1、第 1 页 共 4 页函数 与 （ ）的图像交点个数再研究xyalogax01顾朝阳 安徽省六安第一中学 237009陆学政 安徽省六安第一中学 237009关于同底的指数函数 与对数函数 （ 为常数， 且 ）图像交点个数问xylogayx0a1题，很多文章从不同的角度作了研究对于 的情况，无论是得出的结论还是结论的证明过程，均1是正确的，并无争议之处但是对于 的情况，笔者查阅了手头的资料， 发现不少文章的研究0有值得商榷之处，现阐述如下1 对两则典型案例的质疑典型案例 1：利用研究临界状态得出结论文【1】首先求出函数 与 （ ）的图像仅有一个交点的“临界状态“时xyalogax01的值：设函
2、数 与 （ ）的图像与 交于点 ，此时，函数axl yx0(,)Py与 （ ）的图像在点 处有相同的切线 ，xyloga010(,)Pxlnxa， ，又 ，故 ，得 （1(l)lna0lx0lna0ln01l0l1舍去），又由 ，得 ， ， ，从而0lxloga0lx0lxa0xe，得 在此基础上，作者紧接着得出结论：当 时，函数 与01lnae 1exya的图像有 个交点；当 时，函数 与 的图像有 个交点logayx0eaxyalogax3质疑 1：当两个函数的图像有唯一公共点 ，为何函数 与 （ ）的图像0(,)Pxlay01在点 处有相同的切线？依据似乎只能是直观感觉更重要的是，在得出
3、 这个“临界值”0(,)Pxy e后，为何“ 时图像有 个交点”，而不是 “ 时图像有 个交点？ea31ea3为何 时交点为 个，而不是 个， 个， ？57典型案例 2：利用等价转化得出结论文【2】的证明过程如下（限于篇幅，作了 简化）：易知 时，函数 与 在01axyalogax上有且只有一个交点考 虑 与 在 外的交点，若有 则成对出现，不妨设交yxxyalogxy点为 ， ， 则 ，故 ，(,)a(,)1a1lnl设函数 ， 利用导数得 在 单调递减，在 单调递增，()lngx(0,1)x()gx0,e(,)e第 2 页 共 4 页为 ， 的最小值，且 ，故 ，从而1()ge()lngx
4、(0,1)x0lim()(1)xg10e推出 ，即当且 仅当 时，方程 有三个解，而当10()e(,)ealogxa时，方程 恰有一个解且在 上(),ealogxay质疑 2：由 ，依据是什么呢？显然，得出 是利用了幂10e1()e1()e函数 在区间 上的单调递增特征，是正确的；而得出 则是利用了指数函数1yx(0,) 1()e的单调递减特征，但是，由于 ，因此应该是 ，从而()xe1ee1()e与 的大小关系无法利用不等式的传递性得到，此处明显犯了错误另外，作者的推理思路是1()e由“已知三个交点”得到 ， 只是 “三个交点”的必要条件，能保证二者的“等1(0,)ea1(0,)ea价性”吗
5、？显然不能令人信服文 【3】、【4】、【5】在借鉴文【2】的方法时，出现了同样的错误还有一些文章，作者仅仅 是通过数学实验的方式，利用几何画板，直观地观察得出结论，虽然有其独特的优势，但 的范围只是近似的，且作者并没有辅以严 格的代数推理过程，其欠缺之处比较明显，此处不再赘述2 问题的求解上述两则案例的最终结论均是正确的，只是推理 过程出 现了问题笔者起初 试图在遵循原作者思路和处理方法的前提下，能妥善解决其中的含糊不清或错误 之处，得出 严格的、无任何漏洞的证明过程遗憾的是，目前尚未实现这个目标，只能留待进一步研究，也期待能得到各位同仁的不吝 赐教下面给出笔者探究得出的另一种证明思路，供参考
6、：由于 ，因此当 时， ，而 ，因此仅当 时，函数01axlog0ayx0xya(0,1)x与 的图像才可能产生交点，即只需考 虑 的情形xylog 1由于 （ ）为减函数，而 为增函数，结合图像易知 与 有且只有一x yxxya个交点，利用原函数与反函数关于 的对称特征，可知当 时， 与 的图0logax像必有一个交点在直线 上，且若有 别的交点， 则一定成 对出现，因此只需考虑在直线 下方yx y的情形第 3 页 共 4 页若点 是 与 图像的一个交点，其中 ，则点 也应该是(,)mnxyalogax01nm(,)n、 图像与某条直 线 （ ）的唯一交点故有xyalogyk0=1， nkm
7、1mn1llnllnla由 得 ，即 ，解得 ，从而lnll()lkmllkmln1ke，所以l1ke， lnln11lnl()kkaemln1l()kkeln1kek01将该式看作 关于 的函数， 问题转化为： 的取值与 的取 值个数之间有何关系？a对 求导并化简整理得 ，k()akln213ln()kke注意到 ， ，因此只需研究 的符号ln10ke3()021lfk求导得 ， ，令 ，有2()lnlfk2(ln)kf ()ln1g，故 在 单调递减， ，从而()kgk()g0,0k在 恒成立，故 在 单调递增， 0f(,1)2lnlfkk(0,1)，即 在 单调递减， ()kf2f(,)
8、()fk至此，有 ，而 ，故有 ，从而 为 上的增函数()0ak(,1)0ak()a,另一方面，根据求函数极限的洛必塔法则，有ln11limi()kkek1lni1likk1lnim1ikke，l()()ea第 4 页 共 4 页同理有 ln100 0limi()lim()kk kaea 故当 时，函数 的值域是 (,1)1(0,e综上可得，函数 为 上的连续单增函数，上确界为 ，下确界为 ，从而(ak1()e0与 建立了一一对应关系因此，任取 时，存在唯一对应的(0,)ea0,) 0,a，从而 与 （ ）的图像在直线 的下方有唯一公共点（例如，1kxylogax01yx与 的图像在直线 的下
9、方有唯一公共点 ），相应地， 与()6xy16ly1(,)24xya（ ）的图像有三个公共点；当 ，不存在对应的 ，loga01(),ea(0,1)k从而 与 （ ）的图像在直线 的下方无公共点，相应地， 与xylogax01yxxya（ ）的图像只有一个公共点于是有：la1（） 与 （ ）的图像在直线 的下方有一个公共点的充要条件是xylaxyx；(0,)e（） 与 （ ）的图像有三个公共点的充要条件是 ；xylogax1 1(0,)ea（） 与 （ ）的图像有唯一公共点的充要条件是 参考文献1 宗敏，对数函数与指数函数的 图像的交点个数的再探讨 ，数学教学与研究，2010,32 李巧文， “方程 解的个数 问题”的问题（续），中学数学教学参考（上半月）， 2006,5logxa3 江战明，为何学生对此问题 毫无“防御力”，中学数学教学参考（上旬）， 2010,94 李永胜，一次作业“勘误”后的有效探究，中学数学教学参考（上旬），2011,55 王克亮，从一道错题再谈函数 图像的交点问题，中学数学，2008,4
