1、第 1 页（共 17 页）2015-2016 学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1已知全集 U=R， ，则 AUB= 2若函数 ，则 f（x）g（x）= 3函数 y= 的定义域是 4不等式 ax+b0 的解集 A=（2，+），则不等式 bxa0 的解集为 5已知函数 f（x）=x 2（a1 ）x+5 在区间（ ，1）上为增函数，那么 f（2）的取值范围是 6已知集合 A=x|x2，B=x|xm|1，若 AB=B，则实数 m 的取值范围是 7“ 若 a+b2，则 a2 或 b2”的否命题是 8设 f（x）是 R 上的偶函数，f（1）=0 ，且在（0，+）上是增函数，则（x1）f（
2、x1）0 的解集是 9已知函数 f（x）=x 2+mx1，若对于任意 xm，m+1，都有 f（x）0 成立，则实数 m 的取值范围是 第 2 页（共 17 页）10已知定义在 R 上的偶函数 f（x）在0，+ ）上是增函数，且 f（2）=1 ，若 f（x+a）1 对x1，1 恒成立，则实数 a 的取值范围是 11已知 的解集为m，n，则 m+n 的值为 二、选择题12给出下列命题：（1）=0 ；（2）方程组 的解集是1，2 ；（3）若 AB=BC，则 A=C；（4）若 U 为全集，A，BU ，且 AB=，则 AUB其中正确命题的个数有（ ）A1 B2 C3 D413“ 2a2”是 “一元二次方
3、程 x2+ax+1=0 没有实根”的（ ）A充要条件 B必要非充分条件C充分非必要条件 D非充分非必要条件14已知 aR，不等式 的解集为 P，且4P，则 a 的取值范围是（ ）Aa4 B3 a4 Ca 4 或 a3 Da4 或 a 315函数 f（x）= ，若 f（0）是 f（x）的最小值，则 a 的取值范围为（ ）A1，2 B1，0 C1，2 D0 ，2第 3 页（共 17 页）三、解答题（8+8+10+14 分）16记关于 x 的不等式 的解集为 P，不等式|x1|1 的解集为 Q（）若 a=3，求 P；（）若 QP，求正数 a 的取值范围17设 ：A=x| 1x1，：B=x|b axb
4、+a（1）设 a=2，若 是 的充分不必要条件，求实数 b 的取值范围；（2）在什么条件下，可使 是 的必要不充分条件18设函数 f（x）=3ax 22（a+c）x+c（a 0，a，c R）（1）设 ac0，若 f（x）c 22c+a 对 x1，+恒成立，求 c 的取值范围；（2）函数 f（x）在区间（0， 1）内是否有零点，有几个零点？为什么？19已知集合 M 是满足下列性质的函数 f（x）的全体：在定义域（0，+）内存在 x0，使函数 f（x 0+1） f（x 0）f（1）成立；（1）请给出一个 x0 的值，使函数 ；（2）函数 f（x）=x 2x2 是否是集合 M 中的元素？若是，请求出
5、所有 x0 组成的集合；若不是，请说明理由；（3）设函数 ，求实数 a 的取值范围第 4 页（共 17 页）2015-2016 学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1已知全集 U=R， ，则 AUB= 0 【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题；集合【分析】先确定集合 A=0，3，再确定 CUB=x|x ，最后根据交集定义运算得出结果【解答】解：因为 A=x|x23x=0=0，3，而 B=x|x ，且 U=R，所以，C UB=x|x ，所以，x|x 0，3=0，即 ACUB=0，故答案为：0【点评】本题主要考查了集合间交集，补集的混合运算，涉及一元二次方程
6、的解法，交集和补集的定义，属于基础题2若函数 ，则 f（x）g（x）= x（x0） 【考点】函数解析式的求解及常用方法【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用【分析】直接利用函数的解析式化简求解即可【解答】解：函数 ，则 f（x）g（x）= =x，x0故答案为：x（x0）【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力第 5 页（共 17 页）3函数 y= 的定义域是 x|1x1 或 1x4 【考点】函数的定义域及其求法【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用【分析】利用分母不为 0，开偶次方被开方数方法，列出不等式组求解可得函数的定义域【解答】解：要使函数有意义，可得： ，解得
