1、1分式方程的几种特殊解法白云中学：孙权兵解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。1、加减相消法。例 1、解方程： 。2017812071822xxx分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。如果我们发现方程两边都加上分式 ，则可以通201782x过在方程两边都加上分式 ，就将原方程化简成 ，0172
2、8x 12x从而轻松获解。解：原方程两边都加上 ，则可得：201782x12x去分母，得： 1x解得： x经检验， 是原分式方程的解。12、巧用合比性质法。2例 2：解方程： 。7812x分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多 1 的话，则可以利用合比性质将分子化为 1，从而可以轻易将方程的解求出。解：由合比性质可得： 7-81-2xx）（）（）（）（712x去分母并化简得： ，即062x0)2(3x（解得： 3x或经检验， 是原分式方程的解。2或3、巧用等比性质法。例 3、解方程： 。1324x分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原方程化简后再
3、求解。解：由等比性质可得： 。1324)()23(4xx）（）（1324x化简得： 030x经检验， 是原分式方程的解。4、分组化简法。例 4、解方程： 。413512xx分析：此方程若直接通分将会出现高次方程，并且运算过程十分复杂，做法不可取。此题可采用分组组合后各自通分的方法来求解。解：原方程可化为： 514312xx分别通分并化简，得： )3(2)(（解得： 5.3x经检验， 是原分式方程的解。.5、倒数法。例 5、解方程： 。212017x分析：本题若按常规方法去做，需通分和去分母，然后再求解，过程较复杂。但如果采用倒数法，则可以简化解题过程。解：原方程两边取倒数，得： 12-2017
4、x移项化简，得： x4方程两边取倒数，得： 1207x解得： 2018x经检验， 是原分式方程的解。6、列项变形法。例 6、解方程： 。241)0(9)2(1)( xxx分析：将该方程直接去分母，方程两边的运算十分繁杂。若注意到方程的分母特点是两个连续因式的积，它们的差为 1。凡是这样的分式或分数都能拆开成两个分式或分数的差，使得除首、末两项之外的中间项可以相互抵消，从而达到化繁为简。 。解：原方程可化为： 241091211 xxx2410x去分母化简得： 02100） （， 即 （ xx解得： 210x或经检验， 是原分式方程的解。或7、换元法。例 7、解方程： 。2692x5分析：注意到
5、 与 互为倒数，因此可考虑换元法，化962xx2繁为简，化难为易。解：令 ，则 ，故原方程可化为：962xyyx121y去分母化简得： 010122）， 即 （ yy解得： 1y962x所以化简得： 0)3,09622 xx即 （解得： 3x经检验， 是原分式方程的解。8、化为整式部分和分式部分之和的变形法。例 8、解方程： 。126412xx分析：若一个方程的分子的次数高于或等于分母的次数，则可把这个分式化为化为整式部分和分式部分之和的形式，如此即可妙解分式方程。解：原方程可化为： 121xx621x去分母得： 解得： 0x经检验， 是原分式方程的解。9、巧用特殊方程法。例 9、解方程： 。
6、2531x分析：对于方程 ，我们易知它的根为 。而aax1,21本题可化为 的形式，所以利用上述结论可巧妙将方程解ax1出。 。解：原方程可化为： 2131x或213xx解得： 51或经检验， 是原分式方程的解。2x或10、设辅助元法。例 10、解方程： 。42)13(12xx分析：此方程若直接通分将会出现高次方程，并且运算过程十分繁杂。如果我们观察到原方程的特殊结构，采用设辅助元，令7，则可得 ，而原方程则可化为 ，13xy13)(yx 42)(yx进一步可构造 和 为根的一元二次方程，然后在求出 和y的基础上获得原方程的解。y解：设 ，则可得 13x13)(yx又原方程则可化为 42)(y
7、所以由、可知：和 可以看作一元二次方程 的两个实数根。xy 042132z解之得： 6,721z所以有： 或xy7xy进一步解得： 。23,6,1432 x经检验， 是原分式方程的解。, 4321xx11、函数图象法。例 11、解方程： 。032x分析：原方程可化为 ，我们可以将此方程的两边分别看作二次函数 和反比例函数 。然后在同一直角坐标系分xy2xy3别作出它们的图象，两个函数交点的横坐标即是原方程的解。解：原方程可化为： 。将此方程的两边分别看作二次x32函数 和反比例函数 。xy2y8在同一直角坐标系分别作出它们的图象（如下图）：观察图象，可以发现两个函数的图象只有一个交点，且交点坐标为（1,3）故原方程的解为 。1x经检验， 是原分式方程的解。以上介绍了分式方程的十一种解题技巧，解题关键在于把握分式方程整体的结构特点，选择恰当的技巧和方法，这样才能化繁为简，化难为易，轻松获得原方程的解。有时候还需几种技巧和方法融为一体，共同发挥作用。
