1、人教版 数学必修 4 第三章 三角恒等变换课题：两角差的余弦公式湖南师大附中 吴菲三维目标：知识目标：通过让学生猜想、探索、发现并推导“两角差的余弦公式” ；了解单角与复角的三角函数之间的内在联系；通过变式训练，加深对两角差的余弦公式的理解；培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质。能力目标：运用两角差的余弦公式，会进行简单的求值、化简、证明；体会化归、数形结合等数学思想在数学当中的运用，使学生树立联系与转化的辨证唯物主义观点，提高学生分析问题、解决问题的能力。情感目标：本节课通过创设问题情景，使学生体验科学探索的过程，感受科学探索的乐趣，激励科学探索的勇气，培养学生的创新精神和良
2、好的团队合作意识。 重点难点：教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式教学难点：探索过程的组织和适当引导。教学过程：一、走入生活引入：同学们，在第一章我们学习了同角三角函数式的变换，今天我们将一起探究一种包含两个角的三角函数式的变换：两角差的余弦公式。先让我们走入生活，看一个例子：例：如图所示,一个斜坡的高为 6m,斜坡的水平长度为 8m,已知作用在物体上的力 F 与水平方向的夹角为 60,且大小为 10N ,在力 F 的作用下物体沿斜坡运动了m,求力 F 作用在物体上的功 W解： W = )0cos(S= 30 )6s(提问：1、解决问题需要求什么?2、你能找到哪些与 有关的条件?3、能否利用
3、这些条件求出 ？如果能，提出你的猜想)60cos(4、怎样检验这些猜想是否正确？生活实例引入，体现数学与实际生活的联系，增强学生的应用意识，激发学生的学习热情，同时也让学生体会数学知识的产生、发展过程鼓励学生发挥想象力，大胆6m8mFS人教版 数学必修 4 第三章 三角恒等变换二、合作探讨从特殊情况去猜测公式的结构形式令 cos)cos()cos(, 则 ：令 in22则 ：分析：可见，我们的公式的形式应该与 均有关sincs和系？他们之间存在怎样的代数关系呢？会不会是“” 、 “” 、 “ ”、“”？请同学们根据下表中数据，相互交流讨论，提出你的猜想用具体值检验猜想的合理性令 则 30,12
4、 90cos)3120cos()cos(三角函数 in3in三角函数值 22221学生再举特例进行验证 （各抒己见）利用几何画板，对更多的情况加以验证。三、提出猜想： sincos)cos(师：要让猜想更有说服力，我们还要进行理论证明四、理论证明：引导探究：研究三角函数问题，我们常用的一种方法就是利用单位圆，在单位圆中，角的余弦值可用余弦线来表示我们先来讨论最简单的情况：为锐角，且、 方法一：（利用三角函数线）证明：在单位圆O中，作 ，OXP1交单位圆于点 ，作 ，1P1则 过点P作PM 垂直x 轴于M， ，过点X AOP于 点1，过点 ，则：BOMA于 点作点 CABP于 点， 作 猜测，然
5、后再去验证其合理性，增强学生探索问题、挑战困难的勇气依据特殊情况进行猜想往往是人们探索问题的第一步鼓励学生对各种可能的情况进行探索，培养他们的交流合作意识，在探索的过程中获得成就感引导学生运用数形结合的思想给出证明加强新旧知识的联系使学生从直观角度加强对差角公式结构形式xyPP1MBOAC sincos11人教版 数学必修 4 第三章 三角恒等变换， ，且cosOAsinPOXPAC1sincossincoOBM （ 为锐角，且 ）sicos)cos(、 方法小结：在整个证明过程中，我们通过几何的手段，得到了一个代数公式，这运用到了在数学探究过程中一种重要的思想方法：数形结合提问：当 取任意角
6、的时候，结果又会怎样呢？（展示下一张幻灯、片） ，大家思考一下 （给学生思考的时间，要求学生说出自己的思考结果若学生说出来要给予及时的肯定，若没能说出则作为课后思考作业） 方法二：（利用向量）启发思考：我们来仔细观察猜想的结构，等式的左边是差角的余弦，我们在什么地方见到过类似结构？ （引导学生发现，提出证明方法）（学生：向量的数量积！）证明：在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O，以 Ox 为始边作角 ，、它们终边与单位圆 O 的交点分别为 A、B，则：= ， =A)sin,(co)sin,(co)si,(i,|s = sincos = （0 ）)cos(方法小结：对比一下两种证明方法，你认
