
3、 (B) ()()DY ()DXDY(C) 和 独立 (D) 和 不独立X三、(本题满分 5 分)求极限 ,其中 是给定的自然数 .120limxnxee四、(本题满分 5 分)计算二重积分 ,其中 是由 轴, 轴与曲线 所围成的区域,DIydxxy1xyab.0,ab五、(本题满分 5 分)求微分方程 满足条件 的特解.2dyx2xey六、(本题满分 6 分)假设曲线 ： 、 轴和 轴所围区域被曲线 ： 分为面1L201yxxy2L2yax积相等的两部分,其中 是大于零的常数 ,试确定 的值.aa七、(本题满分 8 分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为 和 ；销售量分别为
4、和1p21q；需求函数分别为 和 ,总成本函数为2q11240q.p2205q.123540C.试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？八、(本题满分 6 分)试证明函数 在区间 内单调增加.1()xf(0,)九、(本题满分 7 分)设有三维列向量 123210,问 取何值时,(1) 可由 线性表示,且表达式唯一?123(2) 可由 线性表示,且表达式不唯一?(3) 不能由 线性表示?123十、(本题满分 6 分)考虑二次型 .问 取何值时, 为正定二2213123244fxxxf次型.十一、(本题满分 6 分)试证明 维列向量组 线性无关的充分必要条件是n1
5、2,n,12122120TTnTTnnD其中 表示列向量 的转置 , .Tii ,i十二、(本题满分 5 分)一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以 表示该汽车首次遇到X红灯前已通过的路口的个数.求 的概率分布.X十三、(本题满分 6 分)假设随机变量 和 在圆域 上服从联合均匀分布.Y22xyr(1) 求 和 的相关系数 ;(2) 问 和 是否独立?XY十四、(本题满分 5 分)设总体 的概率密度为 1,0,(;)axepx其中 是未知参数, 是已知常数.试根据来自总体 的简单随机样本00aX,
6、求 的最大似然估计量 .12,nX 1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)(1)【答案】 sincoxyedxy【解析】方法一：先求出两个偏导数 和 ,然后再写出全微分 ,zxydz,sinsinsi sicocoyxyxzee所以 sinsincocoxyxyzdxdeded.sinco()xyedxy方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算 .dz.sinxysinxysinxysinxydzecodecoxy(2)【答案】 , ,1ab1c【解析】由于曲线 与 都通过点 则fg10,fabc又曲线 与 在点
7、 有公切线,则 ,即fxg101fg, 2 11332xxfab亦即 ,解之得 , , .32abbc(3)【答案】 ；1xnne【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式 可知,0nknkuvCuv()0()1(1)2(2)()nxnxnxnnxfCeeee.对函数 求导,并令 ,得ngxf0gx,(1)(1)0nxfe 解之得驻点 ,且1xn,()0()xgg函 数 严 格 单 调 递 减函 数 严 格 单 调 递 增 ；故 是函数 的极小值点,极小值为nf.() 11(11()nne(4)【答案】 10BA【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有,123400XAEB由对应元素或块相等,即3412,
8、0,.AXEB从 和 均为可逆矩阵知 .故应填 .AB1 13412,0,XAXB10BA(5)【答案】 x3P0.4 0.4 0.2【解析】因为随机变量 的分布函数 在各区间上的解析式都与自变量 无关,所X()Fxx以在 的连续点, ,只有在 的间断点处 取值的概率才大于零,且()Fx0xX,则()0)PXPx,11.4XF()8330.2.P因此 的概率分布为Xx13X0.4 0.4 0.2二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.) (1)【答案】(A)【解析】由重要极限 可知,1lim()xxe极限 ,(1)1li()x .()lixxe而极限 ,00111limn()limn(
9、)ln()001lim()ixx xxxe令 ,则t,01ln()1lin()ili0t tx t洛所以 .01limn()001li()xxxee故选项(A)正确.(2)【答案】(D)【解析】因为 ,由 收敛及比较判别法可知 绝对收221(1)na21n21()na敛.即(D)正确.另外,设 ,则可知()2n(A) , (C) 1112nnna 11122nna都不正确.设 ,则可知(B)不正确. 2120,()4nn(3)【答案】(B).【解析】由 为 的特征值可知,存在非零向量 ,使得 .AXA两端同时乘以 ,有 ,由公式 得到 .于是*()XA*X.*1AX按特征值定义知 是伴随矩阵
