1、I基于 MATLAB 的数字滤波器设计与仿真摘要：数字滤波器的实现是数字信号处理中的重要组成部分,设计过程较复杂,牵涉到模型逼近,指标选择,计算机仿真,性能分析及可行性分析等一系列的工作,本文从设计原理以及数学软件 MATLAB出发阐述数字滤波器的设计原理与方法。应用 MATLAB 语言设计数字滤波器时采用直接程序设计法、FDATool 以及 SPTool 信号处理工具箱的设计方法，通过实例，给出了 FIR 程序设计法和使用信号处理工具箱中 SPTool 进行设计的仿真图形，并在 MATLAB 的 Simulink 环境下，调用所设计的 FDATool 滤波器进行了仿真。关键词：MATLAB；
2、数字滤波器； FDATool；SPTool； Simulink；IIR；FIR；MATLAB-based Digital Filter Design and SimulationAbstract: The digital filter is one of the most significant applications of DSP. The design process is very complex involving the model approximation, parameter selection, computer simulation and performance ana
3、lysis, feasibility analysis and a series of work. This article try to solve the hard problem in another way, making the benefit of the advanced software MATLAB and gives some basic MATLAB advice to readers to help them to learn the information of using MATLAB as a tool to design different kinds of d
4、igital filters. The design methods of direct programming, FDATool interface and SP Tool signal processing toolbox are introduced in designing digital filter with MATLAB in this article. The imulation figures are given by programming and SPTool signal processing toolbox. Further more, the designed FD
5、A tool filter are called and simulated in SIMULINKKey words: MATLAB; Digital filter; FDATool ; SPTool ; IIR;FIR;11 引言1.1 数字滤波器的研究背景与意义当今，数字信号处理 1（DSP：Digtal Signal Processing）技术正飞速发展，它不但自成一门学科，更是以不同形式影响和渗透到其他学科；它与国民经济息息相关，与国防建设紧密相连；它影响或改变着我们的生产、生活方式，因此受到人们的普遍关注。数字化、智能化和网络化是当代信息技术发展的大趋势，而数字化是智能化和网络化的
6、基础，实际生活中遇到的信号多种多样，例如广播信号、电视信号、雷达信号、通信信号、导航信号、射电天文信号、控制信号、气象信号、遥感遥测信号，等等。上述信号大部分是模拟信号，也有小部分数字信号。模拟信号是自变量的连续函数，自变量可以是一维的，也可以是二维或多维的。大多数情况下一维模拟信号的自变量是时间，经过时间上的离散化（采样）和幅度上的离散化（量化） ，这类模拟信号便成为一维数字信号。因此，数字信号实际上是用数字序列表示的信号，语音信号经采样和量化，得到的数字信号是一个一维离散的时间序列；而图像信号经采样和量化后，得到的数字信号是一个二维离散空间序列。数字信号处理，就是用数值计算的方法对数字序列
