1、 正态分布广西梧州高级中学 王建莉教学目的：1了解正态分布的意义。2能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质。3了解正态总体 N(， 2)转化为标准正态总体 N(0,1)的等式及其应用。x)(F教学重点：1.正态分布曲线的性质、标准正态曲线 N(0，1)。2.正态总体 N(， 2)转化为标准正态总体 N(0,1)的等式及其应用。x)(教学难点：1.抽象函数 (x 0)=p(x0)表示总体的标准差，下面我们来研究一下这两个参数在图像上有怎样的影响呢？1、 表示总体的平均数（它不就是前面学习的随机变量的？-期望，而期望是反映总体分布的？-平均水平） ， （回头看频率分布直方图）大家思考一下，这个总体
2、分布的平均数在什么位置呢？最高点那个位置，为什么呢？因为规定的尺寸为 25.40mm，总体在它的左右取值的概率最大，尺寸过大或过小毕竟占少数，所以图像才会呈现“中间高，两头低”的特征。下面大家看一下 flash (改变 的值，肯定学生的回答，得出 1、2、3 条性质)用几何画板画出三条正态曲线：即=-1，=0.5；=0，=1；=1，=2，其图象如下图所示：得出正态曲线的前四条性质：曲线在 x 轴的上方，与 x 轴不相交。曲线关于直线 x= 对称，且在 x= 时位于最高点。当 x 时，曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向它无限靠近。以上便是参数 对正态曲线的影响2、
3、下面我们再分析若 是定值，即对称轴一定， 决定着曲线的什么？(0)是总体的标准差(总体标准差是衡量总体波动大小的特征数，反映了总体分布的集中与离散程度)（再用几何画板改变的 值，让学生总结规律，得出正态曲线的第五条性质） 越小，曲线越“瘦高” ，表示总体的分布越集中，那集中在什么位置？-平均数 附近，同理： 若 越大，曲线越“矮胖” ，表示总体的分布越分散，越远离平均数； 当 一定时，曲线的形状由改变 的值确定。 越大，曲线越“矮胖” ，表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦高” ，表示总体的分布越集中。结论：正态分布由 、 唯一确定，因此记为：N （， 2）（利用图像、性质解题）【例 1】
4、 （2007 全国 2 理 14）在某项测量中，测量结果 服从正态分布N（1， 2） （0） ，若在（0，1）内取值的概率为 0.4，则在（0，2）内取值的概率为 。解在某项测量中，测量结果 服从正态分布 N（ 1， 2） （0） ，正态分布图象的对称轴为 x=1， 在（0，1）内取值的概率为 0.4，可知，随机变量 在(1， 2)内取值的概率于 在(0，1) 内取值的概率相同，也为 0.4，这样随机变量 在(0，2)内取值的概率为 0.8。 （5）当 =0，=1 时，相应的函数解析式大大的简化了：。其图像也简单了，关于 y 轴对称，我们把这样的正态总Rx,e21)x(f2体称为标准正态总体，
5、相应的曲线称为标准正态曲线。由于标准正态总体 N(0，1)在正态总体研究中有非常重要的作用，人们专门制定了标准正态分布表以供查用（P65）（在课件上，调出标准正态分布表，教学生查阅）1、在这个表中，相应于 x 0 的值 (x 0)是指总体取值小于 x0 的概率即 (x 0)=p(xx0) 。 （如图）(xP2、利用标准正态曲线的对称性说明等式 (x 0)=1-(-x 0)3、 标准正态总体在任一区间(x 1，x 2)内取值概率 p =(x 0)-(x 1)的(21x几何意义。【例 2】 求标准正态总体在(-1，2)内取值的概率。解：利用等式 p=(x 0)-(x 1)有 p=(2)-(-1)=
6、 (2)-1-（1）【三】 课堂练习1（2007 湖南卷）设随机变量 服从标准正态分布 ，已知(0)N，(.96)0.25则 =（ C ）|1.)PA0.025 B0.050 C0.950 D0.975【分析】 服从标准正态分布 ，(01)N， (|1.96)(.1.96)P(1.96)(.)2.205【五】新的问题，激发兴趣我们通过标准正态曲线的对称性以及标准正态分布表，可以求出标准正态总体 N(0，1)在任一区间(x 1，x 2)内取值的概率 P =(x 0)-(x 1)(21x我们知道任何一对不同的 ， 就有一个不同的正态总体，对于一般的正态总体 N(， 2)，在任一区间(a,b)内的取
7、值概率如何进行计算呢?可否也通过查标准正态分布表来求出它呢?- 回答是肯定的，否则制定了标准正态分布表就失去了它的意义。2.正态总体 N(， 2)在任一区间取值的概率计算(点拨思路，计算应用)。一般的正态总体 N(， 2)均可以化成标准正态总体 N(0，1)进行研究可以证明，对任一正态总体 N(， 2)，取值小于 x 的概率 F( )=P(x )00x转化公式为： 00)(xF向学生指出，等式 的严格证明要用到积分变换的知识，它有待在今后的学习中解决。最后，可向学生展示公式 的应用。x)(F【例 3】 已知正态总体 N(1，4)， 求 F(|x|3)。(4)学习正态分布有什么意义？ 服从正态分
8、布的总体特征一般地，当一随机变量是大量微小的独立随机因素共同作用的结果，而每一种因素都不能起到压倒其他因素的作用时，这个随机变量就被认为服从正态分布像产品尺寸这一类典型总体，它的特征是：生产条件正常稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定，而且不存在产生系统误差的明显因素所以它服从正态分布下面，大家一起来找找实际生活中那些现象都服从或近似服从正态分布？生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标、测量的误差（如电子管的使用寿命、零件的尺寸等）在生物学中，同一群体的某种特征（如 08 年广西区高考考生体检的身高、体重、肺活量） ，在一定条件下生长某农作物的产量等，在气象