10、的特征值.故应选(B).1*【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设 是 阶矩阵,若存在数 及非零的An维列向量 使得 成立,则称 是矩阵 的特征值,称非零向量 是矩阵 的nAXXA特征向量.(4)【答案】(D)【解析】 ,如果 ,则 ,即 与 互不相容；如果BBB,则 ,即 与 相容.由于 、 的任意性 ,故选项(A)(B)均不正确.AAA任何事件 一定可以表示为两个互不相容事件 与 的和. 又因 ,从而A,另外要注意区分独立与互不相容两个概念 ,不要错误地把 、 互不相B B容等同于 、 相互独立而错选 (C).A, 不相容, , 均不为零,因此PB,0PAB.即(C)不正确. 用排除
11、法应选(D).事实上, A.(5)【答案】(B)【解析】由于 ,因此有()()EXYcov,()0,()(2cov,()(.EXYDDXY故应选(B).【相关知识点】若两个随机变量 的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：1) ；()()EXY2) ；(DDY3) ；cov(,)04) 和 不相关,即 和 的相关系数 .XYX0三、(本题满分 5 分)【解析】方法一：这是 型未定式极限. 112 2012lnlim0 0limimxnxxnxeeeexnxee ,20ln()lnixxee其中指数上的极限是 型未定式,由洛必达法则,有020ln()lnimxxxee.20 12(1)li 2x
12、nxx nee 所以 .1220li nxnxx 方法二：由于 ,1 12 2xnxxnxeeee 记 ,则当 时 ,从而21xnxy 0y.1 1120 00limlim()li()yxnx xxeey而 ,所以 .10li()yye01li0li()xyyxe又因 200()()()limlixxnxx e.20001111lilimli(2)2xxnxenn 洛所以 .1220li nxnxee四、(本题满分 5 分)【解析】积分区域 如图阴影部分所示.D由 ,得 .1xyab2xa因此 .22 411200 001bxaabxa aD xIdydxyd令 ,有 ,故1xta2(),()
13、tt42204011()abxbIdtadt.562124520 0()3tbtt五、(本题满分 5 分)【解析】将原方程化为 ,由此可见原方程是齐次微分方程.221ydyxx令 ,有 将其代入上式,得 ,yuxuxd21dyux化简得 ,即 .积分得 1duxdx21ln.uxC将 代入上式,得通解 .y2(l)y由条件 ,即 求得 .xe4ne1所以 所求微分方程的特解.2(ln1)y六、(本题满分 6 分)【解析】先求出曲线 和 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积 和 ,如图： 1L2 1S2由 得 210yxa1x,ay.所以 1121200()Sdxdx,30x1 12 20 0
14、a aSxdxd.130ax又因为 ,所以 ,即 ,解得12S21 2a3.七、(本题满分 8 分)【解析】方法 1：总收入函数为,221214005Rpqp.p.总利润函数为1212354LCqq.12300395p.p.由极值的必要条件,得方程组1122304L.p,.,即 .1280p,因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当 时,厂1280p,家所获得的总利润最大,其最大总利润为 12 1222180 8030053965p, p,Lp.p. （ ）方法 2：两个市场的价格函数分别为,1122q,q总收入函数为,1212050Rpq总利润函数为1212354LCqq .2
15、280560q由极值的必要条件,得方程组 111222 84604L,q,.,q因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当 ,即12,q180p,时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为 .210p 1284605q,L八、(本题满分 6 分)【解析】因为 ,所以 .(x1()0xf,两边对 求导,得1ln()()1)xfe.112ln()ln() 1()1() )()ln()xx xxf x 令 ,为证函数 为增函数,只需 在 上成立,1()ln)gxx()fx()0fx(,)即 .0,方法一：利用单调性.由于 ,222111()ln)()()xgx x且 ,故 ,所以函数 在
16、 上单调减少.(0)x2()01)x()g0,)又 ,于是有 .从而limlinxxg,x, ,()(0xfg ()于是函数 在 单调增加.()f0,方法二：利用拉格朗日中值定理.令 ,1ln()l()ln(1)l(1)(xxux所以在区间 存在一点 ,使得,(1)()(1)(uxuxu即 .又因为 ,所以 ,所以1ln()x0x.11ln()x故对一切 ,有 .函数 在 单调(0)x()l0fx()fx0,)增加.九、(本题满分 7 分)【解析】设 将分量代入得到方程组123xx,12321230x,.对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有 、 加到第二行和第三行上,有1,2220