7、进行各种处理，把信号变换成符合需要的某种形式。例如，对数字信号经过滤波以限制他的频带或滤除噪音和干扰，或将他们与其他信号进行分离；对信号进行频谱分析或功率谱分析以了解信号的频谱组成，进而对信号识别；对信号进行某种变换，使之更适合传输、存储和应用；对信号进行编码以达到数据压缩的目的，等等。数字滤波技术是数字信号分析、处理技术的重要分支 2-4。无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传输是至关重要的。在所有的电子系统中，使用最多技术最复杂的要算数字滤波器了，数字滤波器的优劣直接决定产品的优劣。1.2 数字滤波器的应用现状与发展趋势在信号处理过程中
8、，所处理的信号往往混有噪声，从接收到的信号中消除或减弱噪音是信号处理和传输中十分重要的问题。根据有用信号和噪音的不同特性，提取有用信号的过程称为滤波，实现滤波的系统称为滤波器。在近代电信设备和各类控制系统中，数字滤波器的应用极为广泛，这里只列举部分应用最成功的领域。（1）语音处理语音处理是最早应用数字滤波器的领域之一，也是最早推动数字信号处理理论发展的领域之一。该领域主要包括 5 个方面的内容：第一，语音信号分析。即对语音信号的波形特征、统计特征、模型参数等进行分析计算；第二，语音合成。即利用专用数字硬件或在通用计算机上运行软件来产生语音；第三，语音识别。即用专用硬件或计算机识别人讲的话，或者
9、识别说话的人；第四，语音增强。即从噪音或干扰中提取被掩盖的语音信号。第五，语音编码。主要用于语音数据压缩，目前已2经建立了一系列语音编码的国际标准，大量用于通信和语音处理。近年来，这 5 个方面都取得可不少的研究成果，并且，在市场上已出现了一些相关的软件和硬件产品。例如，盲人阅读器、哑人语音合成器、口授打印机、语音应答机，各种会说话的仪器和玩具，以及通信和视听产品大量使用的音频编码技术。（2）图像处理数字滤波技术以成功地应用于静态图像和活动图像的恢复和增强、数据压缩、去噪音和干扰、图像识别以及层析 X 射线摄影，还成功地应用于雷达、声纳、超声波和红外信号的可见图像成像。（3）通信在通信技术领域
10、内，几乎没有一个分支不受到数字滤波技术的影响。信源编码、信道编码、调制、多路复用、数据压缩以及自适应信道均衡等，都广泛应用数字滤波器，特别是在数字通信、网络通信、图像通信、多媒体通信等应用中，离开了数字滤波器，几乎寸步难行。其中，被认为是通信技术未来发展方向的软件无线电技术，更是以数字滤波器为基础。（4）电视数字电视取代模拟电视已是必然趋势。高清晰度电视的普及指日可待，与之配套的视频光盘技术已经形成具有巨大市场的产业；可视电话和会议电视产品不断更新换代。视频压缩和音频压缩技术所取得的成就和标准化工作，促成了电视领域产业的蓬勃发展，而数字滤波器及其相关技术是视频压缩和音频压缩技术的重要基础。（5
11、）雷达雷达信号占有的频带非常宽，数据传输速率也非常高，因而压缩数据量好降低数据传输速率是雷达信号数字处理面临的首要问题。高速数字器件的出现促进了雷达信号处理技术的进步。在现代雷达系统中，数字信号处理部分是不可或缺的，因为从信号的产生、滤波、加工到目标参数的估计和目标成像显示都离不开数字滤波器技术。雷达信号的数字滤波器是当今十分活跃的研究领域之一。（6）生物医学信号处理数字滤波器在医学中的应用日益广泛，如对脑电图和心电图的分析、层析 X 射线摄影的计算机辅助分析、胎儿心音的自适应检测等。（7）其他领域 5数字滤波器的应用领域如此广泛，以至于想完全列举他们是根本不可能的，除了以上几个领域外，还有很
12、多其他的应用领域。例如，在军事上被大量应用于导航、制导、电子对抗、战场侦测；在电力系统中被应用于能源分布规划和自动检测；在环境保护中被应用于对空气和噪声干扰的自动检测；在经济领域中被应用于股票市场预测和经济效益分析，等等。1.3 数字滤波器的实现方法分析3数字滤波器的实现 6，大体上有如下几种方法：（1）在通用的微型机上用软件实现。软件可以由使用者自己编写或使用现成的。自 IEEE DSP Comm.于 1979 年推出第一个信号处理软件包以来，国外的研究机构、公司也陆续推出不同语言不同用途的信号处理软件包。这种实现方法速度较慢，多用于教学与科研。（2）用单片机来实现目前单片机的发展速度很快，
