1、第 1 讲 逻辑推理我们常会见到这样一类题目，没有或很少给出什么数量关系，解决问题的主要方法不是依靠数学概念、法则、公式进行运算，且较少用到专门的数学知识，而是根据条件和结论之间的逻辑关系，进行合理的推理，最终找到问题的答案，这就是逻辑推理问题.例 1 一次数学测验，A，B，C，D，E，F 中有一人得了 100 分，老师让他们猜一猜是谁得了 100 分A：或者是 E，或者是 FB:是我得了 100 分C:是 D 得了 100 分D:不会是 B 得了 100 分E:不会是 C 得了 100 分F:不会是我，也不会是 E老师说：你们只有两个人猜对了那么，谁得了 100 分呢？思维点拨 从这六个人的
2、话中可以看出，A 与 F 的话、B 与 D 的话相互矛盾，也就是说，每一对中两个人的话必然是一真一假根据“只有两个人猜对了”这个条件，得出 C 与 E 必为假话，由 E 猜错可知，是 C 得了 100 分例 2 三块正方体，它们的六个面都按相同规律标有 1，2，3，4，5，6请你判断一下，2 的对面是几?5 的对面是几?6 的对面是几？(1) (2) (3)思维点拨 从图(1)，(3) 可看出，2 的对面不可能是 5，6，1，4，那么 2 的对面一定是3从图(1)，(2)可以看出，5 的对面不可能是 2，6，1，3，那么 5 的对面一定是 4剩下的 6 的对面一定是 1例 3 位学者在几年前逝
3、世，逝世时的年龄数是他出生年份数的 ，这位学者在 1955 年29主持学术会议时是多少岁？思维点拨 由题意，出生年份数应是 29 的倍数，又因为他在 1955 年主持过会议，因此出生的年份应小于 1955.可以把小于 1955 且是 29 的倍数的数列举出来：1943，1914，1885，1856，可以分析出生在 1885 年或 1943 年均不合理只有出生在1914 年才符合事实例 4 甲、乙、丙、丁四人进行有趣的会谈，用了汉、英、德、俄四种语言情况如下：(1)甲、乙、丙各会两种语言，丁只会一种语言；(2)有一种语言，四人中有三人都会；(3)甲会俄语，丁不会俄语，乙不会英语；(4)甲与丙、丙
4、与丁不能直接交谈，乙与丙可以直接交谈；(5)没有人既会俄语，又会德语.问甲、乙、丙、丁各会何种语言.思维点拨 这是条件比较复杂的问题，应使用列表法进行分析推理，这样有助于解题，列表格时，在肯定的一格打“”在否定的一格打“” 例 5 已知在每个正方体的 6 个面上分别写着 1，2，3，4，5，6 这 6 个数，并且任意两个相对的面上所写的两个数的和都等于 7，现在把 5 个这样的正方体一个挨着一个地连接起来(如图)，在紧挨着的两个面上的两个数之和都等于 8，那么图中打“？”的这个面上所写的数是几？思维点拨 根据题意容易推出 1 的对面是 6，挨着 6 的面是 2；2 的对面是 5，挨着 5 的面
5、是 3；3 的对面是 4，6 的对面是 1因此第 3 个正方体左右两面只能是 2 与 5到底左端是2 还是 5 呢？我们不妨作出假设.假设左端是 5，则其对面是 2，挨着 2 的面是 6，6 的对面是 1，挨着 1 的面(最右边一块的左面)就应该是 7，与题意不符所以最左端只能是 2，2 的对面是 5，挨着 5 的面是3，3 的对面是 4，挨着 4 的面是 4，4 的对面是 3例 6 有一次数学竞赛，共有 6 道题，均是是非题，正确的画“” ，错误的画“” ，每题答对得 2 分，不答得 1 分，答错得 0 分，王、张、赵、杨的答案如下表，杨得了多少分？思维点拨 由得分情况及答题数量知，张对 4
6、 道，错 1 道，未答 1 道，王、赵各对 3 道，错 2 道，未答 1 道，因为王、张有 3 道的答案不同，且王、张共错 3 道，所以两人的错题只能是(3)(4)(6)3 道题，由此得到剩下 3 题的正确答案：(1)，(2)，(5)比较知赵的答案，(2)(5)题错，其余已答的题都对，得(3)，(4)因为张只错 1 道，(4)题已错，故(6)题正确，故(6)，对照正确答案，杨对 4 道，错 2 道，得 8 分课内练习1某校运动会上，A，B，C，D，E，F 六人参加百米决赛，对于谁是冠军，甲、乙、丙、丁四人有以下猜测：甲说：冠军不是 A 就是 B.乙说：冠军不是 C丙说：D，E，F 都不可能是冠
