1、用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题 教案授课人：贵州省凯里一中数学组 梁恩焕 邮编：556000学情分析1、部分学生因对向量加法和减法的不熟练，在用向量表示几何关系时存在困难；2、学生虽然学过向量共线的条件和平面向量基本定理的内容，但现阶段对向量的认识还不够深刻，自主应用向量解决数学问题的意识还没有树立起来；3、虽然学生通过对平面向量基本定理这一节例 5 的学习，学会了在三点共线的条件下如何用向量表示几何关系的方法，但因时间关系，这一结论并没有去挖掘它的应用。应对策略1、课前要求学生自己复习向量的加法和减法、向量共线的充要条件和平面向量基本定理有关知识；2、在上完5.3 的平面向量基
2、本定理后，布置教材 P110.第 7 题和一些用向量表示几何关系的练习，让学生能较熟练地用向量表示几何关系，为学习本节课的知识作准备；3、通过探求三点共线的向量结论中 的几何意义，加深学生对这一结论的认识与理解，逐步增强学生应用向量的意识。知 识 与 技能目标1、能熟练地用向量表示几何关系；2、能说出三点共线的向量结论中 的几何意义；3、模式识别：能应用三点共线的向量结论求平几中的共线线段的比值问题；4、培养学生应用向量解决数学问题的意识。过 程与方 法目 标1、复习三点共线的向量结论；2、启以、引导学生发现三点共线的向量结论中 的几何意义；3、巩固与应用，增强学生应用向量解决数学问题的能力。
3、情 感态 度与价值观学会合作与交流；在独立思考的基础上获取知识，获得成功的体验；感受向量应用的广泛性。教 学重 点三点共线的向量结论的应用教 学难 点 应用向量解决数学问题的意识教 具准 备多媒体课件注：为了简单起见，平面几何简称为平几；师指教师，生指学生。教 学 过 程（师生活动） 设计理念和实施方法创设情景师：上节课我们学习了三点共线的向量结论（如右图）A、B、C 三点共线的充要条件是：有唯一实数对 、，使 且OAB+=1；有何意义？这就量本节课需要解决的问题。电脑显示本节课课标：1、探求 的几何意义；2、应用.1、 “+=1”可提问学生，上课伊始适当的问题能让学生注意力转移到课堂上来；2
4、、板书本节课课题：用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题探索分析问题已知如图，A、B、C 三点共线，O 为线段 AB 外一点。1、 B2、 AC师：请同学们完成上面两个问题（请学生说出答案）生：1、 、 ；2、 、57572师：请说出 1 的系数比 生：师：结合图形，你对这一比值有什么新的发现没有？生：恰好等于线段 值。CBA师：再次发挥同学们的想像能力，上述线段能否从 1 式的向量表达式中得到？怎样得到的？生：能；将 1 式各向量的终点联结就能得到。师：系数之比与用向量表达式写出的线段比位置上有何关系？生：交叉关系。师：从以上过程你对此有什么猜想？生：系数之比等于（由向量表达式写出的）
5、 “交叉线段”长之比？师：若 A、B、C 三点共线 且 +=1OCAB我们是否能作这样的猜想： = 。师：大家算一下 2 的系数比，你又有什么发现？生： = ，可写成 =| |= .57BCA571、电脑显示结论2、这节课的知识较抽象，过多使用电脑会给学生理解和掌握知识造成障碍。因此，板书对于学生理解知识是很有好处的。3、两个问题的答案如下： 527OCAB2BC4、让学生经历操作 观察 猜想这一过程。5、这节课的重点是知道结论并会应用，证明的技巧性较强。对高一学生在教学中有时采用“重形式轻实质”的方法能让学生更好地学习本节课的主要知识。因此，证明过程让有兴趣的学生课外完成。BAOCBAOC5
6、2师：由此我们可得猜想 = 。这一猜想是正确的。它的证明留给同CBA学们课外完成，当你完成了这一结论的证明后，完全有理由相信自己对向量的认识会提高一个层次！师：综上所述，我们有下面结论：A、B、C 三点共线的充要条件是有唯一实数对 、，使 ，其中OCAB+=1； = 。B师：这一结论的右边表示什么的比值？这两线段有何位置关系？左边又表示什么的比值？生：线段；两线段共线（或三点共线） ；向量表达式的比值。师：这些特点告诉了我们什么？（略停）求解三点共线的线段的比值问题，可将其转化为求三点共线的向量结论中的系数。我们所学的向量知识可与平几知识联系起来！6、得到结论后重要的是引导学生分析结论的特点，
7、能模式识别。巩固练习应用 1-想一想1、已知平面上不同的四点满足： ，145CMAB试指出 M、A、B 的关系。2、已知如右图 1，若 ，32则 + CACB3、已知 ， 134OA4、已知 ， .P85MNP应用 2-做一做例 1、已知如右图，AE=2EC,ABC 的中线 AM 交 BE 交于点 G，求 的值。AG思路分析：要求的是 AG 与 GM 两线段的比值，且两线段是共线的，故可考虑转化为用本节课的结论。解：A、G、M 三点共线，可设 1 (1)2BBMABC又 EC2E、 、 三 点 共 线 ， 3 =tBGBG与 共 线 ， 可 设 1t2t23ABAB答案：1、三点共线2、 35