7、为哪种更简单？向量在我们数学探究过程中是一种非常简洁有效的工具，在今后的学习中我们还将继的认识让学生经历用向量知识解出一个数学问题的过程，体会向量方法的作用统一对“恒等”要求的认识运用分类讨论思想y-1-111B )sin,(co )sin,(coA x0A人教版 数学必修 4 第三章 三角恒等变换续领悟向量在数学探究过程中的魅力！思考：1、 作为两向量的夹角，有没有限制条件？2、如果 不在， 这个区间内，我们的结论还会成立吗？怎样给出证明？（展示幻灯片，引导学生找到 与夹角 之间的关系）推广完善：令 为 、 的夹角，OAB 当 时，则,0sincoscs)cos( 当 时，则存在,， 使 得
8、、 Zmkk22或无论哪种情况，都有 cos)cos(in)cos( 即小结：两角差的余弦公式： sincs)cs(（其中 为任意角，简记为 ）、 )(C思考：请同学们仔细观察一下公式的结构，说说公式的结构有什么特点？应怎样记忆？（对学生的回答给予及时肯定）五、知识运用1、解决引例中的问题2、学以致用：已知 是第三象限角，,135cos),2(,54sin求 )cos(（运用公式时应根据角的范围，正确确定两角正、余弦值的范围）3、公式的逆用： 的 值求 15sin2315cos24、拓广延伸：已知 是第三象限角，,co),0(,4in要求学生对公式的形式加以分析，体会数学中的对称美1、学生运用
9、所学解决实际问题2、利用变式突破学生在运用公式过程中的易错点3、对逆用公式解题加深认识。4、活用公式，加深学生对公式中两角形式变化的认识，强化整体思想人教版 数学必修 4 第三章 三角恒等变换求 （此题根据学生的接受情况，作为后备练习）)cos(5、公式活用： cos20,14)cos(,71s ） ， 求，（、且 （此题根据学生的接受情况，作为后备练习）六、回顾总结师：我们一起来回顾总结一下今天这节课的收获1、公式探究的一般步骤：特殊猜想证明2、在运用两角差的余弦公式时应注意：（1）根据角的范围，确定两角正、余弦值的正、负（2）适当逆用公式，可达到化简计算的目的（3）灵活选取两角的形式，活用
10、公式七、 课后思考适当变换两角差的余弦公式中两角的形式，例如取 ，你能得到哪些结论？八、作业：必做：P 104 2、3、4 选做： 课后思考为下节课做铺垫)cos( ,54cos,5ini求人教版 数学必修 4 第三章 三角恒等变换两角差的余弦公式教案说明湖南师大附中 吴菲一、 授课内容的数学本质与教学目标定位：两角差的余弦公式这节课的主要内容是公式的探究及应用，它揭示了单角三角函数与复角三角函数之间的内在联系，在学生的认知世界中，开辟了三角函数研究的新领域针对学生已有的认知结构，我对教学目标进行了如下定位：1、知识与技能目标：学生在前两章的学习内容中，学习了单角三角函数以及向量的相关知识；初
11、步掌握了一些同角三角函数关系式；对三角函数的定义也由锐角三角函数扩展到任意角的三角函数；会借助单位圆分析有关三角函数的问题本节课的知识技能目标定位在掌握公式的两种证明方法上：数形结合法和向量法；学会运用分类讨论思想完善证明；学会正用、逆用、变用公式；学会运用整体思想，抓住公式的本质在新旧知识的冲撞过程中，让学生自主地对知识进行重组、构建让每个学生在头脑中再生教材，形成属于自己的知识结构体系、过程与方法目标：发展心理学的研究成果表明，学生的思维发展呈现一定的阶段性，高中学生在学习时有时仍要借助于具体运演思维甚至是前运演思维，具体经验对他们学习新的知识仍是必不可少的所以在情景引入时，以学生学习向量
12、数量积时物理学中力做功的例子为引例，创设问题情景，调动学生已有的认知结构，激发学生的问题意识，展开提出问题、分析问题、解决问题的学习活动，让学生体会从“特殊”到“一般”的探究过程；不断激发师生之间、生生之间的互动，让学生在探究过程中体会化归、数形结合等数学思想在数学探究过程中的运用在公式的证明过程中，培养学生反思的好习惯，打开学生多角度、多方面分析问题的视野；在公式的理解记忆过程中，让学生发现数学中的简洁、对称美；在公式的运用过程中，通过对题目的一题多解、一题多变，培养学生严谨的思维习惯和自我纠错能力 3、情感、态度与价值观目标：高中数学课程标准中指出：学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿
