1、丰台区 2015 年高三年级第二学期统一练习（二） 2016.5数学（理科）第一部分 （选择题 共 40 分）选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合 ，那么 =2R|21,R|0AxxBxAB（A） （B） （C） （D）(2,0)()(,)(0,1)2.极坐标方程 =2cos 表示的圆的半径是（A） （B） （C）2 （D）11143. “ ”是“ ”的0x2x（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件4.已知向量 ， ， ，则 等于_ .13(,)2a(,1)bcabca
2、（A） （B） （C） 1 （D）-15.如图，设不等式组 表示的平面区域为长方形 ABCD，长方形 ABCD 内的曲,01xy线为抛物线 的一部分，若在长方形 ABCD 内随机取一个点，则此点取自阴影部分的2yx概率等于（A） 3（B） 1（C） 2（D） 46.要得到 的图象，只需将函数 的图象2()log()x2()logfx（A）向上平移 1 个单位 （B）向下平移 1 个单位（C）向左平移 1 个单位 （D）向右平移 1 个单位7.已知等比数列 的前 项和为 ，则下列结论中一定成立的nanSOyxDCAB（A）若 ，则 （B）若 ，则50a20152015S（C）若 ，则 （D）若
3、，则66 668. 如图,已知一个八面体的各条棱长均为 1,四边形 ABCD为正方形，给出下列命题： 不平行的两条棱所在的直线所成的角是 60o 或 90o； 四边形 AECF 是正方形； 点 A 到平面 BCE 的距离为 1.其中正确的命题有（A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个第二部分 （非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9.在复平面内，点 A 对应的复数是 2+i.若点 A 关于实轴的对称点为点 B，则点 B 对应的复数为_.10. 执行右侧程序框图，输入 n=4,A=4,x=2,输出结果 A 等于_11.已知点 在抛物线 上,
4、抛物线的焦点为 F，那么|PF|=_.(,4)Pt24yx12.已知等差数列 的公差不为零，且 ，则 _.na236a12345a13. 安排 6 志愿者去做 3 项不同的工作，每项工作需要 2 人，由于工作需要，A，B 二人必须做同一项工作，C，D 二人不能做同一项工作，那么不同的安排方案有_种.14.已知 是函数 两个相邻的两个极值点，且 在1,x()sin)(0fx()fxFCDABE入A=x+ii-1i=n-1入i0? ,Ax处的导数 ，则 _；32x3()02f1()3f三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.（本小题共 13 分）设ABC 的
5、内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，且 .1os2Ccb（）求角 A 的大小；（）若 ， ,求 的值.21a5bc16.（本小题共 13 分）某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如下表所示：结案(件)编号 项目 收案(件)判决(件)1 刑事案件 2400 2400 24002 婚姻家庭、继承纠纷案件 3000 2900 12003 权属、侵权纠纷案件 4100 4000 20004 合同纠纷案件 14000 13000 n其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等.根据以上数据，回答下列问题.（）在编号为 1、2、3 的收案案件中随机取 1 件，求该件是结
6、案案件的概率；（）在编号为 2 的结案案件中随机取 1 件，求该件是判决案件的概率；（）在编号为 1、2、3 的三类案件中，判决案件数的平均数为 ,方差为 ，如果表中x21S，表中全部（4 类）案件的判决案件数的方差为 ，试判断 与 的大小关nx2S系，并写出你的结论（结论不要求证明）.17.（本小题共 14 分）如图 1，已知四边形 BCDE 为直角梯形，B=90 O, BECD,且 BE =2 CD =2BC=2，A为 BE 的中点.将EDA 沿 AD 折到PDA 位置(如图 2)，连结 PC，PB 构成一个四棱锥P-ABCD. 入2PCDAB入1CDAE B（）求证 ADPB ；（）若
7、PA平面 ABCD.求二面角 B-PC-D 的大小；在棱 PC 上存在点 M，满足 ，使得直线 AM 与平面 PBC 所成(01)PCur的角为 45O，求 的值.18.（本小题共 13 分）设函数 .()eR)axf（）当 时，求函数 在区间 内的最大值；22()gxf(0,)（）若函数 在区间 内有两个零点，求实数 的取值范围.2()1hf,6a19.（本小题共 13 分）已知椭圆 C： .243xy+（）求椭圆 C 的离心率；（）若椭圆 C 与直线 交于 M，N 两点，且|MN|= ，求 m 的值；m127（）若点 与点 在椭圆 C 上，且点 A 在第一象限，点 P 在第二象限，A1(,
