1、6-1-9.鸡兔同笼问题.题库 教师版 page 1 of 56-1-9.鸡兔同笼问题(三)教学目标1. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”.2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题,需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象知识精讲一、鸡兔同笼这个问题,是我国古代著名趣题之一大约在 年前,孙子算经中就记载了这个有趣的问150题书中是这样叙述的:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有 个头;从下面数,有 只脚求笼中各有几只鸡和兔?394你会解答这个问题吗?你想知道孙子算经中是如何解答这个问题的吗? 二、解鸡兔同笼的
2、基本步骤解答思路是这样的:假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”这样,鸡和兔的脚的总数就由 只变成了 只;如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的947总数多 因此,脚的总只数 与总头数 的差,就是兔子的只数,即 (只)显然,鸡的只14735473512数就是 (只)了。 这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已除此之外,352“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”假设法顺口溜:鸡兔同笼很奥妙,用假设法能做到,假设里面全是鸡,算出共有几只脚,和脚总数做比较,做差除二兔找到解鸡兔同笼问题的基本关系式是:如果假设全是兔,那么则有:鸡数=
3、(每只兔子脚数鸡兔总数-实际脚数)(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)兔数=鸡兔总数- 鸡数如果假设全是鸡,那么就有:兔数=(实际脚数- 每只鸡脚数鸡兔总数)(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)鸡数=鸡兔总数- 兔数当头数一样时,脚的关系:兔子是鸡的 2 倍当脚数一样时,头的关系:鸡是兔子的 2 倍在学习的过程中,注重假设法的运用,渗透假设法的重要性,在以后的专题中,如工程,行程,方程等专题中也都会接触到假设法例题精讲模块一、多个量的“ 鸡兔同笼 ”鸡兔同笼问题【例 1】 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共 18 只,共有腿 118 条,翅膀 20 对(蜘蛛 8 条腿;蜻蜓 6 条腿,两对翅膀;蝉 6 条腿,一对
4、翅膀),求蜻蜓有多少只?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点,蜻蜓、蝉都是 6 条腿,只有蜘蛛 8 条腿.因此,可先从腿数入手,求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是 6 条腿,则总腿数为 (条) ,610所差 (条),必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以,应有180(只) 蜘蛛.这样剩下的 (只 )便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手,假()651853设 13 只都是蝉,则总翅膀数 (对),比实际数少 (对) ,这是由于蜻蜓有两对翅132037膀,而我们只按一对翅膀计算所差,这样蜻蜓只数可求 (只
5、).76-1-9.鸡兔同笼问题.题库 教师版 page 2 of 5【答案】 只7【巩固】 希望小学的生物标本室里有蜻蜓,蝉,蜘蛛共 11 只,它们共有 74 条腿,10 对翅膀,由图 7 知该标本室里有 只蜘蛛。图 7【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】希望杯,4 年级,1 试,假设思想方法【解析】 这个题目就是有三种动物的鸡兔同笼问题,需先转化成两种动物。蜻蜓与蝉有共同的特征,所以我们可以先把它们看成一种动物,取名叫蜻蝉。用假设法知:如果这 11 只全是蜻蝉,则应长腿:(只) ,比实际少了: (只) ,用一只蜘蛛去换一只蜻蝉,则就多 2 只,要多1674688 只则
6、需要蜘蛛 (只) 。82【答案】 只4【巩固】 犀牛、羚羊、孔雀三种动物共有头 26 个,脚 80 只,犄角 20 只已知犀牛有 4 只脚、1 只犄角,羚羊有 4 只脚,2 只犄角,孔雀有 2 只脚,没有犄角那么,犀牛、羚羊、孔雀各有几只呢?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 这道题有三种不同的动物混合在一起,这样假设起来会比较麻烦,像前面的题一样,我们可以观察一下:虽然有三种不同的动物,但是犀牛和羚羊都是 4 只脚,这样,只看脚数,就可以把孔雀与这两种动物分开,转化成我们熟悉的“鸡兔同笼”问题,然后再通过犄角的不同,把犀牛和羚羊分开,也就是说我们
