1、 DCAOB2015 年上海初三数学竞赛（大同中学杯）（2015 年 12 月 6 日）解答本题可以使用科学计算器一填空题（每小题 10 分，共 80 分）1、已知 AB 为圆 O 的直径， AB=1，延长 AB 到点 C，使得 BC=1，CD 是圆 O 的切线，D是切点，则 的面积为_。ABD解答：依据切割线定理可以得到： 。22BAD因为可以得到 C因此有 。21BAD因为 AB 为圆 O 的直径，所以 时直角三角形。ABD依据勾股定理有 。22221133B而 216ABDS2、有编号分别为去 1,2,3,4,5,6,7 的 7 个大小相同的小球，从中任取 3 个小球，则取出的 3个小球
2、的编号和为奇数的概率为_。解答：从七个小球任意取出三个小球的取法为 种，因为没有小球的数字不同，这375C样这三个球的数字和有 35 和结果。要使用和为奇数。应该包括两种下面情况第一种三个数均为奇数，也就是从 1,3,5,7 四个数中取三个，取法为 34C第二种，一个奇数，两个偶数，也就是从 1,3,5,7 的四个数中取 1 个，从 2,4,6 三个数中取两个，取法有 .2431C这样和为奇数一共有 种。从而取出的 3 个小球的编号和为奇数的概率为6 16353、实数 满足 ， ， ，则 的值为_。,xy234y24xyx解答：因为2yx上述两个相减，得到： 。因为()3()0yxxyxyBC
3、O1O2PA所以有 。3xy上述相加得到 2 23()4()3()4xyxyxyxy所以 。因此1xy214. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的 23 倍，则这三个素数为_解答：设这三个素数为 。则有 。因为 23 是素数，从,abc23()abc，可以得到 23 能够整除三个素数 的 积。从而可以得到其中23()abc,a有一个素数必为 23。假设这样就有 124(1)24612bccbc因为 为素数，所以得到 或,bc5,73,这样得到三个素数为 5,7,23 或 3,13,23。5. 如图，圆 与圆 外切于点P ，从圆 上点A 作圆 的切线AB ， B 是切点，连1O21O2接AP 并延
4、长，与圆 交于点C 已知圆 、圆 的半径分别为2、1，则21_AB解答：做如图所示的辅助线。可以得到 2121/OPOCA为此设 ，则k.k应用切割线定理有： 2236.ABPCAB所以 。6k6、 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中， MON 的两边分别是射线 y x(x 0)与x 轴正BABAMNPQ半轴点A(6,5)，B(10,2) 是 MON 内的两个定点，点P、Q分别是 MON 两边上的动点，则四边形 ABQP 周长的最小值是_解答：本题主要就是应用对称。应为四边形ABQP ，其中一个边 AB 为定值。要求四边形ABQP 周长的最小值，只要求另外三边的最小值。从对称可以得到 , .
