1、【Science】数学里十大不需要语言的证明当谈到复杂数学定理的证明时，很多人常常为之色变，认为这只是一个枯燥的公式堆砌和深奥的数学推导过程。这当然是一个让笔者感到纠结的误解。因为数学证明中包含的美丽与精巧实在是一道亮丽的风景线，而这种亮丽甚至不需要用语言来描述。所以我在这里盘点了数学里十大不需要语言的证明（poofs without words）。让读者在领略数学所包含的无与伦比的精巧之外，更从此爱上数学。0. 勾股定理这个大家小学就学过的古老定理，有着无数传奇故事。我可以很随意的写出她的 10 个不同的证明方法。而路明思（Elisha Scott Loomis）在 毕达哥拉斯命题（ Pyt
2、hagorean Proposition）提到这个定理的证明方式居然有 367 种之多，实在让人惊讶。这里给出一个不需要语言的证明方法。实际上勾股定理是余弦定理的一种特殊情况，而余弦定理的证明，同样可以不用语言。1. 关于反正切的恒等式关于反正切，有如下两个很精彩的等式：arctan1/2+arctan1/3=/4acrtan1+arctan2+arctan3= 它们的证明方法也同样精彩2. 几何平均值小于算术平均值这是不等式中最重要和基础的等式：它也可以通过图形来证明。注意到ABCDBA ,可以很轻松地得到 AB=ab。剩下的就显而易见了。3. 1+3+5+（2n-1 ）= n 2 这是奇数
3、的求和公式，下图是当 n=8 时的情形4. 平方数的求和公式5. 立方数的求和公式6. 斐波那契数列的恒等式可谓家喻户晓的斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1 、2、3、5、8、 13、21 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和， F n+1 = Fn + F n-1 。它的通项公式是有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。而且当 n 无穷大时 F n-1 / F n 越来越逼近黄金分割数 0.618。正因为它的种种神奇性质，美国数学会甚至从 1960 年代起出版了斐波纳契数列季刊。关于斐波那契数列，有一个恒等式是这样的这个等式很漂亮，不需要借助复杂的数
4、学推导，它有一个很直观的证明方法7. 结果为 1/3 的一组分子式下面是一组分子式，他们的结果都等于 1/3 ：8. 最受数学家喜爱的无字证明1989 年的美国数学月刊（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。美国数学月刊提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、
5、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。死理性派曾经讨论过 这个问题 。同时它还是死理性派 logo 的出处。9. 棋盘上的数学证明在一个 88 的国际象棋棋盘上，我们可以用 32 张多米诺骨牌（是两个相连正方形的长方形牌）覆盖整个棋盘上的 64 个方格。如果将对角线上的两个方格切掉，剩下来的 62 个格子还能用31 张骨牌覆盖住吗？答案是不能的。每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格，一白一黑。所以 31 张骨牌应该可以盖住 31 个黑格
6、和 31 个白格。而这被切了角的棋盘上的方格有 32 个是一种颜色，另一种颜色是 30 个，因此是不能被 31 张骨牌覆盖的。但是如果我们切掉的不是颜色相同的两个呢？假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的方格，那么剩下来的 62 格是否一定能被 31 张骨牌完全盖住？我可以告诉你答案是肯定的,并且关于这个结论，存在一个非常漂亮的证明。建议读者在继续往下阅读前，可以先自行思考如何证明这个结论。上图就是那个漂亮的证明。不妨对它再赘述两句。粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线。从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格，会让这个封闭线路变成两段线路（如果切掉的方格是相连的，那就是一条线路）。在这两段（或一段）线路中，两种颜色的格子数量都是偶数，故分别都可以被若干张骨牌覆盖。从而证明整个棋盘可以被 31 张骨牌完全覆盖。这个著名的棋盘问题是数学游戏大师马丁加德纳提出的，而上述精妙绝伦的证明则是数学家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的。它们后来被收录在意料之外的绞刑和其他数学娱乐这本书里。数学里，有一种证明方法叫做 Proofs without words。诚然，这种证明方法算不上严格，但是它却将数学中包含的最精巧的东西一览无余地展现了出来。