7、军丁说：冠军是 D，E，F 中的一人，比赛结果是，这四人中只有一人的猜测是正确的请你判断谁得了冠军2如下图，3 块正方体按同样的规律涂有红、黄、蓝、白、黑、绿 6 种颜色请你判断黄、白、红的对面分别涂什么颜色(1) (2) (3)3刘强、马明、李刚三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛事先规定：兄妹不许搭档，第一场：刘强和小丽对李刚和小英.第二场：李刚和小红对刘强和马明的妹妹问：三个男孩的妹妹分别是谁？4小秋的书架上有一些书，其中 是故事书， 是文艺书，书的本数在 100150 之1719间，他有多少本书？5一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面上的两个数之和都等于1
8、3小张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数之和是 18.小李能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数之和是 24.那么挨着桌子这个面的数是多少？6A，B，C，D，E 五入在一次满分为 100 分的考试中，得分都是大于 91 的整数，如果A，B，C 的平均分为 95 分，B，C，D 的平均分为 94 分，A 是第一名，E 是第三名，得 96分那么 D 的得分是多少？课外作业1甲、乙、丙三人进行跑步比赛.A，B，C 三人对比赛结果进行预测A 说：“甲肯定是第一名 ”B 说：“甲不是最后一名 ”C 说：“甲肯定不是第一名 ”其中只有一人对比赛结果的预测是对的是谁预测对了？2下图是标有 1，2，3，4,5
9、，6 数字的同一正方体的三种不同摆法，求三个正方体朝左那一面的数字之积是多少(1) (2) (3)3甲、乙、丙在南京、上海、北京工作，他们的职业分别是工人、记者、教师现在知道：(1)甲不在南京工作；(2)乙不在上海工作；(3)在南京工作的不是教师；(4)在上海工作的是工人；(5)乙不是记者.三人各在什么地方工作？各是什么职业？4小糊涂对小博士说：“我想把 54 个围棋子放进 10 个盒子，每个盒子里都有围棋子，且每个盒子中的棋子数各不相同 ”小博士听了，笑着说：“小糊涂你又糊涂了，你说的情况根本办不到 ”小博士为什么能判断出这种情况根本办不到？5下面的图是飞行棋的一颗骰子，根据图中 A，B，C
10、 三种状态显示的数字，请你推出“？”处的点数是几A B C6甲、乙、丙三名同学参加了一次标准化考试，试题共 10 道，都是判断题，正确的画“” ，错误的画“” ，每道题 1 分，满分为 10 分，他们的答卷如下表：成绩公布后，三人都得 7 分，请你给出各题的正确答案7甲说：“我 13 岁，比乙小 2 岁，比丙大 1 岁” 乙说：“我不是年龄最小的，丙和我差 3 岁，丙是 16 岁” ，丙说：“我比甲年龄小，甲 14 岁，乙比甲大 3 岁” ，以上每人所说的三句话中，都有一句是错误的请你确定甲、乙、丙三人的年龄8A，B，C，D 四人进行乒乓球比赛，每两个人之间都要赛一场，结果 A 胜了 D，并且
11、 A，B，C 三人胜的场数相同，问 D 胜了几场9六(1)班共 44 人，从 A，B，C，D，E5 名候选人中选举班长，A 得票 23 张，B 得票占第 2 位，C，D 两人得票相同，E 得票最少，得 4 票那么 B 得票多少张？10已知 ， ， 是 3 个最简真分数，A，B，C 都是自然数，如果每个分数的分4子都加上 A，分母保持不变，得到的 3 个新数之和等于 2 ，那么 A,B,C 各为多少？16你知道吗1918 年，英国著名数学家罗素(BA.W.Xusse11，18721970)引述了一个悖论据说从前有一个村，规定理发师的职责是“专为村上所有不自己刮胡子的人刮胡子，而且只给这样的人刮胡
12、子 ”按照这个规定，理发师可不可以自己刮胡子呢？理发师陷入了自相矛盾的窘境：刮也好，不刮也好，都违反规定！这种自相矛盾的言论、概念，数学上叫做“悖论” ，上面所说的就是著名的“理发师悖论” 第 2 讲 列方程解应用题列方程解应用题是运用方程知识来解决实际问题，很多稍复杂的应用题，特别是需要逆向思维的题，运用算术方法解答有一定的困难，列方程解答就比较容易列方程解应用题的关键是正确地设立未知数，找出等量关系，从而建立方程列方程解应用题的一般步骤是：1弄清题意，找出未知数，并用 x 表示；2找出应用题中数量之间的相等关系，列方程；3解方程；4检验，写出答案例 1 六(1)班有 58 人，六(2) 班
