1、利用算子半群理论看热传导方程初边值问题解的存在性蔡园青 PB06001093在偏微分发展的历史上，人们为了求解各类方程发展了不同的方法，比如 Fourier 变换法，Laplace 变换法等等。而作为数学发展的趋势，后出现的理论往往是从一个更高的层面上去看前面的理论。比如说代数中用模的理论去看待Jordan 标准型，从而引伸出更加深刻的结果。在偏微分发展的理论中，算子半群理论就是在一定高度上去看待偏微分方程可解性的一个工具。算子半群方法是求解偏微分方程中的发展方程（包括热传导方程、波动方程、抛物型方程、双曲型方程、Schrodinger 方程等） 。它可以用来求解线形与非线性发展方程的定解问题
2、。接下来，本人将利用自己这学期所学的泛函分析的知识，利用算子半群理论来考虑热传导方程的初边值问题的求解。一、算子半群的定义及原型设 是一个 Banach 空间。一族 到它自身的有界线性算子 称为一个强连续算子半群（简称强XX1()|TtR连续半群）是指：（1） ；(0)TI（2） ， ；()stst,0t（3） 在 模下连续。,xxX（2）称为半群条件， （3）称为连续条件。另外，联合（1） 、 （2）可以推出（3）等价于下面的条件：（4） ，当 。,()0Ttt（4）成为在 点处的连续条件。0t算子半群在微分方程、概率论（马氏过程） 、系统理论、逼近轮和量子理论是经常出现的。下面给出两个例子
3、说明其原型。来自常微分方程的例子。设 是一个 实矩阵，方程组An0(),ndxtAtR在空间 中解存在唯一。设 ，考察映射1(0,)nCR0t。0():()Ttxt那么由解的存在性， 有定义。它们显然是线性算子，并且由解对初值的连续依赖性，他们是有界的。()|0Tt容易验证 满足强连续半群的条件。实际上，条件（1）为初值定义所蕴含，条件（2）由方程平移不|变性和唯一性保证，条件（3）由解的连续性推出。另一方面，在常微分理论中，我们可以将 具体写出来：()|0Tt。0!ntAe由上式可以看出算子半群 与矩阵 的关系： 可以通过 的指数表达出来。()|0Tt()Tt再看热传导方程。在 中考察热传导
4、方程：0,),0,()0,(,txuttfx利用分离变量法，其解为，21(,)sintnutxae其中， 。02()sinnafxd若 ，方程的解将会在 时绝对收敛。而且关于 或 逐项求导所得级数均内闭一致收敛。(),fL0ttx同样的考虑，固定 ，将方程的解看作从 到 的一个映射，记为 ，则 。于是对t ()fx,)ut ()St(,)()utxStf， 为 到 的一个线性映射，而且容易看出这是有界的。0,)t(St20,2,L又对 12,)(fx2 212 1()21 121 1()()sinsin()ntt ntnStfxaexaexStfx于是， 212()tt而显然又有 。(0SI又
5、由积分的绝对收敛性及极限函数与赋值的可交换性，当 时，0t2012()()()sin)si()ntnStfxfxdexf01()i)i()0nff由此知算子族 构成单参数连续半群。()St在第一个例子中我们看到， 可以通过 的指数表达出来，那么对于第二个例子甚至是其他的例子，是否也()TtA有类似的关系。这个问题的回答依赖于无穷小生成元的定义及著名的 Hille-Yosida- Philips 定理。二、无穷小生成元及 Hille-Yosida- Philips 定理设 是一个 Banach 空间。 是 上一个强连续算子半群，令X1()|tRX1(),0tATtIt并按下列方式定义 上算子：
6、*0()|,lim,ttDxAx:算子 成为 上的无穷小生成元。A1()|TtR无穷小生成元有以下比较好的性质：（1）稠定性，线性性（2） 将 映入到 内，并且当 时，()TtDA()()xDA()dTttxTt容易看出对于上面的第一个例子，矩阵 是算子半群 的无穷小生成元。在第二个例子中，这个问题|0变得不明显。实际上，对于一般的问题，Hille-Yosida-Philips 定理给了一个很好的回答。（Hille-Yosida-Philips）为了一个线性稠定闭算子 成为一个强连续算子半群 的无穷小生成元，必A1()|TtR须且仅须：（1） ，使得0；0(,)(（2） ，使得当 时，M0()
7、,12.()nnMA我们利用 Hille-Yosida-Philips 定理再来考虑热传导方程。记 ，令 ， ，则 可以扩张成一个 的闭算子，记为 ，此时定2Ax2(0,)LX0(,)DCXA义域为 。由 Garding 不等式，存在常数 ， ，使得210(,),H00，()u，22001Re(,)Auu其中 是 模。于是当 时，1(0,)H0，201e(),从而，222 ()()()Re(),()AuuAuu其中 。所以0。22()()因此 。于是由 Hille-Yosida-Philips 定理知 是一个强连续算子半群 的生成元。当0(,)(AA1()|TtR时，初边值问题有解210,)fxH(,)()utxTtfx事实上， 2(,)()()dxttf uAtfdx即 为原方程的解。于是这就从算子半群的角度证明了热传导方程初边值问题解的存在性。(,)()utxTtfx从这个例子可以看出算子半群方法在偏微分方程中的威力。实际上，这也只是泛函分析方法在偏微分方程中的应用的冰山一角。相信随着数学的发展，会由越来越多的泛函分析工具为偏微分方程注入更强大的活力。参考文献：1泛函分析讲义（下册）.张恭庆 郭懋正.北京.北京大学出版社 .20032现代偏微分方程导论.陈恕行.北京.科学出版社.20053线性偏微分方程引论.王元明 管平.江苏.东南大学出版社 .2002