13、功能也很强，依靠单片机的硬件环境和信号处理软件可用于工程实际，如数字控制、医疗仪器等。（3）利用专门用于信号处理的 DSP 片来实现。DSP 芯片较之单片机有着更为突出的优点，如内部带有乘法器、累加器，采用流水线工作方式及并行结构，为信号处理技术应用于工程实际提供了可能。1.4 MATLAB 软件介绍MATLAB 是由美国的 MathWorks 公司推出的一套高性能的数值计算和可视化软件,它是由Matrix(矩阵) 和 Laboratory(实验室) 的前三个之母组成。它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体,构成了一个方便友好的用户环境界面。在 MATLAB 内部配备了涉及到自动控制
14、、信号处理和计算机仿真等种类繁多的工具箱,所以 MATLAB 的应用非常广泛,它可涉足于数值分析、控制、信号分析和通信等多种领域。MATLAB 不仅可完成基本代数运算操作 ,而且还可完成矩阵函数运算,提供丰富的实用函数命令。另外, MATLAB 最重要的特点就是易于扩展,允许用户自行构建指定功能的 M 文件,从而构成适合其他领域的工具箱,这大大扩展了 MATLAB 的适用范围。1.5 本章小结数字滤波器精确度高、使用灵活、可靠性高，具有模拟设备没有的许多优点，已广泛地应用于各个科学技术领域，例如数字电视、语音、通信、雷达、声纳、遥感、图像、生物医学以及许多工程应用领域。随着信息时代数字时代的到
15、来，数字滤波技术已经成为一门极其重要的学科和技术领域。以往的滤波器大多采用模拟电路技术，但是，模拟电路技术存在很多难以解决的问题。例如，模拟电路元件对温度的敏感性，等等。而采用数字技术则避免很多类似的难题，当然数字滤波器在其他方面也有很多突出的优点，这些都在前面部分已经提到，这些都是模拟技术所不能及的，所以，采用数字滤波器对信号进行处理是目前的发展方向。42 数字滤波器概述数字滤波器可以用差分方程、单位取样响应以及系统函数等表示。对于研究系统的实现方法，即它的运算结构来说，用框图表示最为直接。一个给定的输入输出关系，可以用多种不同的数字网络来实现。在不考虑量化影响时，这些不同的实现方法是等效的
16、；但是在考虑量化影响时，这些不同的实现方法性能上就有差异。因此，运算结构很重要，同一个系统函数 ,运算结构的不同，将会影响系统的精度、误差、稳定性、经)(zH济性以及运算速度等许多重要性能。IIR 滤波器与 FIR 滤波器在结构上有自己不同的特点，在设计时需要综合考虑。2.1 数字滤波器的基本结构作为线性时不变系统的数字滤波器可以用系统函数来表示，而实现一个系统函数表示式所表示的系统可以有两种方法：一种方法是采用计算机软件实现；另一种方法是用加法器、乘法器、延迟器等元件设计出专用的数字硬件系统，即硬件实现。不论软件实现还是硬件实现，在滤波器的设计过程中，由同一个系统函数可以构造很多不同的运算结
17、构。对应无限精度的系统和变量，不同的结构可能是等效的，与其输入输出特性无关；但是在系数和变量精度是有限的情况下，不同运算结构就有很大的差异。因此，有必要对离散时间系统的结构有一些基本的认识。2.2.1 IIR 滤波器的基本结构一个数字滤波器可以用系统函数表示为：（2-)(1)(0zXYabzHNkkM1）由这样的系统函数可以得到表示输入输出关系的常系数线性差分方程为：（2-)()()(00 knxbknyayMNi 2）可见数字滤波器的功能就是把输入序列 通过一定的运算变换成输出序列 。不同的运)(x )(ny算处理方法决定了滤波器实现结构的不同。无限冲激响应滤波器的单位抽样响应 是无限长的，
18、h其差分方程如（2-2）所示，是递归式的，即结构上存在这输出到输入的反馈，其系统函数具有（2-1）的形式，因此在 z 平面的有限区间（0|Z|）有极点存在。IIR 滤波器实现的基本结构有：5（1）IIR 滤波器的直接型结构（ 型、型）：优点：延迟线减少一半，可节省寄存器或存储单元；缺点：通常在实际中很少采用上述两种结构实现高阶系统，而是把高阶变成一系列不同组合的低阶系统（一、二阶）来实现。（2）IIR 滤波器的级联型结构：特点：系统实现简单，只需一个二阶系统通过改变输入系数即可完成；极点位置可单独调整；运算速度块；各二阶网络的误差互不影响，总的误差小，对字长要求低。缺点： 不能直接调整零点，因
19、多个二阶节的零点并不是整个系统函数的零点，当需要准确的传输零点时，级联型最合适。（3）IIR 滤波器的并联型结构优点： 简化实现，用一个二阶节，通过变换系数就可实现整个系统； 极、零点可单独控制、调整； 各二阶零、极点的搭配可互换位置，优化组合以减少运算误差； 可流水线操作。缺点：二阶电平难控制，电平大易导致溢出，电平小则使信噪比减小。x(n) y(n)z-1z-1z-1- 4811- 24538 x(n) y(n)z-1z-11680.5206-0.5z-1a)、直接型 b)、并联型C)、串联型图 2-1 IIR 滤波器的基本结构62.1.2 FIR 滤波器的基本结构FIR 滤波器的单位抽样