13、有 26 人，从六(1)班调多少人到六(2)班，才能使六(2)班人数比六(1)班人数的 2 倍少 9 人？思维点拨 我们可以设从六(1)班调 x 人到六(2)班，那么，调动后六(1)班有(58x)人，六(2)班则有(26x)人再根据调动后“六(2)班人数比六(1)班人数的 2 倍少 9 人”这个条件，就可以列出方程：26x2(58x)9例 2 有甲、乙、丙三个数，乙数是甲数的 5 倍，丙数比乙数少 4，且三个数的和是 95，求这三个数，思维点拨 这道题中有三个未知量，根据数量关系，设甲数为 x，则乙为 5x，丙为5x4，再根据三个数的和为 95，就可以列出方程了例 3 光明小学体育器材室里，足
14、球的个数是排球的 2 倍体育课上，每班借 8 个足球，5个排球，排球借完时，足球还有 48 个体育器材室原有足球、排球各多少个？思维点拨 我们如果设原有排球 x 个，则原有足球 2x 个，借出的足球有(2x48)个用借出的球数除以每班借的球数就得到班级数，即班级数可以表示为(T5)，也可以表示为(21，48)8，即可得方程 x5(2x48)8，这个方程解起来比较麻烦如果我们设光明小学有 x 个班，则排球数为 5x，足球个数为( 8x48)，再根据“足球个数是排球的2 倍”就可以列出方程：5x28x48例 4 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字少 1，如果十位上的数字扩大到 4 倍，个位上的
15、数字减去 2，那么，所得的两位数比原来大 58，求原来的两位数.思维点拨 要求原来的两位数，就要先求出十位数字和个位数字，如果设两位数的个位数字是 x，则十位上的数字是(x1)，原来这个两位数是 10(x1)x，把十位数字扩大到 4 倍，是 4(x1)，个位上的数字减去 2，是(x2)，现在的两位数为 104(x1)(x2)，根据题意可列出方程.例 5 有个水池，第一次放出全部水 ，第二次放出 40 立方米，第三次又放出剩下水的25，池里还剩水 56 立方米，全池蓄水多少立方米？思维点拨 如果用 x 表示全池的蓄水量，那么第一次放出的水应为 x，第二次放出的水25是 40 立方米，第三次放出的
16、水应是剩下的水的(x x40) 有这样的等量关系：25第一次放水量第二次放水量第三次放水量剩余水量全池蓄水量例 6 两座粮仓，甲仓装粮食 100 吨，如果从乙仓中运出 放到甲仓，这时，乙仓的粮食13比甲仓少 求乙仓原有粮食多少吨？19思维点拨 设乙仓原有 x 吨粮食运出 x 吨给甲仓，甲仓就有(100 x)吨，乙仓只剩1313下 x 吨，再根据“这时乙仓比甲仓少 ”这个条件，就可以列出方程了239课内练习1甲仓有 86 吨货物，乙仓有 42 吨货物，从甲仓运多少吨货物到乙仓，才能使乙仓的货物比甲仓的 2 倍还少 4 吨？2甲、乙、丙三个数的和为 112，丙数比乙数多 4，乙数是甲数的 4 倍，
17、求这三个数3某小学图书馆里科技书的本数是故事书的 3 倍，活动课上，每班借 7 本科技书，5本故事书，故事书借完时，科技书还剩 96 本，图书馆里有科技书和故事书各多少本？4一个两位数，个位数字与十位数字之和为 8，将个位数字与十位数字对调后，所得的新数比原来的数大 54，求原来的两位数5一辆汽车从甲地到乙地第一小时行了全程的 ，第二小时行了 80 千米，第三小16时行了剩下的 ，这时距乙地还有 100 千米，甲、乙两地相距多少千米？26甲仓有货物 52 吨，从乙仓运出 到甲仓，这时乙仓比甲仓多 ，求乙仓原有货物1519多少吨课外作业1甲布袋有 280 个玻璃球，乙布袋有 40 个玻璃球，从甲
18、布袋取多少个放入乙布袋，才能使甲布袋的玻璃球比乙布袋的 2 倍还多 35 个？2希望小学的六年级有三个班，共有 153 人六(1)班人数是六(3)班的 1.12 倍，六(2)班比六(3)班少 3 人，三个班各有多少人？3布袋里有红球和黄球若干个，红球比黄球的 3 倍多 6 个，若每次取出 8 个红球和 4个黄球，当黄球正好取完时，红球还剩 30 个，袋子里原有红球、黄球各多少个？4一个六位数的左边第一位数字是 1如果把这个数字移到最右边，那么所得的六位数是原数的 3 倍，求原数5两个集镇之间的公路除了上坡就是下坡，没有平路，客车上坡的速度保持为每小时15 千米，下坡则保持为每小时 30 千米现