8、)xy2(,)Pxy点 与点 关于原点对称，求证：当 时，三角形PAB 的面积为定值.B214x20.（本小题共 13 分）对于数对序列 ，1:(,)ab， ， ， ，记2(,)abLnR,3)iinL， ，其中0fy10,123,mx(0,1)kkkkfybfyaxkn Lm为不超过 的最大整数.(注： 表示当 取ka 10,123,a()kkkxfL kx0,1,2,3，,m时， 中的最大数）1()kbxfy已知数对序列 ，回答下列问题：:2,(4,)Pp（）写出 的值；7)（）求 的值，以及此时的 的值；2(f 12,x（）求得 的值时，得到 ，试写出 的取值范围.（只需写31) 340
9、,1xp出结论,不用说明理由）.丰台区 2016 年高三年级第二学期数学统一练习（二）数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D D A C B A B C二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9. 2-i 10. 49 11. 5 12. 13. 12 14. 1312三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.（本小题共 13 分）解：（）由正弦定理及 1cos2aCb得： ， -2 分1sincoini2AB化简 -4 分s()A解得： ，
10、 -6 分c因为 0o . -1321S分（可以简单直观解释，也可以具体：设 4 类案件的均值为 ，则 .X34x222221()()()()xS234xx21()()()x）22231xS17.（本小题共 14 分）解：（）在图 1 中，因为 ABCD，AB=CD， 所以 ABCD 为平行四边形，所以 ADBC,因为B=90 O,所以 AD BE，当三角形 EDA 沿 AD 折起时，ADAB，AD AE，即：ADAB ，ADPA， -3 分又 ABPA=A.所以 AD平面 PAB， -4 分又因为 PB 在平面 PAB 上，所以 ADPB. -5 分（）以点 A 为坐标原点，分别以 AB，A
11、D，AP 为 x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图. -6 分则 A（0,0,0） ，B（1,0,0） ，C（1,1,0） ，P（0,0,1）.即 ， ， (1,)PC(0,1)(1,0)D设平面 PBC 的法向量为 ，则nxyz，所以 ，取 ，取0,nB,， 1x所以 ；同理求得平面 PCD 的法向量 . (,0)n (0,1)m设二面角 B-PC-D 为 ，所以 , cos2|n所求二面角 B-PC-D 为 120o. zyxP CDAB设 AM 与面 PBC 所成的角为 .，(0,1)(,)(,1)AMP平面 PBC 的法向量 , n,sin122|cos,| |()解得：20,318.
12、（本小题共 13 分） 解：（）当 时， ， -2 分2a2()exg222()e()=-(1)ex xg 与 、 之间的关系如下表：x()x0,11 ,+ 0 -()g增函数 极大值 减函数函数在区间 内只有一个极大值点，所以这个极值点也是最大值点 ，-40,1x分最大值 . 21()eg（）（1）当 时， ，显然在区间 内没有两个零点， 不合题意. 0a2)hx(0,16)0a(2)当 时， ， .(1eax22()e()axaxh当 且 时， ，函数 区间 上是增函数，所以函,6)(),数区间 上不可能有两个零点，所以 不合题意；()hx00当 时，在区间 上 与 、 之间的关系如下表：
13、a(,x2)a2(,)a()hx+ 0 -增函数 极大值 减函数因为 ，若函数 区间 上有两个零点，(0)1()hx,16)则 ，所以 ，化简 . 2,6,(1)0ha281640,0aee2,e,8ln2aa因为 ， 1ln24l1ln618e, e32e所以 .l2综上所述，当 时，函数 在区间 内有两个零点.nea2()1xhf(0,6)19.（本小题共 14 分） 解：（）因为 ，所以 ，离心率 . 3 分2,3ab1c2e（） ，消去 的并化简得 .-4 分2341yxmy278410xm，-5 分2268()6(3)0设 ，则 ，-7 分1(,),MxyN241|77M解得 ，且满
14、足 . 8 分0（）直线 AB 的方程为 ，即 . 1yx10xy点 到直线 AB 的距离 ， .-9 分2(,)Pxy21|d21|ABxy， -10 分211 2121| |ABxySdyx因为 ，1220,0,xy， ，-12 分233(4)(4)yx2211334,4yxyx所以 -13 分1212|21(|)，213)x.所以当 时，三角形PAB 的面积为定值 . -14 分21423（）方法二：设直线 AB 的方程为 ，即 .ykx0y，解得 .20,3kxy21234x.21| |ABkk点 ）到直线 AB 的距离 ，2(,)Pxy2|1kxyd，-1021 2| |ABSdxkxy分因为 ，则 .12120,0,xy0k所以 ， ，34k21243x， -122212yk分 222243()43kx k.12| 3PABSyk 所以三角形PAB 的面积为定值. -14 分20.（本小题共 13 分）解：（） ，当 时, .-4 分110,23(7)maxa0,369f 13x1(7)9f（） ，2 2,4(7)fx111),4,8()f当 时， ,当 时 .2x10,2(a3ma0,36xf 12x1(4)6f当 时， ,即当 时, .1)1x()0f，即当 ， 时 .-102(7)ma9,468f227分（）答： . - -13 分5p