17、1101 再第二行加到第三行上,所以有.22103若 且 即 且 ,则 ,方程组有唯一解,即0230,3rA可由 线性表示且表达式唯一.12,若 ,则 ,方程组有无穷多解, 可由 线性表示,且表13rA123达式不唯一.若 ,则 ,方程组无解,从而 不能由 线性表示.32, 123,【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设 是 矩阵,线性方程组 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广AmnAxb矩阵 的秩,即是 (或者说, 可由 的列向量 线表出,b()rA12,n亦等同于 与 是等价向量组).12n 12,n设 是 矩阵,线性方程组 ,则xb(1) 有唯一解 ().rA(2) 有无
18、穷多解 n(3) 无解 不能由 的列向量 线表出.()1().rbA12,n十、(本题满分 6 分)【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于 0”的方法最为简捷.二次型 的矩阵为 ,其顺序主子式为f142A22123, ,48.A正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于 0,所以有.12 30,()20,4(1)204A解出其交集为 ,故 时, 为正定二次型.()1f【相关知识点】二次型的定义：含有 个变量 的二次齐次多项式(即每项都是n12,nx二次的多项式)其中 ,121, ,nijifxax ijjia称为 元二次型 ,令 , ,则二次型可用矩阵乘法表示为n12,Tn
19、ijATfxx其中 是对称矩阵 ,称 为二次型 的矩阵.AT12,nf十一、(本题满分 6 分)【解析】记 ,则 线性无关的充分必要条件是 .12(,)n 12,n 0A由于,1121222212,TTTnnTTTn nnA从而取行列式,有 .2DA由此可见 线性无关的充分必要条件是 .12,n 0D【相关知识点】 个 维向量 线性相关的充分必要条件是齐次方程组m12m,12120mx 有非零解.特别地, 个 维向量 线性相关的充分必要条件是行列式n12,n.12,0十二、(本题满分 5 分)【解析】首先确定 的可能值是 ,其次计算 取各种可能值的概率.X0123X设事件 “汽车在第 个路口首
20、次遇到红灯”, 且 相互独立.iAi 123i,iAiiPA.事件 发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为 .所以有i i102X,21PAPA,3123 1,123X.则 的概率分布为Xx03P22注：此题易犯的一个错误是将 计算为 ,这是由于该街道仅有三个设有红绿信3X41号灯的路口, 仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯 ,而不存在第四个有信号灯路口问3X题.十三、(本题满分 6 分)【解析】二维均匀分布 的联合密度函数为(,)XY1, (,),(,) 0DxySfxy是区域 的面积, 所以 的联合密度DS2,DSr(,).221,(,)0xyrfxy由连续型随机变量边缘分布的定义
21、, 和 的概率密度 和 为XY1()fx2fy21 21()(,) (),rxfxfyddyrr.22, ()fyfxr由一维连续型随机变量的数学期望的定义：, ()EXxfd()().EgXxfd若 为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是 .()fx ()0rx故 ,22,rx 22rYy由于被积函数为奇函数,故 .0EX,22cov(,)xyrdx因为此二重积分区域关于 轴对称 ,被积函数为 的奇函数,所以积分式为 0.x.由相关系数计算公式 ,于是 和 的相关系数 .cov(,)0XYcov()XYDY0(2)由于 ,可见随机变量 和 不独立.12,()fxyfy十四、(本题满
22、分 5 分)【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数.现题设给出概率密度函数 ,则似然函数(;)fx1112(,; ,nixn iiLeX 1ll()l.niiii(由于 是单调递增函数, 取最大与 取最大取到的 是一致的,而加对数后能把连lnLL乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便).由对数似然方程 1ln0,niiX得 的最大似然估计值 .所以得 的最大似然估计量为 .1nii1niiX【相关知识点】似然函数的定义：设 是相应于样本 的一组观测值,则似然函数为：12,.nx12,.nX.12 121(),;)(;)(;);(;)nni niLfxfxffxf