19、知客车在两地之间往返一次，需在路上行驶6 小时，求两地之间的距离6甲、乙两班各有一个图书室，共有 303 本书，已知甲班图书的 和乙班图书的513合在一起是 95 本那么甲班图书有多少本？147西红柿和黄瓜共有 180 千克，西红柿的 3 倍比黄瓜的 2 倍少 10 千克，西红柿和黄瓜各多少千克？8第一个正方形的边长比第二个正方形边长的 2 倍多 1 厘米，它们的周长之和是 88厘米，它们的面积之和是多少？9甲、乙、丙三个数的和是 218，已知甲数除以乙数、乙数除以丙数都是商 3 余 2，甲、乙、丙三个数各是多少？10.甲、乙、丙、丁四人共做零件 265 个，如果甲多做 15 个，乙少做 5
20、个，丙做的个数乘以 2，丁做的个数除以 3，那么四个人做的零件数恰好相等，问：丙做了多少？你知道吗列方程解应用题比阐算术方法解应用题有明显的优越性，即简单、快捷、正确.什么叫方程呢?方程就是含有未知数的等式，把这个砉知数求出来，就叫做解方程方程中的未知 43 通常都用 x，y，x 来表示，这是法国著名数学家、哲学家笛卡儿(RDescaxtes，15961650)倡导使用的，常用 a，b，c 等表示已知量，用 x，y，z 等表示未知置第 3 讲 巧计算在做分数计算题时，一般的分数计算题，只要能正确利用分数的基本性质、四则运算法则及定律，都能得到正确的结果，但有些稍难的分数计算题，若按常规的方法计
21、算会很麻烦，而且很难得出正确的结果，又浪费时间所以我们必须学会某些特殊的运算技巧，合理选择巧妙的方法使运算简便，从而节省时间，提高运算速度和解题的正确率例 1 计算： 11()()345611()()3456345思维点拨 用一般的通分方法计算可以算出结果，但实在是太麻烦了仔细观察会发现每个括号内都有 ，我们可以先把它看成一个整体，用一个字母来表示，使运算简化.例 2 计算： 11162034256思维点拨 我们先仔细观察每个分数，它们的分子都是 1，分母都可分解为两个连续自然数的积于是每个分数都可拆分成两个分数的差：， ，11221632， .34045例 3 计算： 2221135179思
22、维点拨 仔细观察后很容易发现，每个分数的分子都是 2，而分母都是两个相邻奇数的乘积，并且分子恰好等于分母的两个相邻奇数的差，则有 ，131, ， ， .2135215727992例 4 计算： 40316思维点拨 仔细观察后很容易发现，每个分数的分子都是 1，而分母是两个差为 3 的自然数组成的乘积形式我们可以将 写成 的形式，再运用乘法分7()47配律把 提取出来，就可以进行简便计算了13例 5 计算： .11232423420思维点拨 本题先用等差数列求和公式将各分数的分母化简，再运用其他公式计算.例 6 计算： .1124863248思维点拨 仔细观察本题的特一点，每一个分数总是其后一个
23、相邻分数的 2 倍据此特点可设原式为 A，将 A 扩大 2 倍后得到 2A ，再用 2AA，便11634可以得到 A 的值了课内练习1计算： 1111()()()()246824682462计算： 1034567903计算： 221814计算： 150505305计算： 11122323406计算： 4816418561课外作业1.计算： 1 1()()()()3579135795792计算： 16028643计算： 1113579234计算：1 412355. 计算: 1 2141.234506计算：1.397823797计算： 8521(464)()10058计算：(3 5 7 9 )(1
24、 2 3 4 ).3246569.计算：.7891034567110.计算:.222213435901你知道吗传说德国伟大的数学家、物理学和天文学家高斯(CFGauss，17771855)很小的时候就表现出了非凡的数学才能，他在 10 岁的那年还在读小学，一次老师出了一道123100?的数学题目，老师刚说完，高斯就能答出等于 5050令同伴们都惊讶不已!高斯不仅喜欢数学，还非常喜欢古代语，他在大学一年级发明了二次互反律，二年级得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作出的正多边形的条件，解决了两千年来悬而未决的难题，高斯的数学成就遍及数学的各个领域，被誉为历史上伟大的数学家之一高斯还在天文
