1、初等数论（四）-几个著名的数论定理一些常用概念欧拉函数 -介于 和 之间与 互质的自然数个数()n1n缩系-在 个剩余类中各取一个元素，它们形成一个模 的缩系n问题：为什么要介绍缩系这个概念呢？这是因为当我们定一个缩系后，剩余类中的其它元素均可以由缩系生成。设 ，则有 使得(,)1am,st。任取一个不是缩系中的元素 ，就有bstb从而有。(od)am即， 可以表成 的形式（即，由 的若干倍生成） ，从而凡是与 有关的数论b(mod)ka b问题（在模 的意义下可以转化为 的问题） 。这就是群论中的生成元的问题。在高中里面的复数理论中也是如此。下面这个结果表明了一种构造缩系的方法：例 1. 设
2、 。如果 分别是模 和模 的缩系，那么(,)1mn1212,.,.,tsabmnijSmnijt就是模 的缩系。解答：第一步。先证明 中每一个元素都与 互质。这是显然的。第二步。证明 任意两个数关于模 不同余。假定有某两个数 与 关ijmbnaij于模 同余，mn(od)ijijbnamn则必有 。从而有()()ijj， 0,(0()i iam即有 ，矛盾！,ijjba第三步。证明：如果一个数 与 互质，那么必然与 中某个元素关于模 同余。cmnSn由于 方程 在模 剩余类中有解；由于 所以 。(,)1mn(od)x(,)1c(,)1x因此， 与某个 在模 的同一个剩余类中，即有xib(mod
3、);ibcn同理有 使得ja()jac自然有 (mod);.ijbnac根据 (,)1mn(od)ijbncn这就网完成了证明。例 2.在 中有多少个数与 互质？1,23.,apap解答:在 中不与 互质的数有形式 。所以a 1,akp。1()aapp如果自然数 那么12.,kn121().kpp关于 还有其他表达方式：n。()pn质 数注意：大家可以尝试用容斥原理来证明这个公式。下面介绍著名的费马小定理例 2.设 是一个自然数， 。证明： 。这就是著名的欧拉定理。m(,)=1am()1mod)a如果取 为质数，那么就成为了费马小定理。p证明：设 是一个模 的缩系。那么12,.(t)x12,.
4、,tax中任何两个都与 互质，其中没有两个相同。从而它也是一个缩系，在模 的意义下，mm仅仅是 的一个置换。从而有12,.,tax12,.tx。12.(mod)ttax证明完毕。例 3.证明：任意的 个整数中一定可以选出 个数，它们的和可以被 整除，这里2ppp是一个质数。p证明：反证法。如果 中任意 个数 的和都不是 的倍数，那么121,.pa12,.piia由费马小定理有。12(.)(mod)piii注意到形如上式的组合共有 个，对所有这样可能的组合求和后得到;pC1212(.)()ppiiia因为 。21modpC展开后得到形如 的项。在 中含有121(.)piiia12.(1)liiap的项有 个（即，从 以外的书中取 个与它搭12(lii21plC12,.piiapl配成形如 的组合） 。注意到 被 整除，12,.piia21()(.(1)!pl ll 因此上面和式左边 。矛盾表明结论成立！0(mod)