7、需要做两次“鸡兔同笼”假设 26 只都是孔雀,那么就有脚: (只) ,比实际的少: (只) ,这说明孔雀2658052多了,需要增加犀牛和羚羊每增加一只犀牛或羚羊,减少一只孔雀,就会增加脚数:(只) 所以,孔雀有 (只) ,犀牛和羚羊总共有 (只) 4281614假设 14 只都是犀牛,那么就有犄角: (只) ,比实际的少: (只) ,这说明犀4牛多了羚羊少了,需要减少犀牛增加羚羊每增加一只羚羊,减少一只犀牛,犄角数就会增加:(只) ,所以,羚羊的只数: (只) ,犀牛的只数: (只) 1648小结这道题出现了三种动物,关键是寻找不同动物的相同点,把三种动物化为两类,先使用“鸡兔同笼”问题的解
8、法把另外特殊的一种区分出来,再使用另外条件区分具有相同点的动物【答案】犀牛 只,羚羊 只,孔雀 只8612模块二、多个量的“ 鸡兔同笼 ”变例【例 2】 食品店上午卖出每千克为 20 元、25 元、30 元的 3 种糖果共 100 千克,共收入 2570 元已知其中售出每千克 25 元和每千克 30 元的糖果共收入了 1970 元,那么,每千克 25 元的糖果售出了多少千克?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 每千克 25 元和每千克 30 元的糖果共收入了 1970 元,则每千克 20 元的收入: 元,2570196所以卖出: 千克,所以卖出每千
9、克 25 元和每千克 30 克的糖果共 千克,602 3相当于将题目转换成:卖出每千克 25 元和每千克 30 克的糖果共 70 千克,收入 1970 元,问:每千克 25 元的糖果售出了多少千克?转换成了最基本的鸡兔同笼问题假设全是每千克 元的,(千克) ,所以 30 元的是 千克,所以 元的有: (千197535=444=克)关键:将三种以及更多的动物/东西,转化为两种最基本模型。即:抓住转化后的 “头”与“脚”。【答案】 千克26【巩固】 年春,我国南方遭受到重大雪灾,实验小学三年级一班的 名同学给南方的灾区捐款 元。08 42450其中有 名同学每人捐 元,其他同学捐 元或 元,则捐
10、元的有 名,捐 元的有 15102102名。【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,3 年级,第 8 题,假设思想方法6-1-9.鸡兔同笼问题.题库 教师版 page 3 of 5【 解析解析 】 由题意, (名)同学捐 元或 元,一共捐了 (元) ,那么捐 元的421=301024501239020同学有: (人) ,捐 元的有: (名) 。(9)(2)910【答案】 名1【例 3】 某场足球赛赛前售出甲、乙、丙三类门票共 400 张,甲类票 50 元张,乙类票 40 元/张,丙类票30 元/张,共收入 15500 元,其中乙类、丙类门票张数相同则甲类、乙类、丙
11、类门票分别售出多少张?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,二试,第 14 题【解析】 鸡兔同笼问题,乙类、丙类门票张数相同,则可以看成价格为 35 元张的同一类门票容易得到甲类门票售出 张,乙类、丙类各售出(400 -100)2=150 张()(405105310-=【答案】甲门票售出 张,乙和丙售出 张1【例 4】 有红、黄、绿 种颜色的卡片共有 张,其中红色卡片的两面上分别写有 和 ,黄色卡片的两面3 12上分别写着 和 ,绿色卡片的两面上分别写着 和 现在把这些卡片放在桌子上,让每张卡片写2有较大数字的那面朝上,经计算,各卡片上所显示的数字之和为
12、若把所有卡片正反面翻转一234下,各卡片所显示的数字之和则变成 问黄色卡片有多少张?13【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 开始的时候,黄色和绿色的卡片上都是 ,红色卡片上是 如果全部是红色卡片,那么数字之和为: ,比实际的少: 每增加一张黄色或绿色卡片,那么数字就会增加:210240那么,黄色和绿色卡片之和: (张) ,红色卡片有: (张) 331410346翻转过来后,红色和黄色卡片上都是 ,绿色卡片上是 红色卡片有 张,剩下的绿色和黄色卡26片上的数字之和为: 如果 张卡片都是黄色的,那么这 张卡片上的数字之和123657为: ,比实际的少:
13、 每增加一张绿色卡片,数字之和就会增加: ,4 21所以,绿色卡片有: (张) ,黄色卡片有: (张) 3【答案】 张1【例 5】 商店出售大,中,小气球,大球每个 3 元,中球每个 1.5 元,小球每个 1 元.张老师用 120 元共买了 55 个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 因 为 总 钱 数 是 整 数 ,大 ,小 球 的 价 钱 也 都 是 整 数 ,所 以 买 中 球 的 钱 数 是 整 数 ,而 且 还 是 3 的 整 数 倍 .我们 设 想 买 中 球 ,小 球 钱 中