7、：1x1 或 1x4函数的定义域为：x| 1x1 或 1x 4故答案为：x| 1x1 或 1 x4【点评】本题考查函数的定义域的求法，是基础题4不等式 ax+b0 的解集 A=（2，+），则不等式 bxa0 的解集为 （， 【考点】其他不等式的解法【专题】方程思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】由题意可得 a0，且 2a+b=0，解得 b=2a，代入要解的不等式可得【解答】解：不等式 ax+b0 的解集 A=（2，+），a0，且 2a+b=0，解得 b=2a，不等式 bxa0 可化为 2axa0，两边同除以 a（a 0）可得 2x10，解得 x故答案为：（， 【点评】本题考查不等式的解集，
8、得出 a 的正负是解决问题的关键，属基础题5已知函数 f（x）=x 2（a1 ）x+5 在区间（ ，1）上为增函数，那么 f（2）的取值范围是 7， +） 【考点】二次函数的性质第 6 页（共 17 页）【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】求得二次函数的对称轴，由题意可得 ，求得 a 的范围，再由不等式的性质，可得f（2）的范围【解答】解：函数 f（x）=x 2（a1）x+5 的对称轴为 x= ，由题意可得 ，解得 a2，则 f（2）=4 2（ a1）+5=112a7故答案为： 7，+ ）【点评】本题考查二次函数的单调性的运用，考查不等式的性质，属于中档题6已知集合 A=x|x
9、2，B=x|xm|1，若 AB=B，则实数 m 的取值范围是 3 ，+） 【考点】交集及其运算【专题】计算题；转化思想；定义法；集合【分析】先求出集合 B，再利用交集定义和不等式性质求解【解答】解：集合 A=x|x2，B=x|xm|1=x|m1 xm+1，AB=B，m12，解得 m3，实数 m 的取值范围是 3，+）故答案为：3，+）【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用7“ 若 a+b2，则 a2 或 b2”的否命题是 “若 a+b2，则 a2 且 b2” 【考点】四种命题【专题】演绎法；简易逻辑第 7 页（共 17 页）【分析】根据否命题
10、的定义，结合已知中的原命题，可得答案【解答】解：“若 a+b2，则 a2 或 b2”的否命题是“若 a+b2，则 a2 且 b2”，故答案为：“若 a+b2，则 a2 且 b2”【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的概念，是解答的关键8设 f（x）是 R 上的偶函数，f（1）=0 ，且在（0，+）上是增函数，则（x1）f（x1）0 的解集是 （0，1）（2，+） 【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系先求出 f（x）0 和 f（x）0 的解集，进行求解即可【解答】解：f（x）是 R 上的
11、偶函数，f （1）=0，且在（0，+）上是增函数，f（ 1）=f（1） =0，则函数 f（x）对应的图象如图：即当 x1 或 x1 时，f（x）0，当 0x1 或1x0 时，f（x）0，则不等式（x1 ）f（x1）0 等价为 或 ，即 或 ，即 或 ，即 x2 或 0x1，即不等式的解集为（0，1）（2，+ ），故答案为：（0，1）（2，+）第 8 页（共 17 页）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合求出 f（x）0 和 f（x）0 的解集是解决本题的关键9已知函数 f（x）=x 2+mx1，若对于任意 xm，m+1，都有 f（x）0 成立，则实数 m
12、 的取值范围是 （ ，0） 【考点】二次函数的性质【专题】函数的性质及应用【分析】由条件利用二次函数的性质可得 ，由此求得m 的范围【解答】解：二次函数 f（x ）=x 2+mx1 的图象开口向上，对于任意 xm，m+1，都有 f（x）0 成立， ，即 ，解得 m 0，故答案为：（ ，0）【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题第 9 页（共 17 页）10已知定义在 R 上的偶函数 f（x）在0，+ ）上是增函数，且 f（2）=1 ，若 f（x+a）1 对x1，1 恒成立，则实数 a 的取值范围是 1，1 【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合【专题】计
13、算题【分析】先利用 f（x）是 R 上的偶函数，且 f（2）=1 ，得到 f（2）=f （2）=1；再由 f（x）在0，+ ）上是增函数，f（x+a）1 对 x1，1 恒成立，导出2xa2x 在 x1，1上恒成立，由此能求出实数 a 的取值范围【解答】解：f（x）是 R 上的偶函数，且 f（2）=1，f（ 2）=f（2） =1；f（ x）在0，+）上是增函数，f （x+a ）1 对 x1，1恒成立，2x+a2，即2 xa2x 在 x1，1 上恒成立，1a1，故答案为： 1，1【点评】本题考查函数恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性、单调性的灵活运用11已知 的解集为m，n，