20、响应应为有限长度，一般采用非递归形式实现。通常的 FIR 数字滤波器有直接型和级联型两种。FIR 滤波器实现的基本结构有：（1）FIR 滤波器的直接型结构：表示系统输入输出关系的差分方程可写作：（2-)()(10mnxhnyNm3）直接由差分方程得出的实现结构如图 2-2 所示：图 2-2 直接型若 h(n)程对称特性，即此 FIR 滤波器具有线性相位，则可以简化该直接型结构，下面分情况讨论：图 2-3 N 为奇数时线性相位 FIR 图 2-4 N 为偶数时线性相位 FIR（2）FIR 滤波器的级联型结构将 h(z)分解成实系数二阶因子的乘积形式：(2-4)ZbZnhzHkkNkN 212/1
21、010)( 这时 FIR 滤波器可用二阶节的级联型结构来实现，每个二阶节用直接型结构实现。如图所示：图 2-5 FIR 滤波器的级联结构这种结构的没一节控制一对零点，因而在需要控制传输零点时可以采用这种结构。72.2 数字滤波器的设计原理数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。IIR 滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应。这种滤波器一般需要用递归模型来实现，因而有时也称为递归滤波器。FIR 滤波器的冲激响应智能持续一段时间，在工程实际中可以采用递归的方式实现，也可以采用非递归的方式实现。数字滤波器设计方法有多种，如双线性变换
22、法、窗函数法、频率抽样法、Chebyshev 逼近法等等。随着 MATLAB 软件尤其是 MATLAB 的信号处理工具箱的不断完善，不仅数字滤波器的计算机辅助设计有了可能，而且还可以使设计达到最优化。数字滤波器设计的基本步骤如下：（1）确定指标在设计一个滤波器之前，必须首先确定一些技术指标。这些技术指标需要来制定。在很多实际应用中，例如语音或音频信号处理中，数字滤波器常用来实现选频操作。因此，指标的形式一般确定为频域中幅度和相位的响应。（2）逼近这是因为理想的频率响应是不可能实现的，由于它的幅度响应在频带之间是突变的，因而其单位抽样响应是非因果的、不可实现的，只能对其逼近。逼近所用的系统函数有
23、无限长单位冲激响应（IIR）系统函数与有限长单位冲激响应（FIR ）系统函数两种；（3）性能分析和计算机仿真以上两步的结果是得到以差分或系统函数或冲激响应描述的滤波器。根据这个描述就可以分析其频率特性和相位特性，以验证设计结果是否满足指标要求；或者利用计算机仿真实现设计的滤波器，再分析滤波结果来判断。2.2.1 滤波器的性能指标我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低通滤波器特性为例，频率响应有通带、过渡带、阻带三个范围。在通带内： 1-Ap=| |=1 |w|=Wc )(jweH在阻带内： | |=Ast Wst=|
24、w|=Wc j其中 Wc 为通带截止频率，Wst 为阻带截止频率，Ap 为通带误差，Ast 为阻带误差。如图 2-6 所示：8图 2-6 低通滤波器频率响应幅度特性的容限图与模拟滤波器类似，数字滤波器按频率特性划分为低通、高通、带通、带阻、全通等类型，由于数字滤波器的频率响应是周期的，周期为 2。各种数字滤波器的幅度频率响应如图所示：图 2-7 各种理想数字滤波器的幅度频率响应2.2.2 IIR 数字滤波器的设计方法目前，IIR 数字滤波器的设计最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。模拟滤波器设计已经有了一套相当成熟的方法，它不但有完整的设计公式，而且还有较为完整的图表供查询。因此，充分利