25、学和物理学方面作出许多重要贡献第 4 讲 估算的技巧在日常生活、科学研究及工程建设中，往往会遇到比较复杂的计算，许多情况下，我们没有必要也不可能算出绝对精确的结果，这时，只需估算一个大致结果就可以了，估算常常运用取近似值、放与缩等技巧进行快速、近似的计算，这是一种十分重要的计算方法熟练掌握这种算法不仅可以帮助我们解决问题，还可以用来检验计算结果是否正确例 1 试用估算法检验下列计算是否正确534 54378思维点拨 因为一个因数 小于 1，所以积应小于另一个因数，而 543 大于 534,所以计算78错误例 2 某校六年级三个班举行一次数学考试，六(1)班 43 人，平均分是 81 分，六(2
26、)班 46人，平均分是 83 分，六(3)班 43 人，平均分是 85 分，这三个班每人的平均分是( )分A81 B82 C83 D85思维点拨 根据平均数的意义，三个班每人的平均分既不能低于或等于 81 分，也不能高于或等于 85 分，所以答案 A，D 都是错误的，因为六(1)班和六(3)班都是 43 人，若从六(3)班每个同学中取 2 分补给六(1)班的每个同学，平均分正好是 83 分，又与六(2)班的平均分相同，所以应选 C例 3 计算 7.87.987.9987.9999999998 的整数部分是多少思维点拨 这道题有 10 个加数，分别是 7.8，7.98，7.998，7.99999
27、99998，从十分位起依次多一个 9，两个 9九个 9，把这十个数加起来，可以直接计算出结果，再确定整数部分是多少，但这样太烦琐了实际上，和的整数部分只与十个数的个位、十分位、百分位上各数的和有关，而与百分位以下各位上的数的和没有太多关系，这样就可以减少计算的次数而得出和的整数部分例 4 求下式的整数部分：.11120209思维点拨 先确定分母部分最小不小于几，最大不大于几，便可确定分母部分的值的范围若这个范围很小，就能算出该式的整数部分，因为分母部分一定比 10 个 小，一120定比 10 个 大，从而可以得到该算式的值在 200 到 200.9 之间，从而得出该算式整数1209部分的确定值
28、例 5 一个四位数 6 6 能被 134 整除，求这个四位数除以 134 的商，思维点拨 原四位数一定在 6006 到 6996 之间，容易求出商的范围，再利用整除性求出这个商.例 6 ， 都是真分数，且 1.38，那么 .3a7b3a7bab思维点拨 先用不等式估计 的大小，列出不定方程，从而求出整数解课内练习1试用估算法检验下列计算是否正确20541 203632某校六年级三个班举行一次数学考试五(1)班 41 人，平均分是 82 分；五(2)班 44 人，平均分是 83 分；五(3)班 41 人，平均分是 84 分，这三个班每人的数学平均分是( )分A82 B84 C83 D83.53求
29、 4.54.654.6654.6666666665 的整数部分4.求 的整数部分102095求 40(0.400.410.420.59)的商的整数部分是多少6下式是用四舍五入的方法计算得到的三个真分数的和， 十 十 1.35，5a7b8c那么，三个自然数 a( )，b( )，c( )课外作业1试用估算法检验下列计算是否正确0.8655.434.63752某车间加工一种机器零件，4 人 6 小时能加工 104 个，照这样计算，10 人加工 260 个零件，需要( )小时A.6 B7 C8 D.103设 A ，求 A 的整数部分999100104.求 的整数部分21095求 10701171127
30、22080 的整数部分6有一个算式 1.71，,算式左边方框里都是整数，右边答案是四舍五入后的359A近似值求算式中方框里的整数分别是多少.7六(1)班共 44 名学生，A，B，C，D，E 五名同学竞选班长已知 A 得票最多，得 23 票，B 第二名，C，D，E 分别为三、四、五名，E 得 3 票，问 B 最多得几票8三个真分数 1.35，那么 x，y，y 各是多少？359xyz9比较两式 4567812345 和 5678923456 的大小10求 的整数部分.110230你知道吗德国数学家高斯 10 岁的时候就能很快地算出 1231005050那么12398991009998974321?