14、 各 出 3 元 .就 可 买 2 个 中 球 ,3 个 小 球 .因 此 ,可 以 把 这 两 种 球 看 作 一 种 ,每 个 价 钱 是 (1.52+13)(2+3)=1.2(元 ). 从 公 式 可 算 出 ,大 球 个 数 是 (120-1.255)(3-1.2)=30(个 ). 买 中 ,小 球 钱 数 各 是 (120-303)2=15(元 ). 可 买 10 个 中 球 ,15 个 小 球 . 【答案】大球 个,中球 个。小球 个30【例 6】 从 甲 地 至 乙 地 全 长 45 千 米 ,有 上 坡 路 ,平 路 ,下 坡 路 .李 强 上 坡 速 度 是 每 小 时 3
15、千 米 ,平 路 上 速 度是 每 小 时 5 千 米 ,下 坡 速 度 是 每 小 时 6 千 米 .从 甲 地 到 乙 地 ,李 强 行 走 了 10 小 时 ;从 乙 地 到 甲 地 ,李 强 行 走 了 11 小 时 .问 从 甲 地 到 乙 地 ,各 种 路 段 分 别 是 多 少 千 米 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 把 来 回 路 程 452=90(千 米 )算 作 全 程 .去 时 上 坡 ,回 来 是 下 坡 ;去 时 下 坡 回 来 时 上 坡 .把 上 坡 和 下坡 合 并 成 “一 种 “路 程 ,根 据 例 15,平
16、 均 速 度 是 每 小 时 4 千 米 .现 在 形 成 一 个 非 常 简 单 的 “鸡 兔 同笼 “问 题 .头 数 10+11=21,总 脚 数 90,鸡 ,兔 脚 数 分 别 是 4 和 5.因 此 平 路 所 用 时 间 是 (90-421)(5-4)=6(小 时 ). 单 程 平 路 行 走 时 间 是 62=3(小 时 ). 从 甲 地 至 乙 地 ,上 坡 和 下 坡 用 了 10-3=7(小 时 )行 走 路 程 是 45-53=30(千 米 ). 又 是 一 个 “鸡 兔 同 笼 “问 题 .从 甲 地 至 乙 地 ,上 坡 行 走的 时 间 是 (67-30)(6-3)
17、=4(小 时 ). 行 走 路 程 是 34=12(千 米 ). 下 坡 行 走 的 时 间 是 7-4=3(小 时 ).行走 路 程 是 63=18(千 米 ).【答案】上坡 千米,平路 千米,下坡 千米.218【例 7】 在一次考试中有选择题、填空题和解答题三类题共 道选择题和填空题每题 分,解答题每题6-1-9.鸡兔同笼问题.题库 教师版 page 4 of 5分这次考试总分是 分,其中选择题和解答题的分值比填空题多 分,这次考试有多少道选1010 4择题?多少道填空题?多少道解答题?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法,希望杯【解析】 选择题和填空题
18、的分值一样,可以归为一类。如果这次考试的 道题全是解答题,则总分应是:2(分) ,但实际总分是 分,所以选择题和填空题共有: (道) ,21010 01420( ) ( )解答题有: (道) 选择题比填空题少: (分),选择题有:221046(道 ),填空题有: (道)648( ) 8【答案】选择题 题,填空题 题,解答题 题812【例 8】 某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种:一等奖 1000 元,二等奖 250 元,三等奖 50 元.共有 100人中奖,奖金总额为 9500 元.问二等奖有多少名? 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 假设
19、全是三等奖,共有:9500/50=190(人)中奖,比实际多:190-100=90(人) 1000/50=20,也就是说:把 20 个三等奖换成一个一等奖,奖金总额不变,而人数减少了:20-1=19(人) 250/50=5,也就是说:把 5 个三等奖换成一个二等奖,奖金总额不变,而人数减少了:5-1=4(人) 。因为多出的是 90 人,而:90=19*2+4*13. 即:要使总人数为 100,只需要把 20*2=40 个三等奖换成 2 个一等奖,把 5*13=65 个三等奖换成 13 个二等奖就可以了。 所以,二等奖有 13 个人。【答案】 人13【巩固】 有 50 位同学前往参观,乘电车前往
20、每人 1.2 元,乘小巴前往每人 4 元,乘地下铁路前往每人 6 元.这些同学共用了车费 110 元,问其中乘小巴的同学有多少位?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 由于总钱数 110 元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是 5 的整数倍. 如果有 30 人乘电车, 110-1.230=74(元). 还余下 50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了. 如果有 40 人乘电车 110-1.240=62(元). 还余下 50-40=10(人)都乘地下铁路前往,钱还有多(62610).说明假设的乘电车人数又多
