1、 导数与零点考点一。求参数取值范围（1）设函数 ,若方程 有且仅有一个实根，求 的取值范围 329()6fxxa()0fxa解：(1) , 因为 当 时, ;当 时, ;当 时, 2(1)21()0fx12x()0fx2;所以 当 时, 取极大值 ; 当 时, 取极小值 ;()0fxxf5()fa2a故当 或 时, 方程 仅有一个实根 . 解得 或 .2(1)0f0fx5a（2）已知函数 ,若 在 处取得极值，直线 y=m 与 的图象有三3xa， （ ） ()fx1()yfx个不同的交点，求 m 的取值范围。解： 因为 在 处取得极大值，所以 22()(),f ()f 2(1)3()0,1.f
2、a所以 由 解得 。 在 处取得极大值 ，31,3xfx0x12,xx()f在 处取得极小值 ，又直线 与函数 的图象有三个不同点，则 的范围是 。1()fym()yf m(3,1)（3）已知函数 ，若曲线 与直线 有两个不同的交点,求 的取值范围.2sincoxxxybb解:由 ,得 ，令 ,得 . 2()if ()2cos)f()0fx函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增, 是 的最小值. x(0)01()f当 时,曲线 与直线 最多只有一个交点; 1byfxyb当 时, 与直线 有且只有两个不同交点.综上可知, 的取值范围是 . () b(,)(4）已知函数，若直线 与曲线 没有
3、公共点,求 的最大值.1xfxe:1lykx()yfxk解:，直线 : 与曲线 没有公共点, 等价于关于 的方程 在xflf x1xe上没有实数解,即关于 的方程: 在 上没有实数解. RxkeR当 时,方程 (*)可化为 ,在 上没有实数解. 1k10xe当 时,方程 (*)化为 . 令 ,则有 . 令 ,得 , kxg1xge0g1x当 时, ,同时当 趋于 时, 趋于 , 从而 的取值范围为 .1xmin1gxex,e所以当 时,方程(*)无实数解, 解得 的取值范围是 . 综上,得 的最大值为 . 1kek1ek1考点二。判断零点个数，证明（1）已知函数 ()e,xfR. 证明: 曲线
4、 y = f (x) 与曲线 21yx有唯一公共点. 证明： 则令 ,1212Rxehx 0)(,)0()(,)()(,1)( hhhxex ，且的 导 数单 调 递 增时当单 调 递 减时当 ;0 xyxxy )(,)( Rhxy 个 零 点上 单 调 递 增 ， 最 多 有 一在所 以所以,曲线 y=f(x)与曲线 12xy只有唯一公共点(0,1). (2)已知函数 ,判断函数 f(x)在（0，）内的零点个数，并加以证明。3()sinfx解： i()sincosfhxfx当 x2,0时， 0()fy在 ,2上单调递增， 3(0)0()2f yfx在(,上有唯一零点当 x,2时， ()2co
5、sin0()hxxfx 当 ,2上单调递减，2()0f存在唯一 0(,)使 0f。 由得：函数 f在 ,内有两个零点。（3）已知函数 ，证明：对任意的 在区间 内均存在零点32461xtxt(0,)(tfx(0,1)解： ，令 ，解得2()16ft()0f.2x或当 时， 在 内的单调递减，在 内单调递增，以下分两种情况讨论：0tfx0,2t（1）当 时， 在（0，1）内单调递减，,2t即 ()fx2(0)1,6436430.f t所以对任意 在区间（0，1）内均存在零点。)(tfx（2）当 时， 在 内单调递减，在 内单调递增，0,2t即 ()f0,2t,12t若 ，33t77(0,110.
6、244tftt 2(1)64364320.fttt所以 内存在零点。(),tfx在若 ， ，所以 内存在零点。3377(1,2)10.44ttftt ()10ft()0,2tfx在所以，对任意 在区间（0，1）内均存在零点。(,)(tfx（4）已知 是实数，1 和 是函数 的两个极值点，设 ，其中 ，ab， 32()fxab()()hxfc2，求函数 的零点个数()yhx解：由 ，得 ，1 和 是函数 的两个极值点，32fx2()3fx132()fxabx ， ，解得 ，则 ，(1)=0ab1=0ab=ab， 令 ，则 ，先讨论关于 的方程 根的情况： 。fxt()hxftcx()fxd2,
7、d当 时， 的两个不同的根为 1 和一 2 ， 是奇函数， 的两个不同的根为-1 和 2。=2d2f ()=fx当 时， ， ，一 2 , 1，1 ，2 都不是()=()20fdfd在 无实根。()fxd2， 当 时 ，于是 是单调增函数。又 ， ， 的图象不1 ()0fx()fx(1)0fd(1)0fd=()yfxd不间断， 在（一 1，1 ）内有唯一实根。()fd因此，当 时， 有两个不同的根 满足 ；当 时=2fx12x， 12= x， 2d有三个不同的根 ，满足 ，现考虑函数 的零点：()fxd315， ， 3,4 5ii， ()yhx( i ）当 时， 有两个根 ，满足 。而 有三个不同的根， 有两个不同2c()ftc12t，12t，1()ft 2()=fxt的根，故 有 5 个零点。()yhx( 11 ）当 时， 有三个不同的根 ，满足 ，而 有三个不2c()=ftc345tt，2 =3,4 5iti， =3,()4 5ifxt同的根，故 有 9 个零点。(yhx综上所述，当 时，函数 有 5 个零点；当 时，函数 有 9 个零点。2c()yhx2c()yhx