5、/(56)A/(102)B四边形另外三边的最小值为 /依据两点间距离公式有。 ，/ 22(105)(6)89AB22(105)()34AB从而最小值为 。89347. 不定方程 的整数 解共有_组。22xyxy(,)x解答：设 ，所以从 ，可以得到k2y22kxyk所以 。2233kkxy这样 是方程 的两个根，并且根为整数。,220tk所以 。因此有 。222()483k08k同时要保证 为整数。这样就有 ， ， ， ，2()kxy356当 时，0k(,)0,当 时，方程为方程 没有整数解。32310t当 时，方程为方程 没有整数解。5k5当 时，方程为方程 ，有整数解为 2,4。所以 或6
6、268t (,y)2,4x(,)当 时，方程为方程 ，有整数解为 4,4。所以 8k10整数 解共有 4 组(,y)xDPDCBA8. 设 是给定的正实数， 是给定的大于 1 的整数，实数 满足an123,nxx，则22213xxa的最2222113()()()()()n nxx21()nx大值_。解答：因为 2222211313()()()()()n nxxxx21()nx22324211()nnnxn 23234211)()()nnnxnnaxxx有这样的一个结论，因为 22 222()xyyyyy而 123234211()()nnxnnxxxx22 22131342 2 23453 11
7、22 21 1) ()()()() nnnnxnxxxx a所以最大值为 ()a二、解答题（第 9、10 题，每题 15 分，第 11、12 题，每题 20 分，共 70 分）9. 如图，在ABC中，BC a，CA b， ACB 60，ABD 是正三角形，P是其中心，求 CP 的长度解答：分析作 D 点关于 AB 的对称点 。/D则 为等边三角形，这样就有 ，已知 ACB 60/AB/06AB所以 四点共圆。这个圆过 P/,C点。连接 AP，BP 。因为P是正三角形ABD 的中心，所以 023sin63ABAB因为A,C,B,P 四点共圆，也就是四边形ACBP 为圆内接四边形，应用圆内接四边形
8、托勒密定理可以得到 ABPCAPBC所以 。3()ab10. 在1，2， ，2015 这2015 个正整数中选出 个数，使得其中任意两个不同的数的和k都不是50 的倍数，求k 的最大值解答：因为所有的整数，被5除余数为0,1,2,3,4， ,47,48,49。共50中情况。而。201415下面吧从1,2， ，2015这2015个数被50除，余数的情况列表如下。余数 1 2 15 24 25 26 48 49 0第1行 1 2 15 24 25 26 48 49 50第2行 51 52 65 74 75 76 98 99 100第3行 101 102 115 124 125 126 148 14
9、9 150 第40行 1951 1952 1998 1999 2000第41行 2001 2002 2015 第1行取1到25这25个数，取50这个个数，任意两个数的和都不能被50整除。第2行取51到74这24个数，和第一组取得的数组成新的数集，则这新的数集任意两个数的和不能被50整除。以后每行都取前24个数，取到第40行位置。最后一行取15个数。这样正整数集合最大数值个数为 264(021)597这样集合为这样式样1,5,0,1245,174,952,1974,2050这个数可以换成1到2015之间50的倍数任意一个数。因此 的最大值为977.k11. 已知ABC的三边长均为正整数，周长为
10、35，G 和I 分别为ABC的重心和内心，且 GIC 90，求边AB的长度OFMQPNEGDICA BG ICA B解答：本题有一定难度，但是抓住内心和重心的特征还是能够找到解题的路径的。由题意知道 GIC 90，并且 平分 ,出现角平分+垂直ACB的特征。这样可以构造出三角形。为此延长GI和反向延长 GI.很容易得到 为等腰三角形，也就是CMNMN过垂心G和内心I分别做AC和 BC边的垂线。设 的内接圆的半径为 。r由面积法得到： CGMNCIMINSS也就是 1122PGFrC所以 r因为G为三角形ABC的重心，可以得到123BACBd用面积法有： 2SSbabc化简为 16也就是 35，
11、因为 为正整数6()ab,ab所以得到 ，则k6k为此 为方程 的两个根。,2350t(6)49kk有 。因此6ab4,5当 时，方程为 所以此时k230(1)014,0t tt。因此 。10,41AB当 时，方程为 没有整数解。5k25t因此 。1AB12. 设 是正整数， 不是 4的倍数，求证： 不是完全平方数 ,ab2ab(3)57)ab证明： ，当 为同奇数，或者同偶数时，可以得到2(),一定是4的倍数。已知 不是 4的倍数，所以 中一个为2,ab奇数，一个为偶数。假设 。因为21,anbm222 2(3)57)15()(1)()084808408415abnm因为 能够被8整除。22(1)0()nnm所以此时 被8除余5.因为要是完全平方数，奇数的时被8除余1.因此此种情357)ab况下不是完全平方数。假如 ，因为2,1mn222 22(3)57)5()(1)()084(16840116(ababmnn n从而 能够被8整除，所以此时202()(1)mn被8除余5.因为要是完全平方数，奇数的时被8除余1.因此此种情况下不是(3)57)ab完全平方数。综合可以得到： 不是完全平方数(3)57)ab