21、了.30 至 40之间,只有 35 是 5 的整数倍. 现在又可以转化成“鸡兔同笼 “了: 总头数 50-35=15, 总脚数 110-1.235=68. 因此,乘小巴前往的人数是 (615-68)(6-4)=11. 【答案】 1【例 9】 学 校 组 织 新 年 游 艺 晚 会 ,用 于 奖 品 的 铅 笔 ,圆 珠 笔 和 钢 笔 共 232 支 ,共 花 了 300 元 .其 中 铅 笔 数 量是 圆 珠 笔 的 4 倍 .已 知 铅 笔 每 支 0.60 元 ,圆 珠 笔 每 支 2.7 元 ,钢 笔 每 支 6.3 元 .问 三 种 笔 各 有 多 少支 ?【考点】鸡兔同笼问题 【难
22、度】4 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【 解 析 】 从 条 件 “铅 笔 数 量 是 圆 珠 笔 的 4 倍 “,这 两 种 笔 可 并 成 一 种 笔 ,四 支 铅 笔 和 一 支 圆 珠 笔 成 一 组 ,这 一 组 的 笔 ,每 支 价 格 算 作 (0.604+2.7)5=1.02(元 ). 现 在 转 化 成 价 格 为 1.02 和 6.3 两 种 笔 .用 “鸡 兔 同 笼 “公 式 可 算 出 ,钢 笔 支 数 是 (300-1.02232)(6.3-1.02)=12(支 ). 铅 笔 和 圆 珠 笔 共 232-12=220(支 ). 其 中 圆 珠 笔 220(4
23、+1)=44(支 ). 铅 笔 220-44=176(支 ). 【答案】钢笔 支,圆珠笔 支,铅笔 支【例 10】 某次考试有 52 人参加,共考 5 道题,每题做错人数的统计表如下图6-1-9.鸡兔同笼问题.题库 教师版 page 5 of 5还知道每人都至少做对 1 道题,做对 1 道题的有 7 人,5 道题全对的有 6 人,做对 2 道题和 3 道题的人数一样多那么做对 4 道题的人数是多少?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 总共答对了: 道题,做对 2、3、4 道题的人总共有:52602390( )人,这 39 人总共答对了: 道题可假设
24、做对 2 道题的有 1 人,52763917561假设出错量: ,所以假设正确,对二、三道题的各19450( ) ( ) 1 人,对 4 道题的 37 人难点:给的是做错题的表,而条件给的是做对的条件。【答案】 人【巩固】 某次数学考试考五道题,全班 52 人参加,共做对 181 道题,已知每人至少做对 1 道题,做对 1 道的有 7人,5 道全对的有 6 人,做对 2 道和 3 道的人数一样多,那么做对 4 道的人数有多少人?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 对 2 道,3 道,4 道题的人共有 52-7-6=39(人). 他们共做对 181-
25、17-56=144(道). 由于对 2 道和 3 道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对 2.5 道题的人(2+3)2=2.5).这样 兔脚数=4,鸡脚数=2.5, 总脚数=144,总头数=39. 对 4 道题的有 (144-2.539)(4-1.5)=31(人). 【答案】 人31【例 1】 (2009“数学解题能力展示“ 读者评选活动三年级初赛 11 题)一些奇异的动物在草坪上聚会. 有独脚兽(1 个头、1 只脚) 、双头龙(2 个头、4 只脚) 、三脚猫(1 个头、3 只脚)和四脚蛇(1 个头、4 只脚). 如果草坪上的动物共有 58 个头、160 只脚,且四脚蛇的数量恰好是双头龙数
26、量的 2 倍. 那么,有_只独脚兽参加聚会. 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】5 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法,迎春杯,整体法【 解析解析 】 方法一:列表分析奇异动物的头和脚如下:因为四脚蛇恰好是双头龙数量的 2 倍,所以可以将两只双头龙和一个四脚蛇打捆,这样每捆三个动物,4 个头 12 只脚,恰好是四个三脚猫,这样本题就可以看成是两类动物:一类是 1 个头 1 只脚,一类是 1 个头 3 只脚,两类动物共计 58 个头,160 脚,假设法独角兽只数为: (只)583160=7方法二:设独脚兽有 只,双头龙为 只,三脚猫有 只,则四脚蛇为 只.根据题意,有xyz2y,即 ,故 ,则 ,得25843160xyz45812360z42yx(58)3160xx,即独脚兽有 只.77