1、多元微积分 A （下） 试卷解答 第 1 页 共 5 页 多元微积分 A（下）试卷解答（本卷考试时间 120 分钟）一、填空题（每小题 4分，共 20分）1. 设曲线 为圆周 ，则曲线积分 L21xy2()LxydsA22 设在全平面上，曲线积分 与路径无关，则常(2sin)3coLxkd数 3 . k3向量场 的散度22ln,cosFxyzzx 22lncos.divFyzx4数项级数 的和 1114680()n 145. 幂级数 在区间 上的和函数 .05nx(5,)xs5二、单项选择题（每小题 3分，共 18分）1设有向曲线 为 将曲线积分 化为定积分，结果L,:01,yx(,)Lfxy
2、d是（ B ）.A . ; B. ; 130(,)fxds 130(,)fC. ; D. .1 49xdx2设物质曲面 的质量分布密度为三元连续函数 ，则该曲面片的质量(,)yz（ A ）.MA . ; B. ; (,)xyzdS (,)xdC. ; D. xyD yzy3设曲面 是双曲抛物面 被两平面 和 所截下的部分，取上2zxy0侧，则对坐标 的曲面积分 （ D ）.,d多元微积分 A （下） 试卷解答 第 2 页 共 5 页 A . ； B. ； C. ； D. .22324. 下列级数中收敛的是（ C ）.A. ; B. ;1ln()1()nnC. ; D. .1()234n 132
3、n5. 在下列级数中,（ B ）是余弦级数.A ； 1sin()!nnxB ；2222cos3co43x C ； D .1(s)nxe5cos2in3cos4in157xx 6 设 是以 为周期的函数，在一个周期内， ()f2 21,0,()fx则 的傅里叶级数在点 处收敛于（ A ）.()fxxA. ; B. ; C. ; D. .222三、 （5 分）设曲线形构件 的方程是 ，求cos,xtin,ytz)20(t曲线 的长度. 解 长度 , (2 分)Lds由曲线方程， （3 分）22xyzdtt（4 分）0s(5 分)四、 （5 分）设质点在力 的作用下沿曲线 从点2(,)Fxyij:s
4、inLyx爬升到点 ，求力 所做的功 .(0,)A(,1)2BW解 (2 分)WLxdy多元微积分 A （下） 试卷解答 第 3 页 共 5 页 (3 分)20(sinco)xxd(4 分)320(5 分)31.24五、 （5 分）计算曲面积分 ，其中 为平面 在第一卦限dSzy)(1zyx的部分解 ： ， 1zxy0,1:yxyDx, , xy3dS（3 分）dSz)(xyDy)1(（4 分）xd100)(3. （5 分）六、 （5 分）利用格林公式计算曲线积分 ，其dyxedxyeyyL )sin()cos(中 为圆 的上半部分，从点 到点 . L12yx )0,1(A0,1B解 设 ,
5、从 到 1， 0:x（3 分） DyyL dxede 2)sin()cos(1（4 分）1sinco11 xxyy（5 分）i2)sin()cos( dyxedeL七、 （5 分）计算曲面积分 , 为立方体dxyzzy22 中的全表面外侧:01,01xyz解 （3 分）dxyxdz222 zv6（5 分）1046多元微积分 A （下） 试卷解答 第 4 页 共 5 页 八、 （5 分）对于数列 ，设 3，求幂级数 的收敛区间.na1limna0(1)nnax解 令 ， ，1tx0()nnx0nt（3 分）11lili3,()nnnaa的收敛半径是 3， （4 分）0nat由 得 的收敛区间 （
6、5 分）31,x0(1)nnax(2,4).九、 （7 分）判别级数 是否收敛? 如果收敛，通过推导，指出是123()n绝对收敛还是条件收敛.解 绝对值级数 是 的 级数, 发散， （4 分）213n1p_又 单调递减，且 ， （6 分）23nu0limnu因此， 收敛，且为条件收敛 （7 分）123()n十、(10 分 )求幂级数 的收敛区间与和函数，并求数项级数0(1)nnx的和.012n解 ，收敛区间 （3 分）1limli1,naR(1,)和函数 （5 分）()Sx0()nnx（7 分）10()n10()n多元微积分 A （下） 试卷解答 第 5 页 共 5 页 ， ， （8 分）21
7、()()x(1,)x令 ，得 . （10 分）12x042ns十一、 （10 分）验证 是全微分方程，求出该方程满足初()0xxyedy始条件 的特解 ，并将 展开为 的幂级数.0xy ()x解 , 且2,xxPeQ,xPQey原方程是全微分方程； （2 分）2(2)(),xxxedye通解为 ， （4 分）2xyeC由 求得 特解为 ； （5 分）0x0,2xye它的幂级数. （10 分）2200,(,)!nnxxye十二、 （五分）利用无穷级数的收敛性证明数列极限 2!lim0.n证 对于正项级数 （2 分）12!,n因为 （4 分）11()!1limli li2,()nnnnu e 所以级数 收敛，因此， （5 分）12!n!lim0.n
