1、武汉大学 2006 年高等代数考研试题1设矩阵 ，其中 是 维列向量，又已知TAn1T(1) 证明 ；2(2) 证明 是可逆矩阵，并求逆矩阵 ，这里 是 阶单nAEB2 1BEn位矩阵。2已知向量 ,42,71,92,61,342431 a(1) 求线性子空间 的维数与一个基；),(4321LW(2) 求 的值，使得 ，并求 在(1)所选基下的坐标。a3设 表示实数域上的次数不超过 2 的多项式构成的线性空间，已知2xP是 的一个基， 的线性变换 满足231,1, xfff P2xP。221)()()(x(1) 求由基 到基 的过渡矩阵；,32,f(2) 求 在基 下的矩阵；321f(3) 设
2、 ，求 。xf)(f4设 是 矩阵， 是 矩阵，rank,(21rA n),(21sBn,rank ，证明若 ，则必存在非零向量 ，使得 既可由r)(sB)s线性表示，又可由 线性表示。r,21 s,215设 为 阶实对称矩阵且正定， 为 实矩阵。试证 为正定矩阵的充AmBnmABT分必要条件是 的秩 rank 。Bn)(6已知 3 阶矩阵 满足 。A|2| EAE(1) 当 时，求行列式 的值；00|3|EA(2) 当 时，求行列式 的值。2|7求矩阵 01A的 Jordan 标准形，并计算 (注：按通常定义 )。Ae !32AEeA8设 阶矩阵 满足 ，且 是 的特征值。nB,Bn,21(
3、1) 证明 ；),21(nii(2) 证明若 是实对称矩阵，则存在正交矩阵 ，使得AP)1,1(21 ndiagBP 9设数域 上的 阶矩阵 关于矩阵乘法两两可换，且满足KnDC,(其中 为 阶单位矩阵)，又设齐次线性方程组 与EBDAC 0,BxA的解空间分别为 和 ，证明 。0x1,VW221V10设 是 维欧氏空间， 是 的一个标准正交基， 表示向量nn, ),(的内积。令 ，其中 是 个不全为零的V, aa21 na,21实数。对于给定的非零实数 ，定义 的线性变换为 kVVk,)()(1) 求 在基 下的矩阵 ； (2) 求 的行列式 det ；n,21 AA(3) 证明 为正交变换的充分必要条件是 。221naak
