截长补短法例题.doc

1、截长补短法例 1. 已知，如图 1-1，在四边形 ABCD中， BC AB， AD=DC， BD平分 ABC.求证： BAD + BCD=180.分析：因为平角等于 180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点 D作 DE垂直 BA的延长线于点 E，作 DF BC于点 F，如图 1-2 BD平分 ABC， DE=DF，在 Rt ADE与 Rt CDF中，CDAFE Rt ADE Rt CDF(HL), DAE= DCF.又 BAD+ DAE=180， BAD+ DCF=180，即 BAD+

2、 BCD=180例 2. 已知，如图 3-1，1=2， P为 BN上一点，且 PD BC于点 D， AB+BC=2BD.求证： BAP+ BCP=180.分析：与例 1相类似，证两个角的和是 180，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明 BCP= EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点 P作 PE 垂直 BA 的延长线于点 E，如图 3-21=2，且 PD BC， PE=PD，在 Rt BPE与 Rt BPD中，BPDE Rt BPE Rt BPD(HL), BE=BD. AB+BC=2BD， AB+BD+DC=BD+BE， AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.

3、FEDCBA图 1-2AB CDP12N图 3-1P12NAB CDE图 3-2AB CD图 1-1ADB CE图 2-1在 Rt APE与 Rt CPD中,DCAEP Rt APE Rt CPD(SAS), PAE= PCD又 BAP+ PAE=180, BAP+ BCP=180例 3. 如图 2-1， AD BC，点 E在线段 AB上， ADE= CDE， DCE= ECB.求证： CD=AD+BC.分析：结论是 CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD上截取CF=CB，只要再证 DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在 CD

4、上截取 CF=BC，如图 2-2在 FCE与 BCE中，CEBF FCE BCE（ SAS）,2=1.又 AD BC， ADC+ BCD=180， DCE+ CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4.在 FDE与 ADE中，43DEAF FDE ADE（ ASA）， DF=DA， CD=DF+CF， CD=AD+BC.ADB CE F1234图 2-2例 4. 已知：如图 4-1，在 ABC中， C2 B，12.求证： AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长 AC至 E使 CE=CD，或在 AB上截取 AF=AC.证明：方法一（补短法）延长 AC到 E，使 DC=CE，则 CDE CED，如图 4-2 ACB2 E， ACB2 B， B E，在 ABD与 AED中,ADEB21 ABD AED（ AAS）, AB=AE.又 AE=AC+CE=AC+DC， AB=AC+DC.方法二（截长法）在 AB上截取 AF=AC，如图 4-3在 AFD与 ACD中,ADCF21 AFD ACD（ SAS）, DF=DC， AFD ACD.又 ACB2 B， FDB B， FD=FB. AB=AF+FB=AC+FD， AB=AC+CD.D CBA12图 4-1ED CBA12图 4-2FD CBA1 2图 4-3