1、信号与系统 第十章：数字滤波1第十章：数字滤波10.1 线性相位 FIR 滤波器结构、时谱特性FIR 滤波器的流图结构： FIR 滤波器：冲激响应 01hnN ， 已知 ，输入 ，则有：hnx10Nkynhxnk（ 10-1）10NkkYzHXzz（ 10-2） 横向滤波器结构x(n) z1 z1 z1 z1h(0) h(1) h(2) h(3) h(N1) y(n)图 10-1 横向滤波器结构 因果系统。单位样值响应为有限序列，10 0NnnHzhzz， 存 在 域 为必然是 BIBO 稳定。在原点 z=0 处有 N 阶极点，系统有 N 个零点，因此也称为全零点滤波器，或称为滑动平均（Mov
2、ing-Average, MA）结构。线性相位系统的时谱对称性：在 z 平面单位圆上， ， 是数字角频率，则有：jze10j Nj jnzenHhe （ 10-3）是周期函数，周期je2， 。20,12,jmjH， 定理：若 ，为偶/奇对称，则 具有理想 hnNnjHe线性相位特性。信号与系统 第十章：数字滤波2 情况一：偶对称， ，可推得：1hnNn11 2220NnnzHz （10-4 ）于是： 1201cos2Njjj nNeehn （10-5 ）的贡献是 0 或者 ，可见系统为线性相位。10cosNnhn讨论：（1）当 N 为奇数时， 关于 = 偶对称。jHe（2）当 N 为偶数时，
3、关于 = 奇对称，且 =0，可j H见不能作为高通滤波器。（3）群延迟为 ， 为模拟角频率， T 为采样12dNT间隔， 为数字角频率。 情况二：奇对称， ，可推得：hnn1112220NnNnzzHz（ 10-6）11201sin2Njjj neeh （10-7）可见，系统为线性相位。讨论：（1）对于任意 ，引入一个 /2 相移，此时，FIR 滤波器是一个具有理想线性相移的正交移相器。（2）当 N 为奇数时， 关于 = 奇对称，且 =0，同jHeH时又由于 =0，不能作高通，也不能作低通，只能作带通。0（3）当 N 为偶数时， 关于 = 偶对称，且 =0，可见je0不能作为低通。信号与系统
4、第十章：数字滤波3（4）群延迟为 ， 为模拟角频率， T 为采样12dNT间隔， 为数字角频率。FIR 滤波器的实现： 情况一：偶对称， ，N 为偶数，延迟环节 z1 为1hnn奇数。 112021210 NNnnnNNnnnHzzhzhz（ 10-8）直接型结构实现参见图 10-49(a)。要求学生掌握由公式（10-8）画出直接型结构图，并理解减少运算量的道理。 情况二：偶对称， ，N 为奇数，延迟环节 z1 为1hnn偶数。 1 12120N NNnnnHzzhz （ 10-9）直接型结构实现参见图 10-49(b)。 情况三：奇对称， ，N 为偶数或奇数，滤波器h实现结构与上述讨论相同，
5、差别只在于一边的斜线上乘（1） 。零点分布特性： 当 偶对称时， ，令hn1100NNnnnHzhzhz，则 ，1mN1 11 10 0mNmNmn 即： 1Nzz 当 奇对称时，有hn1NHz 讨论： 若 zi 是 H(z)的零点，则 1/zi 也是 H(z)的零点。 若 zi 在单位圆上， 1/zi 也在单位圆上。 若 zj、z *j 为共轭极点对，则 (zj)1、(z *j)1 也为共轭极点对；四个信号与系统 第十章：数字滤波4极点构成一个四阶系统：a+bz 1+cz2+bz3+az4。 若 zp= (实数)，则 zp1=1 也为实数；z p 与 zp1 构成一个二阶系统。线性相位 FI
6、R 滤波器不是最小相位系统。10.2 FIR 滤波器的时窗加权设计方法问题的提出：滤波问题，首先根据频率特性要求确定一个理想的频率响应 ，jdHe例如理想低通滤波器，如图 10-2 所示。而理想滤波器不可实现，因此须根据实际需求确定数字滤波器的频域容差，如式（10-2）所示。图 10-2 滤波器频域容差示意图 112j pj sspHe， ， ， 过 渡 带 宽 度（10-10）这些性能指标只是基本要求。其它要求还有稳定性、因果性、相频特性等约束。确定了容差范围后，滤波器设计问题就成为满足不等式约束的逼近问题。理想滤波器 是周期为 2的周期函数，与理想冲击响应 的关系jdHe dhn为傅立叶级
7、数对，或单位圆上的 z 变换关系。12j jnddnjjehehH（10-11）是双边序列，非因果，因此必须截断，选取时限函数 ，使得dhn wndhnwn（10-12）一般地， ，其单位圆上的 z 变换为01Nwn ， 10j jnnWee由：1+1110 p22jdHe阻带通带 s过渡带信号与系统 第十章：数字滤波5dhnwn（10-13）有： ()1 2jjjdjjHeWHed（10-14）由于 信号非带限，在频域有主瓣，有旁瓣，因此，时窗加权必然wn造成谱扩展和泄露。为了减少谱扩展， 的选择一般应满足两条原则：wn第一， 的主瓣应尽可能窄，第二， 旁瓣电平10Nj jnnWeejWe应