31、你能很快算出来吗?宁宁能很快算出来，答案是 10000，因为他记住了一个速算的方法.请看： 12142 21232193 21234321164 2刚有公式： 123(n1)n(n1)321n 2.再看上面那道题目，它的答案就是 100210000.如果你记住了这个方法，那么你也能很快地算出这种类型的题目的答案了第 5 讲 最大与最小问题在日常生活中，经常会遇到有关最大、最小、最多、最少等问题，我们把这炎问题统称为最大与最小问题这类问题涉及的知识面广，题目复杂，大多数这样的问题并没有固定的解题模式，因此，解题时要根据题中给出的条件去分析、判断、推理，最后才能得出正确的答案例 1 下面是一个乘法
32、算式问：当乘积最大时所填的六个数字的和是多少？思维点拨 从算式看，积是三位数，最大可是 999.又一个因数是 5，所以积是 5 的倍数，从而积最大只能是 995.根据积与一个因数，就能求出另一个因数，使问题得到解决例 2 把 16 分成几个自然数的和，再求出这些自然数的乘积，要使得乘积尽可能大，问：这个乘积是多少？思维点拨 要想使拆成的几个自然数乘积最大，拆成的个数要尽可能多且不含 1，不宜大于 4，例如 5，可再拆成 2 和 3，因为 235，因此，所拆成的数大于 4 的应再拆还有，拆成的数中 2 的个数不宜多于 2 个，若多于 2 个，比如 3 个 2，因为 2226，而633，33222
33、，因此应尽量多拆出 3 来，这样可将 16 拆成 4 个 3 和 2 个 2，即16333322.此时乘积最大为 333322324.例 3 某人有一个长 20 米的铁丝网，他想借围墙做一面，用这个铁丝网围成一个长方形菜地，并使这块菜地的面积尽可能地大，问：这个菜地的最大面积是多少？思维点拨 因为菜地四周有三面用这个铁丝网围起来，另一面借助于已有的围墙，要使这个菜地的面积最大，即使得长与宽的乘积最大注意长与两个宽的和等于铁丝网的长度 20米，为定值当长与宽的乘积最大时，长与 2 倍的宽乘积也最大，反之亦对，于是问题转化为：当长与 2 倍宽的和为定值，即 20 米时，长2 倍的宽10 米，乘积最
34、大，即长为10 米、宽为 5 米时乘积最大.例 4 从 0，1 ，2，3，4，5 ，6，7，8，9 这十个数字中，选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被 3，5，7 和 13 整除，这个数最大是多少？思维点拨 要使这个五位数能被 3，5，7 和 13 整除，可知这个五位数是 3，5，7，13 的公倍数因为 3，5，7 和 13 的最小公倍数是 357131365，这个五位数中 1365 的最大倍数是 13657399645，但 99645 中有两个 9 重复，不符合题意，因而可将这个 99645逐个减少 1365，直至找出符合题意的五位数例 5 从 1， 2，3，1993 ，1994 这些
35、自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于 4？思维点拨 我们设法将这些自然数分组，使得每组中两数的差为 4由此，同组的两数中至多取出一个数，从而给出所能取出的数的个数的上界，再设法取出这些确定的数，说明这个数是可以达到的例 6 和平小学有若干名学生参加数学竞赛，每名学生的得分都是整数已知参赛学生的总分为 3063 分，且前三名的分数分别是 90，85，80，最低分数是 50 分，又已知前三名没有得分相同的学生，其他每个分数，得分相同的学生不超过 4 人，问：至少有多少学生不低于 60 分(包括前三名)?思维点拨 因为问的是得 60 分以上的至少有多少人，那么，我们应该让得 6
36、0 分以下的人尽可能地多，得 60 分以下的人最多可得(50515253545556575859)42180(分)，60 分以上 80 分以下的人共得分：3063( 9085802180)628(分)显然，得这 628 分的若干人应该是人数最少.628794784，这样，我们可以求出不低于 60 分的同学至少有 44311(人)课内练习1两个非零自然数相除商是 126，余数是 36，问：被除数最小是多少？2将 17 拆成几个自然数的和，并使这些自然数的乘积最大，最大的积是多少？3用长为 40 米的竹篱笆围成一块长方形菜地，其中一面靠墙，为使菜地面积最大，应怎样分配长与宽？最大面积是多少平方米？