9、中，梧州今年五月份的平均气温、平均降雨量等，两江的水位等在生活中，某一时间段的车流量、人流量，同学的考试成绩，喝的饮料等总之：正态分布广泛存在于各个领域当中，在概率和统计中都占有重要地位【五】课堂小结1.本节课我们主要学习了正态分布的若干性质，服从正态分布的总体的特征，如何使用标准正态分布表 ，要求同学们能知道正态曲线的大致形状以及从图象上直观得到正态分布的性质，并能利用标准正态分布表及相关等式进行计算。2.本节课介绍了如何利用标准正态分布表计算一般正态分布在任一区间取值的概率的方法。这种方法体现了化归的思想方法。对公式 ，应x)(F在理解的基础上加以运用。【三】 课堂练习1、设随即变量 服从
10、正态分布 ， 求 。 （参考数据：)4,2(N)42(P， ）;8413.0)(97.0)2(6915.0.2、 在 2007 年的高考中，某省全体考生的考试成绩服从正态分布 N（490，80 ，若)2该省计划本科录取率为 0.4 ，则本科录取分数线可能划在多少分？ （参考数据：）6.0)25.(A500 分 B505 分 C510 分 D 515 分【六】布置作业：1、 （2007 浙江卷 5）已知随机变量 服从正态分布 ，2()N，则 （ A ）(4)0.8P (0)PA B C D，.16.32.680.842.（2006 年湖北卷）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从
11、正态分布 .已知成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生有 12 名.,7N（）试问此次参赛的学生总数约为多少人？（）若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的（部分）标准正态分布表 00xPx0x0 1 2 3 4 5 6 7 8 91.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.88880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98
12、340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.985716 点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。解：（）设参赛学生的分数为 ，因为 N(70，10
13、0)，由条件知，P( 90)1P（ 90）1F(90)1 1 (2)079(10.97720.228.这说明成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生人数约占全体参赛人数的 2.28，因此，参赛总人数约为 526（人） 。028.1（）假定设奖的分数线为 x 分，则P( x) 1 P（ x） 1F(x)1 0.0951，)107(x526即 0.9049，查表得 1.31，解得 x83.1.07(故设奖得分数线约为 83.1 分。教案说明广西梧州高级中学 王建莉本教案是人教版全日制高级中学教科书数学第三册（选修） 1.5 节“正态分布”的教学设计。一、本节内容的数学本质与教学目标定位本节的教学
14、内容属于统计中的极其初步的知识，它主要是用来描述具有“中间高、两头低、左右对称”特征的一些连续性随机变量的统计规律。限于学生的数学知识基础，很多问题难以作出严密的推理论证，故在教学活动中只对正态总体及其分布的意义和性质作初步的介绍，着眼于突出正态分布、标准正态分布、正态曲线、标准正态曲线等重要概念的实际意义，突出利用这些概念处理现实问题的基本思想方法和实际应用。因此，在教学过程中，应把握好突出实际应用，而对理论要求不必过于深究和拔高的原则。二、学习本节内容的基础和今后的用处本节内容的基础来源于三方面：初中的“统计初步” ，本章所涉及的“用样本估计总体”的方法，现实生活中大量的所谓呈正态分布或近
15、似呈正态分布的总体的现象。正态分布是概率统计中的最重要的一种分布，一方面，正态分布是自然界中最常见的一种分布，另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布可以用正态分布来近似描述，另外一些分布于有可以通过正态分布来导出，因此在今后的学习和理论研究中具有十分重要的地位。三、教学诊断分析本节的难点有三个，一是对总体密度函数解析式中的两个参数对曲线的影响难以理解，主要是对学生而言，期望和标准)0(,差的概念比较抽象；二是标准正态分布中对抽象函数的理解；三是非标准正态分布转化为标准正态分布)()(00xP公式的应用。四、教法特点和效果从学生关心、感兴趣的问题及原有的认知结构出发，在老师的点拨、启发下，学生通过观察，联想，猜测，分析出 的作)0(,用，总结出正态分布的性质，并会利用性质来判断生活中的一些随机现象是否服从正态分布，从而利用它解决相关问题。教学过程：以实际问题为线索，在实际应用中感悟数学的思想与方法，通过多媒体辅助教学，师生共同合作，探索和解决问题，来完成本节教学。教学思想：既注重知识的获得、能力的提高、学生参与意识的培养，又注重实际应用教学方法、手段：启发、引导式教学。以教师为主导，学生为主体，问题和实际应用为主线，课堂教学生动活泼，教学效果明显，基本达到教学预定目的。
