1、 第 1 页 共 15 页2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数 的可去间断点的个数为：（ ）3()sinxf. 1 . 2 . 3 .无穷多个ABCD【答案】C 【解析】3sinxf则当 取任何整数时， 均无意义fx故 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是 的解fx 30x1,2302003112limlisncosillisncosxxxxxx故可去间断点为 3 个，即 0,（2）当 时， 与 是等价无穷小，则（ ）
2、x()sinfxax2()ln(1)gbx. ， . ， A1a6bB6. ， . ，CD【答案】 【解析】 为等价无穷小，则2()sin,()(1)fxaxglnbx222200000sicossinlimlilimlilm()(1)()36xxxxxaaagbbb 洛 洛第 2 页 共 15 页故排除 。230sinlm16xab 36ab,BC另外 存在，蕴含了 故 排除 。201cosli3xxcos0x1.aD所以本题选 A。（3）使不等式 成立的 的范围是（ ）1sinlxtdx. . . .(0,)B(1,)2C(,)2D(,)【答案】 A【解析】原问题可转化为求成立时 的111
3、sinsin()lxxxttfddt11sinsin0xxttddx取值范围，由 ， 时，知当 时， 。故应选 .0t,t0,()fA（4）设函数 在区间 上的图形为：yfx1,31()f-2 0 2 3 x-1O则函数 的图形为（ ）0xFftd. . A()f0 2 3 x1-2-11 B()fx0 2 3 x1-2-11第 3 页 共 15 页. .C()fx0 2 3 x1-11 D()fx0 2 3 x1-2-11【答案】 D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 的图形可见，其图像与 轴及 轴、()yfxxy所围的图形的代数面积为所求函数 ，从而可得出几个方面的特征：0xF 时，
4、，且单调递减。,1()Fx 时， 单调递增。2x 时， 为常函数。,3()x 时， 为线性函数，单调递增。10x0F由于 F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为 。D（5）设 均为 2 阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 则分块矩,AB*,AB,|2,|3AB阵 的伴随矩阵为（ ）0. . A*320B*023A. .C*BD*0【解析】根据 ，若E1,CC分块矩阵 的行列式 ，即分块矩阵可逆0AB2036ABB（ ）第 4 页 共 15 页111000066BAABBBA1002362A故答案为（B）（6）设 均为 3 阶矩阵， 为 的转置矩阵，且 ，若,APTP102TPA，则 为（
5、 ）123123(,),(,)QTQ. . A0B102. .C201D0【答案】 A【解析】 ，即：1231231231(,)(,)0(,)(QE121212122112()()()()0()0210012TTTPEAPEPA（7）设事件 与事件 B 互不相容，则（ ）A. . ()PB()()PAB. .C1(D1第 5 页 共 15 页【答案】 D【解析】因为 互不相容，所以,AB()0PAB，因为 不一定等于 1，所以 不正确()()1P()()A当 不为 0 时， 不成立，故排除,()只有当 互为对立事件的时候才成立，故排除()CAB，故 正确。D)()1()PPAB()D（8）设随
6、机变量 与 相互独立，且 服从标准正态分布 ， 的概率分布为XYX(0,1)NY，记 为随机变量 的分布函数，则函数102()zFZX的间断点个数为（ ）()zFZ. 0 . 1 . 2 . 3ABCD【答案】 B【解析】 ()(0)(1)(1012()()ZFzPXYzzYPXYzPzXz独立,XY1()(0)()2ZFzPxzxz（1）若 ，则12Z（2）当 ，则z()()zz为间断点，故选（B）0二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） .cos320lim1xxe第 6 页 共 15 页【答案】 32e【解析】coscos13322
7、00()limli1xxxe02(s)li13x20lim13xe2e（10）设 ，则 ()yxz(1,0)z【解析】由 ，故xyze,xz ln(1)ln(1)1xxxd xe代入 得，1ln2,02ln1zex（11）幂级数 的收敛半径为 21()nnx【答案】 e【解析】由题意知， 210nna1111222 ()nnnnn nnee eae 第 7 页 共 15 页所以，该幂级数的收敛半径为 1e（12）设某产品的需求函数为 ,其对应价格 的弹性 ，则当需求量为()QP0.2p10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加 元【答案】12000【解析】所求即为 因为 ，所以0.2p
8、QP0.2PQ所以 .1.将 代入有 。1020（13）设 , ，若矩阵 相似于 ，则 ()T(1,)TkT30k【答案】2【解析】 相似于 ，根据相似矩阵有相同的特征值，得到 的特征值为T30 T3，0，0。而 为矩阵 的对角元素之和， ， 。TT130k2k(14) 设 ， , 是来自二项分布总体 的简单随机样本， 和 分别为样1X2n(,)BnpX2S本均值和样本方差，记统计量 ，则 2TXSET【答案】 2np【解析】由 222()(1)ETnpnp三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分 9