8、尽可能低。显然，这是两个矛盾的模糊性原则。为此，也产生了若干种最佳化原则，最佳逼近时涉及到的有关量有以下几种：能量： 221 EwtdWd能量矩： 22Mt 振幅矩： 2210mdw常用的时窗函数： 矩形窗： =1，wn01N =1 120sinNjjjnWee（10-15）理想情况： j jnddnHh截断以后：2Nj jndnee等价于用有限项傅立叶级数逼近无限项傅立叶级数。矩形窗截断，具有最小均方误差特性，即使： 221jnjndHed（10-16）最小。信号与系统 第十章：数字滤波6主瓣宽度 ；主副瓣比 ，13dB；过渡带 0.94N232N Bartlett 窗（三角窗）：10122
9、 NnwwnnN， ，（10-17）频域： 10twtother， ， 24sinWj（10-18） Hanning 窗： 12cs011nnNN， （10-19）2owttt， 2sinWj（10-20） Hamming 窗：0.546cos011wnnN， （10-21） .tt，2208.6sinWj（10-22） Blackman 窗：240.45cos0.8cos0111nnwn NN+， （10-23）2. .ttt ， 22sin0.160.844Wj （10-24） Kaiser 窗： 信号与系统 第十章：数字滤波720 011nwnIInNN， （10-25）0Ix是 零 阶
10、 第 一 类 修 正 贝 塞 尔 函 数 ：468220 221!3! mnxxxIx =1+是窗的形状参数，一般取 49。 大，则主瓣宽度宽，旁瓣低。2001twtIIt， 220220sin ih IWjI， ， （10-26）Kaiser 窗是最佳时窗函数，它使能量比 Q 最大。2jjedW（10-27） 为主瓣宽度。Kaiser 窗使主瓣具有最大能量， 。2六种窗函数性能比较表：窗函数 主瓣宽度 最大旁瓣电平 过渡带宽度 最大阻带起伏矩形 2（2 /N） 13dB 0.9（2 /N） 21dB三角形 4（2 /N） 25dB 2.1（2 /N） 25dBHanning 4（2 /N）
11、31dB 3.1（2 /N） 44dBHamming 4（2 /N） 41dB 3.3（2 /N） 53dBBlackman 6（2 /N） 57dB 3.5（2 /N） 74dBKaiser ( = 9) 6（2 /N） 67dB 5.7（2 /N） 90dB注意：（1）上面给出的是时窗特性，而非滤波器特性，滤波器频率特性为 。jjdWeH（2）最大旁瓣电平的降低与最大阻带起伏的减少，是以主瓣展宽和过渡带变宽为代价的。设计时，根据具体要求，确定窗函数及序列长度。（3） 具有对称性，可用来设计线性相位 FIR 滤波器。wn（4）最大旁瓣电平和最大阻带起伏均与 N 无关；主瓣宽度与过渡带宽度随
12、N增加而减小。信号与系统 第十章：数字滤波8设计步骤：（1）给定 ，求出jdHedhn（2）根据允许的过渡带宽度，选择窗函数及相应序列长 N（3） dhnw（4）计算 jjjeWe10.3 IIR 滤波器的冲激响应不变设计方法引言：IIR 滤波器往往采用递归（具有反馈支路）结构实现。常用的方法是借助模拟滤波器的间接设计方法。先设计相应的模拟滤波器，再转换为数字系统。具体步骤如下：1） 根据给定的数字滤波器指标要求，确定相应的模拟滤波器性能指标；2） 综合一个满足指标要求的模拟滤波器的 H(s)；3） 采用适当的变换方法确定 H(z)；4） 实现 H(z)。冲击响应不变方法： 数字滤波器单位样值
13、响应等于模拟滤波器的冲击响应的均匀采样值 tnTh 考虑 的极点为 P1、P 2、P 3、P NshtL12kAAHpssps 其中： RekkkpH理想采样时， 0STnhtthtnT（10-28 ）回顾第八章结论 ，可知，只要已知系统1kNpTkAHzzeZ函数的极点及其部分分式展开的系数，则可完全确定对应的数字系统函数，从而可根据 实现数字滤波器。z 的频率响应：由第八章另一结论z信号与系统 第十章：数字滤波9SSTHshthtL121Sk kjHsjkTT有： S Skjj（10-29 ）由第八章所述 Z 域与 S 域关系，有1lnSzTHzhnTHs（10-30 ）取 ，则又有jze
14、12jkejkT（10-31 ）由 P-W 准则，带限不可实现，因此， 是非带限的。由 H(s)按Hj照冲击响应不变法得到的数字系统的频率响应是周期的，周期为 ，2ST而且存在频域混迭现象，因而造成频响失真。S 平面到 Z 平面的多对一映射关系，是混迭现象的原因。此外，由（10-31）式可知，系统增益与采样间隔 T 有关，为此，通常取 T h(n)作为数字系统的冲击响应。设计举例给定数字滤波器特性如下，求 H(z)。0.2.3dB通 带 为 ： ， 带 内 允 许 起 伏 -1；阻 带 为 ： ， 阻 带 内 衰 减 5。解：用冲击响应不变法。（1）令采样周期 T=1，则模拟滤波器指标为： 0