25、用这些已有的资源将会给数字滤波器的设计带来很大的方便，IIR 数字滤波器的设计步骤是：（1）按一定的规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标；（2）根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器 ;)(sH（3）利用频率转换函数将得到的模拟滤波器 转换为 IIR 低通数字滤波器 ；)(zHl（4）利用域转换函数将 IIR 低通滤波器 转换为所需技术指标的低通、高通、带通或带阻数zl字滤波器 ;)(zH9s-z 映射的设计方法为：冲激响应不变法、双线性变换法等。双线性变换法是指首先把 s 平面压缩变换到某一个中介平面 s1 的一条横带（宽度为 2T 即从-T 到 T） ，然后再利用 的
26、关系把 s1 平面上的这条横带变换到整个 z 平面。这样 s 平面与Tez1z 平面是一一对应关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象。S 平面到 z 平面的变换可采用: (2-5)21tan(T(2-6)2121Tjjjje令 , 有：sj1j(2-7)TsTssee121从 s1 平面到 z 平面的变换，即 (2-sz18)代入上式，得到： （2-1zs9）一般来说，为使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，可引入待定常数 c, (2-)21tan(Tc10)则 （2-1zcs11）这种 s 平面与 z 平面间额映射关系就是双线性变换。2.2.3 FIR 数字滤波器的
27、设计方法IIR 滤波器 7的优点是可以利用模拟滤波器的设计结果，缺点是相位是非线性的，若需要线性相位，则要用全通网络进行校正。FIR 滤波器的优点是可方便的实现线性相位。FIR 滤波器单位冲激响应 h(n)的特点：10其单位冲激响应 h(n)是有限长（1=n=N-1） ，系统函数为：（2-nNnzhzH10)()(12）在有限 z 平面有（N-1 ）个零点，而它的（N-1）个极点均位于原点 z=0 处。FIR 滤波器线性相位的特点：如果 FIR 滤波器单位冲激响应 为实数，而且满足以下任一条件：)(nh偶对称 h(n)=h(N-n-1)；奇对称 h(n)= -h(N-n-1)；其对称中心在 n
28、=(N-1)/2 处，则滤波器具有准确的线性相位。窗函数设计法 8：一般是先给定所要求的理想滤波器的频率响应 ，有 导出 ,我们知道)(jwdeH)(jwde)(nhd理想滤波器的冲击响应 是无限长的非因果序列，而我们要设计的 是有限长的 FIR 滤波)(nhd器，所以要用有限长序列 来逼近无限长序列 ，设：)(nhd(2-13)dweHjnjd21)(常用的方法是用有限长度的函数 w(n)来截取 即：)(d(2-14)(hnwh这里窗函数就是矩形序列 R(n),加窗以后对理想低通滤波器的频率响应将产生什么样的影响呢？根据在时域是相乘关系，在频域则是卷积关系：（2-deHewjrjdjw)(2
29、1)( )(15）其中， 为矩形窗谱， 是 FIR 滤波器频率响应。)(jwre)(jH通过频域卷积过程看 的幅度函数 H(W)的起伏现象，可知，加窗处理后，对理想矩形jwe的频率响应产生以下几点影响：（1）使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，其宽度等于窗的频率响应的主瓣宽度。（2）在截止频率的两边即过渡带的两边，出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏震荡，其震荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而震荡的多少，则取决于旁瓣的多少。（3）改变 N，只能改变窗谱的主瓣宽度，改变 W 的坐标比例以及其绝对值的大小，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例（此比例由窗函数的形状决定） 。11（4）对窗函数的
30、要求a、窗谱主瓣尽量窄，以获取较陡的过渡带；b、尽量减小窗谱的最大旁瓣的相对幅度；即能量集中于主瓣，使肩峰和波纹减小，增大阻带的衰减。下表是各种窗函数的参数指标：表 2-1 各种窗函数的比较窗函数 旁瓣峰值衰减/db 主瓣过渡区带宽 阻带最小衰减/db1.矩形窗 -13 4/N -212.汉宁窗 -31 8/N -253.海明窗 -41 8/N -254.布莱克曼窗 -57 12/N -54频率采样法：窗函数设计是从时域出发，把理想的 用一定形状的窗函数截取形成有限长的 ,来)(nhd )(nhd近似理想的 ，这样得到的频率响应 逼近于所要求的理想的频率响应 。)(nhd jweHjweH频率