14、则 m+n 的值为 3 【考点】根与系数的关系【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】利用二次函数的单调性、一元二次不等式的解法即可得出【解答】解：解： x22x+3= （2x 26x+9）= （x3） 2+x2 ，令 n22n+3=n，得 2n29n+9=0，解得 n= （舍去），n=3 ；令 x22x+3=3，解得 x=0 或 3第 10 页（共 17 页）取 m=0m+n=3故答案为：3【点评】本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，属于基础题二、选择题12给出下列命题：（1）=0 ；（2）方程组 的解集是1，2 ；（3）若 AB=BC，则 A=C；（4）若
15、 U 为全集，A，BU ，且 AB=，则 AUB其中正确命题的个数有（ ）A1 B2 C3 D4【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题；集合思想；数形结合法；集合【分析】由集合间的关系判断（1）；写出方程组的解集判断（2）；由 AB=BC，可得 A=C 或A、C 均为 B 的子集判断（ 3）；画图说明（4）正确【解答】解：（1）0 故（1）错误；（2）方程组 的解集是（1，2） 故（2）错误；（3）若 AB=BC，则 A=C 或 A、C 均为 B 的子集故（ 3）错误；（4）若 U 为全集，A，BU ，且 AB=，如图，则 AUB故（4）正确正确命题的个数是 1 个故选：A第 11 页（共
16、 17 页）【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了集合的表示法及集合间的关系，是基础题13“ 2a2”是 “一元二次方程 x2+ax+1=0 没有实根”的（ ）A充要条件 B必要非充分条件C充分非必要条件 D非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】方程思想；判别式法；简易逻辑【分析】一元二次方程 x2+ax+1=0 没有实根，则 0解出即可判断出【解答】解：若一元二次方程 x2+ax+1=0 没有实根，则=a 240解得2 a2“2a2”是“一元二次方程 x2+ax+1=0 没有实根” 必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了一元二次方程有实数根与判别式的关系、
17、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14已知 aR，不等式 的解集为 P，且4P，则 a 的取值范围是（ ）Aa4 B3 a4 Ca 4 或 a3 Da4 或 a 3【考点】其他不等式的解法【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用【分析】原不等式化为 0，分类讨论即可得到答案【解答】解： 化为式 10，即 0，即 0，当 a+30 时，即 a 3 时，原不等式为 x+a0，即 xa，4P，a4；第 12 页（共 17 页）当 a+30 时，即 a 3 时，原不等式为 x+a0，即 xa，4P，a3；当 a+3=0 时，即 x，4P，综上所述：a 的取值范围为 a
18、4，或 a3，故选：C【点评】本题考查分式不等式解法的运用，关键是分类讨论，属于与基础题15函数 f（x）= ，若 f（0）是 f（x）的最小值，则 a 的取值范围为（ ）A1，2 B1，0 C1，2 D0 ，2【考点】函数的最值及其几何意义【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】由分段函数可得当 x=0 时，f （0）=a 2，由于 f（0）是 f（x）的最小值，则（，0 为减区间，即有 a0，则有 a2x+ +a，x0 恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值 2+a，解不等式 a22+a，即可得到 a 的取值范围【解答】解：由于 f（x）= ，则当 x=0 时，f（0）=a 2，由于