15、.2.3dB通 带 为 ： ， 带 内 允 许 起 伏 -1；阻 带 为 ： ， 阻 带 内 衰 减 5。（2）由指标要求，采用 Butterworth 滤波器，设截止频率为 c2021152020.2 1.3 03NCHjj通 带 ： 阻 带 ： 由上两方程解得：N=5.8858 ，取 N=6，代入(1)式得 c =0.7032 rad/s信号与系统 第十章：数字滤波10将 代入 Butterworth 函数，有 。极点满足js212CHs方程 ，共有 12 个极点 ，1221jCkse 210jkse:，其中 6 个在左半平面上，分别对应 k=3,4,5,6,7,8：， ，712380.j
16、912470.3jse。取此六个极点构成 H(s)：56jse6611CrrAHss1160.435.28sAj225 7s334 .91.60sHsj（3） *66111k kkssskAAzzezez1121220.2945.45.8603.607.3.zz （4） c 由(1)式求得，阻带略有 “富余” ，可防止混迭的不良影响。XXXXXXXXXXXX j0.290.451.30 z1z10.70x(n) y(n)2.141.151.07 z1z10.371.860.631.00 z1z10.26图 10-3 12 个极点分布信号与系统 第十章：数字滤波11图 10-4 六阶 IIR 滤
17、波器结构图10.4 IIR 滤波器的双线性变换设计方法冲击不变方法存在频域混迭现象，其原因盖出于多对一映射。双线性变换法也是一种间接设计方法。首先确定滤波器 ，然后利用双Hs线性变换建立 ，使二者的谱特性相似。Hz通过微分方程与差分方程的对应关系，可以导出 s 域与 z 域的单值映射关系： 12zsT1zs（10-32 ）这就是所谓的双线性变换，参见第二版教材 10.6 节（10-83） 、 （10-84）两式。可见，双线性变换上非线性变换。假设已知 ，通过（10-32）建立 ：HsHz12zsTz单值映射关系令 ，由（10-32）式，有 ，即sj2jz2Tz（1）s 平面虚轴， ，单位圆01
18、z ， ， 。s z 平 面 虚 轴 ， 由 ， 一 对 一 映 射 到 平 面 单 位 圆 ， -（2）s 平面左半开平面， ，单位圆内。01信号与系统 第十章：数字滤波12（3）s 平面右半开平面， ，单位圆外。01z因此，双线性变换不改变系统的稳定性，也不会引起混迭。单值映射关系s 平面虚轴 与 z 平面单位圆 为一对一映射，因此，令 ，则jjzesj121Tjtgjj 2t（10-33 ） 数字系统频率 模拟系统频率0ps0图 10-5 双线性变换下的数字频率与模拟频率的关系可见，模拟系统谱经双线性变换变成数字系统谱。在低端近似线性，在高端被压缩。这意味着幅频压缩，相频非线性畸变，这种
19、压缩效应将使二者的通带边界 与阻带边界 出现较大差异。PS因此，在确定 的 与 时应预畸变，根据所要求的数字系统的HsPS和 来确定 和 ，再变换回来，可得到希望的 和 。PSPS PS， 。2ptgT2StgT设计举例（与前面的例子条件相同）给定数字滤波器特性如下，求 H(z)。0.2.3dB通 带 为 ： ， 带 内 允 许 起 伏 -1；阻 带 为 ： ， 阻 带 内 衰 减 5。SP|H(j)|H(ej)|信号与系统 第十章：数字滤波13解：用双线性变换。（1）预畸变：对 ，0.2P0.64982pPtgT，.3S1.St（2）由指标，选 Butterworth 滤波器，设截止频率为
20、c201120250.649810.6498NCHjj 通 带 ： 阻 带 ： 由上两方程解得：N=5.3044 ，取 N=6；求 c 时，由于无混迭，因而按阻带计算，结果会使通带指标有富余，即由上面第二个式子，得c =0.7662 rad/s。（3）由 N=6， c =0.7662 rad/s，按 ，求得212CHs，712380.60.983.740jsej，94751j。1256.jsej 取此六个极点构成 H(s)：663*6322111 ReCCkkCkkkkssss 1 6112121220.738.7. .0.9.Tzzs zHz z 由 ， 有 ：即为所求。与冲击不变方法相比，双线性变换方法得到的幅频特性有更快的下降特性，这是由于双线性变换方法将 j单值映射成单位圆，将处的六阶零点映射到 的六阶零点。s1z本章简要介绍了数字滤波器的主流设计方法，旨在为后续课程做信号与系统 第十章：数字滤波14一些简单的必要的铺垫。The End