31、抽样法则是从频域出发，把给定的理想频率响应 加以等间隔抽样得到 Hd(k),然)(jwde后以此 Hd(k)作为实际 FIR 滤波器的频率特性的抽样值 H(k),即(2-16)KNekjwdd2|)()(知道 H(k)后，由 DFT 定义可唯一确定有限长序列 h(n)，利用这 N 个频域抽样值 H(k)同样利用频率内插公式可得 FIR 滤波器的系数函数 H(S)，以及频率响应 ，即)(jweH频率抽样法内插公式：(2-17)101)(NKkzzH频率抽样法小结:优点：可以在频域直接设计，并且适合于最优化设计。缺点：抽样频率只能等于 2/N 的整数倍，或等于 2/N 的整数倍加上 /N。因而不能
32、确保截止频率 Wc 的只有取值，要实现自由地选择截止频率，必须增加抽样点数 N，但这又使计算量增大。2.3 IIR 滤波器与 FIR 滤波器的分析比较前面已经介绍了 IIR 和 FIR 数字滤波器的设计方法，选择哪一种滤波器取决于每种类型滤波器的优点在设计中的重要性。为了能在实际工作中选用恰当合适的滤波器，现将两种滤波器特点比较分析 9如下：12（1）选择数字滤波器是必须考虑经济问题，通常将硬件的复杂性、芯片的面积或计算速度作为衡量经济问题的因素。在相同的技术指标要求下，由于 IIR 数字滤波器存在输出对输入的反馈，因此可以用较少的阶数来满足要求，所用的存储单元少，运算次数少，较为经济。例如，
33、用频率抽样法设计一个阻带衰减为 20 分贝的 FIR 数字滤波器，要 33 阶才能满足要求，而用双线性变换法只需 4-5 阶的切比雪夫 IIR 滤波器就可达到同样的技术指标。说明 FIR 滤波器的阶数要高 5-10 倍左右。（2）在多数情况下，FIR 数字滤波器的线性相位与它的高阶数带来的额外成本相比是非常值得的。对于 IIR 滤波器，选择性越好，其相位的非线性越严重。如果要使 IIR 滤波器获得线性相位，又满足幅度的技术要求，必须加全通网络进行相位校正，这同样大大增加滤波器的阶数。就这点看，FIR 优于 IIR 滤波器。（3）FIR 滤波器主要采用非递归结构，因而是稳定的，有限精度运算误差也
34、较小。IIR 滤波器采用递归结构，极点必须在 z 平面单位圆内才能稳定。对于这种结构，运算中的舍入处理有时会引起寄生震荡。（4）对于 FIR 滤波器，由于冲激响应是有限长的，因此可以用快速傅立叶变换算法，这样运算速度可以快的多。IIR 滤波器不能这样运算。（5）从设计上看，IIR 滤波器可以利用模拟滤波器设计的现成的闭合公式、数据和表格，可以用完整的设计公式来设计各种选频滤波器。一旦选定了已知的一种逼近方法，就可以直接把技术指标带入一组设计方程计算出滤波器的阶数和系统函数的系数。FIR 滤波器一般没有现成的设计公式。窗函数法只给出了窗函数的计算公式，但计算通带和阻带衰减仍无显示表达式。一般 F
35、IR 滤波器设计仅有计算机程序可利用，因而需要借助于计算机。FIR、IIR 两种滤波器的特点比较如下表所示：表 2-2 两种滤波器特点比较分析FIR 滤波器 IIR 滤波器设计方法 一般无解析的设计公式，要借助计算机程序完成利用已有的成果，可简单、有效地完成设计设计结果可得到幅度特性（可以多带）和线性相位（最大优点）只能得到幅度特性，相频特性未知，如需要线性相位，须用全通网络校正，但增加滤波器阶数和复杂性稳定性 极点全部在原点（永远稳定）无稳定性问题有稳定性问题阶数 高 低结构 非递归结构 递归系统运算误差 一般无反馈，运算误差小 有反馈，由于运算中的四舍五入会产生极限环FIR、IIR 两种滤
36、波器设计的具体实例优缺点比较如下：下图是在同一技术指标下，利用 FDATool（下章将详细介绍）界面设计的低通数字滤波器的幅13频特性。其具体指标是：Fs=50Hz, fc=14.5Hz,该低通滤波器的阶次为 50。分别采用 FIR、IIR 两种算法设计，其幅频特性如下：图 2-8 FIR 窗函数设计法图 2-9 IIR 巴托沃斯设计法由以上两图可以看出：同一技术指标下，采用不同的算法会得出截然不同的设计结果。采用FIR 窗函数法设计出来的滤波器具有较为理想的幅频特性，且能得到线性相位的相频特性如图 2-8所示。而采用 IIR 巴托沃斯法设计的滤波器，其幅频特性不太理想，难以满足设计要求，且不
