1、数学物理方法论文（圆柱体齐次边界条件以及matlab 的可视化）学院: 信息院 年级: 2011 级班级: 通信一班姓名: *一、应用背景:现在由于公寓楼采用集体供暖的措施,需要在地下铺设圆柱形长管道,而对于管道的半径选取需要进行一定的计算,才能使得热水在传送过程中不会因温度过低而达不到用户的要求。对于以上的问题，我们可以简化到应用数学中来解决。二、简化例题：若一供暖公司采用的运输管道为标准圆柱体，其半径为 。 ，长为 L，设管入口有均匀分布的强度为 q。的热流流入，出口有相同的热流流出，管道侧面保持温度为 0。求解管道内的稳恒温度。三、例题解答：解： 因为上下底非齐次边界的非齐次项是常数，故
2、可较易化成齐次边界。这样本征值问题就变成傅里叶级数本征问题，而不是贝塞尔函数本征问题，同时系数的求解也较为简单。令 z01kqvkqu0则 的定解问题为：vzkqvLzz0020,分离变数得到的本征值问题为： 0,0“2LzzZZh解得 .2,1,nLhn，zAZnncos问题在柱内的有限解为： LnnnIzAz 00cos，由初始条件，得 zkqIAn zLnLn 000ncos将上式右端展为傅里叶余弦级数，则有 dzLnzkqLnLInAcos20000 LznzLnnLnLkIq02000 sicos2- 12- 200 nkIq12,4002 mnLnIkqm但 不 等 于， 0,-0
3、100 IkzdLIAL 0 002020 12cos1142-m zLmLmIIkLq kqu四、以上问题的 Matlab 的可视化：建立圆柱体：t=linspace(-pi,pi,200);y=linspace(0,4,200);T,Y=meshgrid(t,y);X=sin(T);Z=cos(T);mesh(X,Y,Z);axis equal由于本题中需要四维的数学建模（三维立体图形，再加一维的温度坐标） ，对于专业知识要求较高，以现有的知识水平还无法对四维进行分析求解，因此采用三维坐标（二维管道的横截面，再加一维的平面温度分布） ，进行求解。在此的简略，还望老师谅解！对于二维平面的温度
4、分析如下：（利用菜单命令进行仿真）第一步：在 matlab 中进入 GUI 界面，在 Options 菜单下选择Grid 命令，打开栅格，然后绘制平面图形。第二步：选择 Boundary 菜单中的 Boundary Mode 命令，进入边界模式。单击 Boundary 菜单中的 Specify Boundary Conditions 对话框，输入边界条件，本体为全部边界条件为齐次 Dirichlet 条件。第三步：选择 PDE Mode 命令，进入 PDE 模式，打开 PDE Secification 选项，设置方程类型。第四步：选择 Mesh 菜单中的 Initialize Mesh 命令，
5、进行网格剖分。选择 Refine Mesh 命令，使网格密集化。第五步：选择 Solve 菜单中 Solve PDE，显示第六步：单击 Plot 菜单中 Parameter 选项，进行对话框内的勾选，可以显示等值线图和矢量场图。第七步：单击 Plot 菜单中 Parameter 选项，进行对话框内的勾选，可以显示三维图形解。五、本课题总结：通过本次的实验练习，我对于边界条件的认识有了进一步的掌握，感受到了数学物理方法的实际应用性，对于生活中的一些实际问题有了新的认识层面。同时，我对于应用数学的 matlab 解法有了一定的掌握，学到了以前没有学过的新知识，我认为这次的实验对于我知识面的扩展有较大的帮助！六、参考文献：高等应用数学的 matlab 求解 薛定宇 陈阳泉 著数学物理方法 （第四版） . 梁昆淼 编