19、 f（0）是 f（x）的最小值，则（，0 为减区间，即有 a0，则有 a2x+ +a，x0 恒成立，第 13 页（共 17 页）由 x+ 2 =2，当且仅当 x=1 取最小值 2，则 a22+a，解得1a 2综上，a 的取值范围为0 ，2故选：D【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题三、解答题（8+8+10+14 分）16记关于 x 的不等式 的解集为 P，不等式|x1|1 的解集为 Q（）若 a=3，求 P；（）若 QP，求正数 a 的取值范围【考点】集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法；绝对值不等式的解法【分析】（I）分式不等式
20、 的解法，可转化为整式不等式（xa）（x+1）0 来解；对于（II）中条件 QP，应结合数轴来解决【解答】解：（I）由 ，得 P=x|1x3 （II）Q=x|x 1|1=x|0x2由 a0，得 P=x|1xa，又 QP，结合图形所以 a2，即 a 的取值范围是（2，+）【点评】对于条件 QP 的问题，应结合数轴来解决，这样来得直观清楚，便于理解17设 ：A=x| 1x1，：B=x|b axb+a（1）设 a=2，若 是 的充分不必要条件，求实数 b 的取值范围；（2）在什么条件下，可使 是 的必要不充分条件第 14 页（共 17 页）【考点】充要条件【专题】转化思想；集合思想；简易逻辑【分析】
21、（1）若 是 的充分不必要条件，则 AB，即 ，解得实数 b 的取值范围；（2）若 是 的必要不充分条件，则 BA，即 且两个等号不同时成立，进而得到结论【解答】解：（1）a=2，：B=x|b 2xb+2若 是 的充分不必要条件，则 AB，即 ，解得：b 1，1；（2）若 是 的必要不充分条件，则 BA，即 且两个等号不同时成立，即 a1，b|a 1|【点评】本题考查的知识点是充要条件，正确理解并熟练掌握充要条件的概念，是解答的关键18设函数 f（x）=3ax 22（a+c）x+c（a 0，a，c R）（1）设 ac0，若 f（x）c 22c+a 对 x1，+恒成立，求 c 的取值范围；（2）
22、函数 f（x）在区间（0， 1）内是否有零点，有几个零点？为什么？【考点】函数零点的判定定理；二次函数的性质【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】（1）由题意可得：二次函数的对称轴为 x= ，由条件可得：2aa+c，所以 x= 1，进而得到 f（x）在区间 1，+）是增函数，求出函数的最小值，即可得到答案第 15 页（共 17 页）（2）二次函数的对称轴是 x= ，讨论 f（0）=c0，f （1）=a c0，而 f（ ）=0，根据根的存在性定理即可得到答案【解答】解：（1）因为二次函数 f（x）=3ax 22（a+c）x+c 的图象的对称轴 x= ，因为由条件 ac 0，得 2a a+c，所
23、以 x= 1，所以二次函数 f（x）的对称轴在区间 1，+）的左边，且抛物线的开口向上，所以 f（x）在区间1，+）是增函数所以 f（x） min=f（1）=ac ，因为 f（x）c 22c+a 对 x1，+ 恒成立，所以 acc 22c+a，所以 0c1；（2）二次函数 f（x）=3ax 22（a+c）x+c 图象的对称轴是 x= 若 f（0）=c 0 ，f （1）=a c0，而 f（ ）= 0，所以函数 f（x）在区间（0， ）和（ ，1）内分别有一零点故函数 f（x）在区间（0，1）内有两个零点；若 f（0）=c 0 ，f （1）=a c0，而 f（ ）= 0，故函数 f（x）在区间（0
24、，1）内有一个零点【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，以及根的存在性定理19已知集合 M 是满足下列性质的函数 f（x）的全体：在定义域（0，+）内存在 x0，使函数 f（x 0+1） f（x 0）f（1）成立；（1）请给出一个 x0 的值，使函数 ；第 16 页（共 17 页）（2）函数 f（x）=x 2x2 是否是集合 M 中的元素？若是，请求出所有 x0 组成的集合；若不是，请说明理由；（3）设函数 ，求实数 a 的取值范围【考点】元素与集合关系的判断【专题】应用题；新定义；函数思想【分析】（1）取值带入即可；（2）根据函数 f（x）的定义求解 x0 即可；（3）利用函数的思想求解【解答】解：（1）令 x0=2，则 ，成立；（2）假设函数 f（x）=x 2x2 是集合 M 中的元素，则存在 x0，使f（x 0+1）f（ x0）f（1）成立，即（x 0+1） 2（x 0+1）2 （ ）（2），解得： ，故 x0 组成的集合是：x 0| ；（3）函数 f（x）= ， ，设 g（x）= = ，0 g（ x）3，2a=0 时显然成立，当 a0 时，ag（x），a 3；a0 时，ag（x），a 0；综上，a0 或 a3第 17 页（共 17 页）【点评】本题考查新定义及运用，考查运算和推理能力，考查函数的性质和应用，正确理解定义是迅速解题的关键，属于中档题