37、具有线性相位如图 2-9 所示。2.4 本章小结14本章主要介绍了 IIR 滤波器和 FIR 滤波器的性能指标、设计方法和各自的特点及优势。分析本次要讨论的问题，根据需要，从技术指标上来看两种均可实现；从设计方法上看，利用计算机辅助程序，可快速的实现 FIR 滤波器的设计，而且系统参数的变化可随时体现在计算机软件上，实现方便、操作简单。因此，下文采用 FIR 算法来进行滤波器的设计。3 基于 MATLAB 的 FIR 滤波器的实现传统的数字滤波器的设计过程复杂，计算工作量大，滤波特性调整困难，影响了它的应用。利用 MATLAB 信号处理工具箱（ Signal Processing Toolbo
38、x） 10可以快速有效的设计由软件组成的常规数字滤波器的设计方法。给出了使 MATLAB 语言进行程序设计和利用信号处理工具箱的FDATool 工具进行界面设计的详细步骤。利用 MATLAB 设计滤波器，可以随时对比设计要求和滤波器特性调整参数，直观简便，极大的减轻了工作量，有利于滤波器的设计最优化。利用 MATLAB 信号处理工具箱进行 FIR 滤波器设计有三种方法：程序设计法、FDATool 设计法和 SPTool 设计法。现针对一个混和正弦波信号，设计一个 FIR 低通滤波器，给出利用 MATLAB实现的三种方法：程序设计法、 FDATool 设计法和 SPTool 设计法，以验证滤波器
39、的性能。3.1 直接程序设计法利用 MATLAB 界面提供的命令窗口（ Command Window）输入需要设计的滤波器源程序，确定后即可输出所要求的滤波器幅频特性曲线。也可以新建 M 文件，输入程序后保存，在命令窗口（Command Window ）中直接输入 M 文件名，确定后即可。以下以线性相位 FIR 低通滤波器的设计为例：例 1.设数字滤波器的性能指标如下,通带截止频率 p = 0.5,阻带截止频率 s = 0.66,实际通带波动不大于 3dB,最小阻带衰减不小于 50dB。假设一个混频信号，其中 f1=3Hz,f2=20Hz。信号采样频率为 50Hz。现将原信号与通过滤波器的信号
40、进行比较。根据窗函数最小阻带衰减的特性表 2-1，可采用汉宁窗提供大于 30dB 的衰减。15本例选择汉宁窗， 其 MATLAB 实现程序如下所示：wp=0.5*pi;ws=0.66*pi; %滤波器边界频率wdelta=ws-wp; %过渡带宽N=ceil(8*pi/wdelta) %根据过渡带，计算所用窗函数的最小长度Nw=N;wc=(wp+ws)/2; %截止频率在通带和阻带边界频率的中点n=0:N-1;alpha=(N-1)/2; %滤波器的相位延迟m=n-alpha+eps; %eps 为 matlab 系统精度hd=sin(wc*m)./(pi*m); %理想滤波器脉冲响应win=
41、hanning(Nw); %采用汉宁窗h=hd.*win; %在时域乘积对应于频域的卷积b=h;figure(1)H ,f=freqz(b,1,512,50); %采用 50hz 的采样频率绘出该滤波器的幅度和相频响应subplot(2,2,1), plot(f,20*log10(abs(H)xlabel(频率/Hz);ylabel(振幅/dB);grid on;subplot(2,2,2) ,plot(f,180/pi*unwrap(angle(H)xlabel(频率/hz);ylabel( 相位/0);grid on;f1=3; f2=20; dt=0.02;t=0:dt:3;x=sin(
42、2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t); %输入时域信号y=fftfilt(b,x); %给出滤波器的输出subplot(2,2,3),plot(t,x),title(输入信号) %绘输入信号subplot(2,2,4),plot(t,y)hold on; plot(1 1*(N-1)/2*dt,ylim, r) %绘出延迟到的时刻xlabel(时间/s),title(输出信号 )程序运行结果如下图示：16图 3-1 所设计滤波器的幅频、相频响应及滤波前后的时域波形小结分析：由以上两图可知，该例设计的滤波器通带边界频率 wp=0.5,阻带边界频率 ws=0.66，对应于50Hz 的