37、4个位上的数字是 4，且能被 3 整除的六位数有多少个？最大的六位数是多少？5从 1，2，3，2002 中最多可以取多少个数，使得其中任意两个数之差都不等于5？6一次数学考试的满分是 100 分，6 名同学在这次考试中乇均得分是 91 分，这 6 名同学的得分互不相同，其中有 1 名同学仅得 65 分那么，得分排在第 3 名的同学至少得多少分？课外作业1下面算式中的两个方框内应填什么数，才能使这道整数除法题的余数最大？251092将 30 分成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？3有一块菜地长 35 米，宽 25 米，菜地中间留了 1 米的路，路把菜地分成四块(
38、如图)，菜地的实际面积是多少？4今有一队学生(300 人以内)，如果每 9 人排成一列，最后余下 4 人，如果每 7 人排成一列，最后余下 3 人，问：这队学生最少有多少人？最多有多少人？5从 4，8，12，16，76 这列数中，任取 11 个数，至少有两个数的差为 36，请你说明这是为什么6五名选手在一次数学竞赛中共得 404 分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得 90 分那么得分最少的选手至少得多少分，至多得多少分？(每名选手的得分都是整数)7一个三位数除以 43，商是 a，余数是 b(a，b 均为整数)，求 ab 的最大值是多少8如果 8 个人的平均年龄是 48 岁，已知在 8
39、 人中没有人大于 51 岁，又知最多能有 3 个人的年龄相同，那么年龄最小的可能是多少岁?9一个布袋中有 35 个同样大小的球，其中白色球、黄色球和红色球各 10 个，另外还有 3个蓝色球、2 个绿色球一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有 4 个是同色的？10.5 名选手在一次数学竞赛中共得 412 分，每人得分互不相等，并且其中最高得分为 90分那么得分最少的选手至少得多少分，至多得多少分？(得分都是整数)你知道吗为什么油桶、水箱等装液体的容器六都做成圆柱形的？这里有数学方面的道理，设圆柱形的底面半径是 r高为 h可以做成 2rh，2rh 三种形状的圆柱形容器，使用哪一种形状用料最
40、省呢?也就是上、下底面积和侧面积之和最小经过计算可以知道，当h2r 时，即取底面圆的直径和高相等时，用料最省，如果容器做成球形，则比做成圆柱形还要省料，但是球形容器容易滚动，很不稳定，而且盖子也难做好，做成球形虽然省料，但不实用，所以一般都不做成球的形状.第 6 讲 分数应用题分数应用题是小学数学的重点和难点之一它的基本类型有三种：1求一个数是另一个数的几分之几；2求一个数的几分之几是多少；3已知一个数的几分之几是多少，求这个数解答分数应用题的关键是找到单位“1” ，建立对应关系.例 1 甲数比乙数多 ，乙数比甲数少几分之几？13思维点拨 这是“求一个数是另一个数的几分之几”类型的分数应用题解
41、答这类题的方法是：看谁和单位“1”比，就用谁除以单位“1” ，本题是求乙数比甲数少几分之几，所以是用“乙数比甲数少的”除以甲数.例 2 小明看一本小说，第一天看了全书的 还多 16 页，第二天看了全书的 少 2 页，全1816书有 144 页小明这两天共看了多少页？思维点拨 此题的单位“1”是全书的页数，已经告诉我们全书有 144 页，所以这道题是“求单位 1 的几分之几是多少”的类型例 3 小明看一本书，第一天看了全书的 ，第二天看了 40 页，第三天看的页数是前两天16看的总数的 ，这时还剩下全书的 没有看问：全书共有多少页？24思维点拨 第三天看的页数是前两天看的总数的 ，就是指第三天看
42、的页数是全书的 3216加上 40 页的 ，由此可知，已知数量(4040 )的对应分率是3232(1 )1614例 4 甲、乙两数之和是 270，甲数的 等于乙数的 甲、乙两数各是多少？1415思维点拨 题中有甲数、乙数两个单位“1” ，需统一单位“1” 把甲数看做单位“1” ，那么乙数就是甲数的 ，即甲数的 这样与和 270 相对应的具体分率是 1 ，由此1455 54可求出单位“1”.例 5 向前小学六年级有学生 480 人，其中女生占 ，后来转来了一些女生，这样女生占712六年级总人数的 ，转来的女生有多少人？3思维点拨 在本题中，女生人数、六年级总人数都发生了变化，但男生人数却没有变化
