1、求数列通项公式的常用方法一、累加法 1适用于： -这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。1()naf2解题步骤：若 ，1()nf2n则 231() naff 两边分别相加得 11()nnkaf例 1 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n112na， na解：由 得 则12na1na23212()()()()211()()aannn 所以数列 的通项公式为 。a2na练习. 已知数列 满足 ， ，求此数列的通项公式. n31)2(11nn答案：裂项求和 an2评注：已知 , ，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函1)(1nfan数、指数函数、分式函数，求通项 .na若
2、 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。二、累乘法 1. 适用于： -这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。1()nnaf2解题步骤：若 ，则1()nf31212()()()naafff ， ， ，两边分别相乘得， 11()nnkaf例 2 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n112()53nna， na解：因为 ，所以 ，则 ，故11()53nnaa， 0n12()5n13212221
3、1(1)1(1)2(55()5()333!nnnnn 所以数列 的通项公式为na(1)235!.nna练习. 已知 ,求数列an的通项公式,11答案： -1.na)(!1a评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式 转化为,11nan若令 ,则问题进一步转化为 形式，进而应用累乘法),1(1nnanab nb1求出数列的通项公式.三、待定系数法 适用于 1()nnaqf基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如 ,其中 )型0(,1cdana1（1）若 c=1 时，数列 为等差数列;n（2）若 d=0 时，数列 为等比数列;na（3）若 时，
4、数列 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列01且dcn来求.解题步骤：设 ，得 ，与题设 比较)(1nnac)1(1can ,1dcan系数得 ，所以 ，所以有：dc)(0,d )(1dnn因此数列 构成以 为首项，以 c 为公比的等比数列，1an 1ca所以 即： .11)(nndc 1)1(cddann例 3 已知数列 中， ，求数列 的通项公式。na11,2()nan解： 12(),n1nna又 是首项为 2，公比为 2 的等比数列 ，即1,na 12nna1na练习已知数列 中， 求通项n,1,11nnaan答案：)2(1na2形如： (其中 q 是常数，且 n 0,1)
5、 nnap1 若 p=1 时，即： ，累加即可.nn1若 时，即： ，pnnqap1求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以 .目的是把所求数列构造成等差数列1n即： ,令 ，则 ，然后累加求通项.nnqpap)(1 nabnnqpb)(11ii. 两边同除以 ， 目的是把所求数列构造成等差数列。1n即： ,qapqnn1令 ，则可化为 ，然后转化为待定系数法第一种情况来解。nbbpnn11iii. 待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设 .通过比较系数，求出 ，转化为等比数列求通项.)(11 nnnn paqa 注意：应用待定系数法时，要求 p q，否则待定系数法会失效。例 4 已知
6、数列 满足 ，求数列 的通项公式。n11243nna， na解法一（待定系数法）：设 ，比较系数得 ，112(3nnna)124,则数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，143na 11435所以 ，即152nn11nna解法二（两边同除以 ）： 两边同时除以 得： ，下面解法略1nq13n1243nna解法三（两边同除以 ）： 两边同时除以 得： ，下面解法略1np12n nna)23(413形如 (其中 k,b 是常数，且 )bkan1 0k待定系数法解题步骤：通过凑配可转化为 ；)1()(1ynxapyxn 比较系数求 x、y；解得数列 的通项公式；得数列 的通项公式。n na例 5
7、 . 在数列 中， ,求通项 .（待定系数法）na362,311nan n解：原递推式可化为 yxyxnn )()(1比较系数可得：x=-6，y=9,上式即为 12nb所以 是一个等比数列，首项 ，公比为 。 即：nb 2961a11)2(9nnb， 故 。nna)21(96)2(9nn练习 在数列 中， 求通项 .（逐项相减法）na,3,11anna解： ， 时， ，,231n2)1(231n两式相减得 .令 ，则)(11nnaa nnab1231nb知 即 235nb351n再由累加法可得 . 亦可联立 解出 .21ann 21325nan4形如 (其中 a,b,c 是常数，且 )cbpn
8、21 0基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。例 6 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na21 1345nana ， na解：设 2 21()(1)()n naxynzaxyz比较系数得 ， 3,0,8所以 2 21()(1)(3108)n nana由 ，得21308320n则 ，故数列 为以21()(1)2nan2318na为首项，以 2 为公比的等比数列，因此213083，则 。12nna43108na5.形如 时将 作为 求解21 nnpaqn()f分析：原递推式可化为 的形式，比较系数可求得 ，数列211) nnapa 为等比数列。1na
9、例 7 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n211256,nnaana解：设 211()nna比较系数得 或 ，不妨取 ， （取-3 结果形式可能不同，但本质相同）322则 ，则 是首项为 4，公比为 3 的等比数列211()nnaa1na，所以143n 14352nn练习.数列 中，若 ,且满足 ,求 .na,821a03412nnaan答案： .n3四、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法不动点的定义：函数 的定义域为 ，若存在 ，使 成立，则称()fxD0()fxD0()fx为 的不动点或称 为函数 的不动点。0x()f0,()f分析：由 求出不动点 ，在递推公式两边
10、同时减去 ，再变形求解。fx0x0x类型一：形如 1 naqd例 8 已知数列 中， ，求数列 的通项公式。11,2()nana解：递推关系是对应得递归函数为 ，由 得，不动点为-1)fx(fx ，12()nna类型二：形如 1nnabcd分析：递归函数为 ()xf（1）若有两个相异的不动点 p,q 时，将递归关系式两边分别减去不动点 p,q，再将两式相除得，其中 ，1nnapkqapckq11()()nnaqpkapq（2）若有两个相同的不动点 p，则将递归关系式两边减去不动点 p，然后用 1 除，得，其中 。1nnkap2cad例 9. 设数列 满足 ,求数列 的通项公式.（答案：n 72
11、45,11nnna）3421nna分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.解：对等式两端同时加参数 t,得：,7254)(72)5(72451 nnnn attatat令 , 解之得 t=1,-2 代入 得5t )(1nntt, ,72131nna729nna相除得 ,即 是首项为 ，2131nnaan 412a公比为 的等比数列, = , 解得 .n13413nn练习. 已知数列 满足 ，求数列 的通项a*112,()6nnaNnan答案： 3506n五、对数变换法 适用于 (其中 p,r 为常数 )型 p0， rnnpa1 0na例 10. 设正项数列 满足 ， （n2）.求数列 的通项公
12、式.11na解：两边取对数得： ， ，设 ，则122loglnnaa )1(logl22nna 1log2nab是以 2 为公比的等比数列， ，12nbb1b， ，loga 1logna 2na练习 数列 中， ， （n2） ，求数列 的通项公式. n11n na答案：nna2六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例 11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112,nnana解：求倒数得 为等差数列，首项 ，公差为 ，111,22nnnnaaa1a121(),n七、阶差法（逐项相减法）1、递推公式中既有 ，又有nSna分析：把已知关系通过 转化为数列 或 的递推关系，然后采用相应1,2nnSnaS的方法求解。例 12 已知数列 的各项均为正数，且前 n 项和 满足 ，且 成nanS1()26na249,a等比数列，求数列 的通项公式。解：对任意 有 nN1()26nnSa当 n=1 时， ，解得 或111a12当 n2 时， 111()26nnnSa-整理得： 1130nn 各项均为正数，na1na当 时， ，此时 成立132n249当 时， ，此时 不成立，故 舍去12a1n249a12a所以 3n练习. 已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式.na0n2)1(nnaSna答案： nS1 212