43、采样频率通带边界频率为 fp=Fs*wp/2=50*0.5/2=12.5Hz,fs=50*0.66/2=16.5Hz。其中，Fs 为采样频率。图 3-1 上面两图中在小于 12.5Hz 的频段上，几乎看不到下降且具有线性相位即满足通带纹波不大于 3dB 的要求。在大于 16.5Hz 的频带上，阻带衰减大于 30dB，满足设计要求。图 3-1 下面两图中给出输入混合信号（包含 3Hz 和 20Hz 的信号）以及滤波后的输出信号，通过滤波后只剩下 3Hz 的信号，20Hz 的信号被衰减或滤除，从而实现滤波效果，满足设计要求。由于 FIR 滤波器所需阶数较高，信号延迟较大，输出信号前面的一段直线就是
44、延迟造成的。相位延迟时间为（N-1）/2*1/Fs=0.49s,程序运行后 N 取 50。3.2 滤波器分析设计工具箱 FDATool 法3.2.1 FDATool 的介绍FDATool（filter design 另一部分则是特性区，在界面的上半部分，用来显示滤波器的各种特性。Design Filter 部分主要分为： filter type（滤波器类型）选项，包括 lowpass（低通）、highpass（高通）、bandpass（带通）、bandstop（带阻）和特殊的 FIR 滤波器。Design Method（设计方法）选项，包括 iir 滤波器的 butterworth（巴特沃思）
45、法、chebyshev type i （切比雪夫 i 型）法、chebyshev type ii（切比雪夫 ii 型）法、elliptic（椭圆滤波器）法和 fir 滤波器的 equiripple 法、least-squares（最小乘方）法、window（窗函数）法。 Filter Order（滤波器阶数）选项，定义滤波器的阶数，包括 specify order（指定阶数）和 minimum order（最小阶数）。在 specify order 中填入所要设计的滤波器的阶数（n 阶滤波器，specify ordern+1），如果选择 minimum order 则 matlab根据所选择的
46、滤波器类型自动使用最小阶数。Frenquency Specifications 选项，可以详细定义频带的各参数，包括采样频率 fs 和频带的截止频率。它的具体选项由 filter type 选项和 design method 选项决定，例如 bandpass（带通）滤波器需要定义 fstop1（下阻带截止频率）、fpass1（通带下限截止频率）、 fpass2（通带上限截止频率）、fstop2（上阻带截止频率），而 lowpass（低通）滤波器只需要定义 fstop1、fpass1 。采用窗函数设计滤波器时，由于过渡带是由窗函数的类型和阶数所决定的，所以只需要定义通带截止频率，而不必定义阻带参
47、数。Magnitude Specifications 选项，可以定义幅值衰减的情况。例如设计带通滤波器时，可以定义wstop1（频率 fstop1 处的幅值衰减）、wpass（通带范围内的幅值衰减）、wstop2（频率 fstop2 处的幅值衰减）。当采用窗函数设计时，通带截止频率处的幅值衰减固定为 6db，所以不必定义。Window Specifications 选项，当选取采用窗函数设计时，该选项可定义，它包含了各种窗函数。3.2.2 利用 FDATool 界面设计 FIR 数字滤波器方法18首先在命令窗口键入 FDATool 命令，调出 FDATool 界面；Filter Type 选项
48、中选择 Lowpass (低通)；在 Design Method 中选择 FIR 滤波器；接着在 FIR 中选择 Window (窗函数法)；在 Filter Order 中选择 Specify Order,输入数据 51 ；在 Options 中选择 Window: hanning.在 Frequency Specifications(频率设定 )选项中选择 Unit: Hz; Fs=50Hz; Fc=14.5Hz；Magnitude Specifications 选项中，由于窗函数设计时，通带截止频率处的幅值衰减固定为6db，所以不必定义；单击 FDATool 界面下的 Design Filter 及 Options 栏下面的 View ,例 1 中的 FIR 数字低通滤波器冲激响应与幅度响应如下图 3-3 示；图 3-3 所设计滤波器的幅频响应（dB ）由上图可知，该线性相位 FIR 低通滤