43、，因此可抓住男生人数这个不变量求出后来的总人数，从而推出转来的女生人数，例 6 为了庆祝六一儿童节，学校买来红气球和黄气球共 200 个，红气球的 比黄气球的14多 14 个学校买来红气球和黄气球各多少个？15思维点拨 设学校买来红气球 1 个，黄气球就有(200x)个，根据题目中的条件“红气球的 比黄气球的 多 14 个” ，可以列出下面的等量关系式：红气球的 黄气球的415 141415课内练习1甲数比乙数少 ，乙数比甲数多几分之几？252一堆煤 1050 吨，一季度烧了 还多 10 吨，二季度烧了原总煤量的 少 5 吨，还剩多273少吨？3一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了 50 千米
44、，第二小时行了全程的 ，第三小时13行的是前两小时行的总和的 ，这时还剩下全程的 ，甲、乙两地相距多少千米？65144小华和小红共有 910 元存款，小华存款的 和小红存款的 相等，她们俩入各有存款25多少元？5某校六(2)班有 48 人，女生占 ，转走几名女生后，女生 ，转走了几名女生？12136师徒两人合作加工 400 个零件，师傅加工的 比徒弟加工的 还多 8 个，师徒两人各54加工了多少个？课外作业1六(1)班星期二这天出勤 39 人，缺勤 1 人，求六(1)班这天的出勤率2甲、乙两城相距 960 千米，自行车队从甲城出发去乙城，第一天行了全程的 多 15 千16米，第二天行了全程的
45、多 20 千米，第三天行了全程的 自行车队三天共行了多少千1810米？3王师傅加工一批零件，第一天加工了 40 个，第二天加工了这批零件的 ，第三天加工14的比前两天加工的总和的 还多 20 个，这时还剩下这批零件的 没有加工，这批零件共4520有多少个？4甲、乙两个仓库共有 510 吨货物，从甲仓运走 ，从乙仓运走 后，两仓库剩下的货1413物正好相等，甲、乙两个仓库原有货物各多少吨？5数学兴趣小组中，女生人数占 ，后来又有 8 名女同学参加，这时，女生人数占数学38兴趣小组人数的 ，求这个数学兴趣小组现在共有多少人496王伟和李刚共有 800 元存款，王伟取出自己存款的 ，李刚取出自己存款
46、的 ，这时4534两人还共有存款 170 元，王伟和李刚原来各有存款多少元？7红山小学六年级举行数学和语文竞赛，参加的人数占全年级总人数的 ，参加语文竞25赛的占竞赛人数的 ，参加数学竞赛的占竞赛人数的 ，两项都参加的有 12 人，全年级2534共有多少人？8甲、乙、丙、丁四人共有存款若干，其中甲有 480 元，乙的存款是其余三人的 ，丙12的存款是其余三人的 ，丁的存款是其余三人的 ，甲、乙、丙、丁四人共有存款多少元？13259有一家粮店运进一批大米，第一天卖出总量的 ，第二天卖出总量的 ，第三天卖出2913剩下的 ，此时只剩下 100 千克，问：原运进大米多少？1410.有一个水池，第一天
47、放出全部水的 ，第二天放出 40 立方米，第三天放出全部水的 ，25 25此时水池中还有水 56 立方米，试问：这个水池一共有水多少？你知道吗关于乘法的记号.人类很早就掌握了乘法运算，我国古代就出现了“九九”乘法表，在西方还出现过格子乘法，乘法的记号“”是 1631 年由英国数学家奥特雷德( W.Oughtxed，15741660)倡用的，由于容易和拉丁字母“x”相混，17 世纪丰经莱布尼兹(GW.1eibnix，16461716,德国数学家)提出改阐“” 在我国，这两种记号都采用，数字的乘法用记号“” ，而数字和字母相乘或是字母之间相乘，则用记号“”或省略不写第 7 讲 百分数应用题在日常生活中会遇到很多百分数问题，如溶液的质量分数问题、商品的打折出售、利润率的计算、储蓄的利息等，其中常用的数量关系有：溶液的质量分数 10%溶 质 的 质 量溶 液 的 质 量 10%+溶 质 的 质 量溶 剂 的 质 量 溶 质 的 质 量利润售价成本，利润率 100%，利 润成 本售价成本(1利润率)
