1、1石 家 庄 经 济 学 院 试 卷课程名称： 线性代数(理工) 标准答案及评分标准 一.选择题（每题 2 分，共 10 分）1、设 阶行列式中有 个元素以上为零，该行列式为零。 （ ）nn2、在秩为 阶的矩阵中，没有等于 0 的 阶子式。 （ ） rr3、若向量组 是线性相关的，则 可由 线性表示。 （ m,21 1m,2 ）4、 （ ）)()(BRAR5、对于任意 阶矩阵 ，总有 。 （ ） n,A二、计算（共 80 分）1计算行列式的值。 （共 10 分，每题 5 分）（1） 260531426053142c2605314=0(5 分)24r041314r0342（2） ),21(001
2、1132 niaaDinn 解：(5 分)(1(0012321 nninnin aaaaD 2.设 , 1A,15423B求 。 （5 分）BT解（5 分）1504231AT 096583. 设 ,求 .（5 分）2kA,32解 14010A(2 分) 6223利用数学归纳法证明: 10kA当 时,显然成立,假设 时成立,则 时1k 3 1)(201021 kkAkk由数学归纳法原理知: (5 分)k4.求矩阵 X，使 ，其中 A ， . （5 分）BA34123412B解 (3 分) )(341251 3102A 可逆，且 (5 分)1X5.求矩阵 的秩。 （5 分）10432，秩为 2(5
3、0122071432rrA分)6. 设有线性方程组 ， 42312xtt问 取何值时，此方程组 (1) 有唯一解； (2) 无解； (3) 有无限多t解？（8 分） 4对增广矩阵进行初等行变换得 431082142421 ttttttA(5 分)41208tt（1） 时，方程组无解(6 分)t（2） 且 时，方程组有唯一解(7 分)4t（3） ，方程组有 无穷多解。(8 分)t7.设向量组 ， ， ，T)3,12(T)1,(2T5,3(，求该向量组的一个最大无关组，并将其余向量T)6,54(用它来线性表示（7 分）(1 分)651322A(4 分)0为该向量组的一个最大无关组。(6 分)21,
4、， (7 分)23214358. 求齐次线性方程组 的基础解系（10 分） 0268354214321xx(5 分)041268354210初 等 行 变 换A所以原方程组等价于 (7 分) 4321xx取 得 ; 3,143x0,421取 得 .0x因此基础解系为 (9 分)401,321通解 ： (10 分)21kx9. 已知向量组A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)T B b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T 证明 A 组与 B 组等价 （5 分）证明 由 00123120311203) ,( rr (3 分)6知 R(B)R(B A)2 显然在 A
5、中有二阶非零子式 故 R(A)2 又 R(A)R(B A)2 所以 R(A)2 从而 R(A)R(B)R(A B) 因此 A 组与 B组等价(5 分)10.试求一个正交的相似变换矩阵,将对称矩阵 化为对320角矩阵（10 分）解 3200EA )1(5)2(故 的特征值为 .（3 分)1,5,1当 时, 解方程 ，由210)(xEA1210EA得基础解系 . 取101P当 时，解方程 ，由52)5(xEA01203EA得基础解系 取 122P当 时，解方程 ，由30)(xEA701201EA得基础解系 取 ，(7 分) 1323P于是正交矩阵为 2100P.(10 分)A1511. 判别二次型
6、 424132142321 69xxxxf 的正定性（5 分）43x(3 分)1963102A， ,1a04, 690232A故 为正定(5 分) f812. 试用施密特法把向量组 正交化（5 分） 93142),(321a令 ，11ab，0,122b，123,2133baba故正交化后得: (5 分) 3120),(321b三、证明题（共 10 分，每题 5 分）1.设 ,证明向量组1443221 , ababa线性相关.4321,b证明 设有 使得4321,x则021bx 0)()()()( 144332 axaxa32141xx9(1) 若 线性相关 ,则存在不全为零的数 ,4321,a 4321,k; ; ; ;4xk21xk323xk434xk由 不全为零,知 不全为零,即 线性相321, 1, 4321,b关(3 分)(2) 若 线性无关 ,4321,a则 0104321x43214x由 知此齐次方程存在非零解10则 线性相关(5 分) 4321,b综合得证.2.已知 为三阶方阵，且满足 ，其中 为三阶单BA, 0362EA位阵，证明矩阵 可逆。E2解 36(3 分) 1)4(即 可逆，EAEA2,2且 (5 分) )4(1)(EA