9、 分）求二元函数 的极值。2(,)lfxyy【解析】2(,)()0xfy第 8 页 共 15 页2(,)ln10yfxy故 0e22(),4xyxyfff则 12(0,)(,)1(0,)xeyeff而x2)0xyxyff二元函数存在极小值1(,)e（16） （本题满分 10 分）计算不定积分 1ln()xd(0)【解析】令 得1xt22,1()txt第 9 页 共 15 页222222 1ln(1)ln()()l()11n1(4)(l()l12)11ln()ln4tdtdttddttt dtttttCtxxx2原 式 ） （ ） ()1l()l(1)ln()22xxxCx（17） （本题满分
10、10 分）计算二重积分 ，其中 .()Dyd 22(,)1(),Dxyyx 【解析】由 得 ，221xsincor3(i)4() (sin)0Dydrrd332(sinco)14(cosi)0rd 2384(cosin)(sico)(sinco)d 3384(cosin)(sico)d第 10 页 共 15 页33 438814(sinco)(sinco)(sinco)34d 8（18） （本题满分 11 分）证明拉格朗日中值定理，若函数 在 上连续，在 上可导，则()fx,ab,ab，得证 .,ab()f证明：若函数 在 处连续，在 内可导，且 ，x00,()0lim()xfA则 存在，且
11、.(0)f()fA【解析】 （）作辅助函数 ，易验证 满足：()()()fbaxfax ()x； 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且()ab(),b,。faxf根据罗尔定理，可得在 内至少有一点 ，使 ，即,()0()f()0()fbfbafbaa（）任取 ，则函数 满足；0,xx在闭区间 上连续，开区间 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在,0,，使得 0,0,x0 0()xfff*又由于 ，对上式（*式）两边取 时的极限可得：0limxfAx000 00 ()lilim()li()xxxxff ffA 故 存在，且 。()f()fA（19） （本题满分 10 分）设曲线 ，其中 是
12、可导函数，且 .已知曲线 与直线()yfx()yfx()0fx()yfx第 11 页 共 15 页及 所围成的曲边梯形，绕 轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边0,1yx()tx梯形面积值的 倍，求该曲线方程。【解析】旋转体的体积为 22()()11xxttVfdf曲边梯形的面积为： ，则由题可知()xtsf2 2()()()()111xxxxttttVtsfdffdf两边对 t 求导可得 2 2()()()()()()txtttxfffffdA继续求导可得 ，化简可得 ftftft，解之得 1(2)(2)2dftftftty123tcy在 式中令 ，则 ，代入 得A1t2()0,(),()ff
13、ftf123tcy。,()3cty所以该曲线方程为： 。1230xy（20） （本题满分 11 分）设 ,1A=0421求满足 ， 的所有向量 ， .13123对中的任意向量 , 证明 , , 线性无关。223【解析】 （）解方程 1A第 12 页 共 15 页11111, 00204220A故有一个自由变量，令 ，由 解得，()r 3xAx21,x求特解，令 ，得12x1故 ，其中 为任意常数 210k1k解方程 231A20421 102012,4A故有两个自由变量，令 ，由 得21x20Ax13,0x求特解 故 ，其中 为任意常数210320k2k（）证明：由于12121212211()
14、()()0kkkkk故 线性无关.02123,第 13 页 共 15 页（21） （本题满分 11 分）设二次型 22123131323(,)()fxaxaxx求二次型 的矩阵的所有特征值。若二次型 的规范型为 ，求 的值。123(,)fx21y【解析】 （） 0aA110|0()11aaEa22()()019()()4aaa123,a（） 若规范形为 ，说明有两个特征值为正，一个为 0。则21y1) 若 ，则 ， ，不符题意020312) 若 ，即 ，则 ， ，符合2a13) 若 ，即 ，则 ， ，不符题意3 20综上所述，故（22） （本题满分 11 分）设二维随机变量 的概率密度为(,)
15、XY0(,)xeyfy其 他求条件概率密度 Yfyx求条件概率 1P【解析】第 14 页 共 15 页（I）由 得其边缘密度函数0(,)xyefy其 它0xxxfd故 | (,)1()0yxxfyf yx即 |()0yxf其 它（II） 1,1|PXYPXY而 111001,(,) 2xxxyfdyedye ()|,xxyYyfed1110|0yyPee12|XYe（23） （本题满分 11 分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以 、X、 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数。YZ求 .10PX求二维随机变量 的概率分布.(,)Y【解析】 （）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有 1 个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球1234(0)9CPXZ（）X，Y 取值范围为 0，1，2，故第 15 页 共 15 页1 13 236 6112610, ,04, , ,2,1090,2,2,0CCPXYPXYYYCPXPX XY0 1 20 1/4 1/6 1/361 1/3 1/9 02 1/9 0 0