13、和练习，高中数学课程还应提倡自主探索、动手实践、合作交流、阅读交流等学习数学的方式这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程因此，将情感、态度与价值观目标定位如下：体验科学探索的过程，鼓励学生大胆质疑、大胆人教版 数学必修 4 第三章 三角恒等变换猜想，培养学生的“问题意识” ，使学生感受科学探索的乐趣，激励学生科学探索的勇气，培养学生的创新精神和良好的团队合作意识 通过对猜想的验证，对公式证明的完善，培养学生实事求是的科学态度和科学精神，感受运用新知解决实际问题的成就感二、 学习内容的基础及今后作用：两角差的余弦公式是新课标人教版数学必修四第三章第一
14、课时的教学内容，是本模块第一章锐角三角函数和第二章平面向量相关知识的延续和拓展，也是本章节中推导两角和、差，倍角、半角等三角恒等变换公式的基础，可以说是起着承上启下，串联全书的作用在教学内容的设计上，与物理（功的定义） 、哲学（透过表面寻求本质）等相关学科相联系，扩大学生对知识的理解角度和运用范围三、 教学诊断分析：学生最大的困惑在于如何得到公式在之前的学习过程中, 课堂上已基本形成了对知识大胆质疑,合作探讨的学习氛围在本节课的教学中学生希望通过自己的努力收获成功!教学重点：两角差的余弦公式的探究和应用教学难点：两角差的余弦公式的由来及证明,引导学生通过主动参与,独立探索,自己得到结果.四、
15、教法特点及预期效果分析：教法特点：从知识的认知程序上看，老师看问题从整体到局部，而学生却是从局部到整体。本节课尝试将“带着知识走向学生”的接受式教学模式转变为“带着学生走向知识”的探究式教学模式，充分尊重学生的主体地位设置了从生活走入知识，从特殊到一般，从猜想到理论证明的探究过程，在学生自主构建知识体系的过程中，设置了多条成功路径，将学习主体由学生群体转移到学生个体上，让学生在头脑中主动地对知识进行自主构建，再生课堂，达到提高认识，举一反三的作用鼓励学生多角度、多方面思考问题，为突破知识难点，在课件中设置多个链接，将学生可能出现的解答思路直观地呈现在学生面前，用多种方法的对比呈现，激发学生互相
16、评价的动机，实现预设与生成的和谐统一本节课的教法采用了“一个主题两种教学”的设计模式一个主题：公式探究与应用，两种教学：显形教学（知识能力教学） 、隐性教学（情商培养） ，利用学生已有知识提出新问题，巧借学生对未知领域的好奇和自我展现的欲望，集思广益，多角度分析问题，强化团队合作意识，完善知识体系，剖析部分学生出现的错误，培养学生严密的思维习惯，突破易错人教版 数学必修 4 第三章 三角恒等变换点，尝试自我提高的喜悦，实践两种教学相互促进的人性化教学理念 开放课堂，在课堂上营造民主、开放、平等的教学氛围，注重教学评价的多元性，将单一的教师评价转换为学生自主评价和同伴合作评价；将简单的结果评价上
17、升为对过程的评价；将一味的知识评价拓展为能力评价，突出学生的主体性，体现学生的主体意识，实现显形教学与隐性教学的双重评价，为全面发展学生打下基础利用思维的多元性，引发师生、生生之间的讨论，实践证明用学生自己的语言、自己的理解、自己的表述方式更能引发学生之间的共鸣，更能达到对已有知识进行重组、自主构建新知识的教学目的。作为老师，要以更高的视角从学生的眼中看问题，和学生一起征服尚未被他们所知（甚至是尚未被老师所知）的领域，享受在征服过程中随时可能得到的意外惊喜。不需要害怕学生犯错，因为谬误本身也有它的认识价值，也是一种很好的课堂教学资源，主要是看老师怎样正确的引导和评价。设计探究报告，帮助学生整理
18、、构建知识体系在重、难点突破，作业布置、课后思考等环节，都给学生留出空间，既可以实现课堂知识的再生，又可以为下节课做预习准备；既符合学生探索思维的连续性，又培养学生的创新意识和实践探索能力 现代信息技术在数学的教学过程中运用越来越广泛，能够利用计算机进行一些简单的数学实验也将成为将来数学教学的一个发展趋势，本节课利用几何画板，通过计算机技术，给学生提供一种验证猜想合理性的途径预期效果:基于上述分析，我们希望通过这节课：、让学生在掌握两角差的余弦公式探究方法的基础上，能够自我总结形成公式探究的一般方法、激发学生的探究欲望，能够独立或合作提出推导其它三角恒等式的方案，形成对三角恒等变换的本质认识，加深对灵活运用公式的理解、培养学生的“问题意识” ，在探索的过程中学会将“知识问题化” ，大胆、合理地提出猜测，通过证明、完善，最终达到将“问题知识化”的目的、让学生在与同伴的合作探讨过程中，学会运用数学语言进行交流，学会辨证地看问题，学会倾听、学会发现同伴的优点，学会进行信息整合，能从同伴的发言中提出自己的观点