8、CMAB3、4、 8AB CM图 1GMAB CEt=13 = 12544=51AGBGBM引导学生总结解题思路：（1）由 A、G、M 三点共线用结论表示 ；（2）由 A、E、C 三点共线用结论表示 ；BE(3)将 与 转化成用相同的基底表示； B(4)根据两向量 、 共线，通过比较对应向量G的系数转化为方程组求值。例 2 已知如下图，G 为ABC 的重心，过点 G 的直线分别交边 AB、AC 于点 E、F ，且 ，AB（ ） 。 求证： 。 AFC013思路分析：从图中可看到 E、F、 G 三点共线，可试着去找适当的基向量表示 ，些时作辅助线再找AG一个与 共线的向量就是自然的事了！解：连结
9、 AG 并延长交 BC 于点 M，则 AM 为 BC 的中线。 E 、G、F 三点共线，可设 (1)AGtEtAF又 ， ABC()tBtC21()32MA13A 1(1)3tt解题过程的回顾与总结是调动学生参与课堂，也是一次学生自我提高的的过程。例题用多媒体显示学生练习教师巡视，对学生练习中出现的问题给予指导。答案：4：1课外引申 用本节课所得到的结论证明第 23 届 IMO 试题（见课外作业）给学有余力的学生展示自己的平台的机会！FE GAB CM课堂小结1、探索得到了三点共线的向量结论中 的几何意义；2、应用这一结论解决平几中的一类求值问题；3、应用结论来求值时，选择适当的基底将几何关系
10、用向量表示，再用向量共线来建立方程组进行求解；4、本节课仅是根据同学们现在具备的知识讲了向量的一个应用。实际上，随着同学们知识的积累，你会发现向量的应用是很广泛的，这节课只想起到一个抛砖引玉的作用，课后同学们可去网上查询有关这方面的知识！课堂小结是使知识系统化；作业布置课堂练习：已知如图 ，求 的值。2ABDFCEC课外作业（用试卷打好发给学生）1、已知如右图，AE=2EC,ABC 的中线 AM 交 BE 交于点 G，求 的值。BGE2、 （第 23 届 IMO 试题）如图，M、N 分别是正六边形对角线 AC、CE上的点。若 B、M、N 三点共线，且 ，求 的值。ACNE1、作业的布置是检查学
11、生对本节课所学知识的掌握情况；2、作业的布置要分层次，给不同层次的学生获得进步的机会。这样才能真实全面的了解学生的掌握情况。答案：1、3：22、 注：授课人：贵州省凯里一中数学组 梁恩焕 中学一级教师 联系电话：13017014172CMFEDBANGMAB CEFDCAEB用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题教案说明凯里一中数学组 梁恩焕 邮编：556000 向量是数与形的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简捷于一身，在解决平面几何问题时能起到奇特的作用。在用向量解决平面几何问题时，首先就是要将几何关系转化为向量表示（即选择适当的基底） ，然后再借助向量运算来解决。因此，本节课
12、实际就是让学生学会：在三点共线条件下，知道将几何关系转化为向量问题来解决。本节课的教学目标是按三维目标来确定的。它包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面。知识与技能目标有 4 点，它们是相互联系层层递进的关系。目标 1 是基础，目标 2 是内容，目标 3 是获得技能，目标 4 才是这节课的根本意图。我国新一轮课程改革提出：改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极的学习态度，使获得知识与形成技能的过程成为学会学习和形成价值观的过程。这就要求我们的教学过程应更多的考虑学生，要让他们在课堂上参与适应的探索并能在这一过程中感受成功的喜悦。本内容是学生学习了向量的一些基本概念、向量的加
13、法与减法、向量共线的充要条件、平面向量基本定理和三点共线的向量结论后进行的一节探究式的习题课。平面向量基本定理这一节的例 5 学生知道了这样一个结论：A 、B、C 三点共线的充要条件是：有唯一的实数对、，使 ，其中 +=1。并且通过上节课的学习，学生还知道了在三点OCB共线条件下写向量表达式的一种方法：如右图,图 1 图 2 分母 m+n 代表线段 AB 的份数，即右边两向量终点表示的线段，m 代表线段 CB 的份数，即左边向量 和右边向量 两向量终点表示的线段，n 代表线段 CA 的份数，即左边向量OCB和右边向量 两向量终点表示的线段。系数 m、n 与它对应的线段恰好是交叉关系；当A分点在
14、线段的外部时，添加一个负号，其位置由系数和为 1 确定。在三点共线的条件下学生能较为熟练的写出向量表达式作为基础来进行这节课的教学。BAOCmnmnOCOAOBnmm+nnm对 的几何意义的探求分四个阶段进行：先由 1、2 两个特例得猜想： = ；再由检 CBA验特例 2 的系数完善猜想，得猜想 2：| |= ；然后指出这一猜想的正确性（不证明） ；最CBA后通过课堂的应用 1、应用 2 和课堂练习来巩固知识。本节课最关键的是教师引导学生得猜想 1 和猜想 2，这也是本节课最难的。因为这一过程思维跳跃性很强，要反复结合向量表达式和图形，稍有不慎，学生的思维链一断，这节课就变得毫无意义了！结论|
15、 |= 在课堂CBA上没有证明，从这一意义上说失去了数学的理性思维，少了很多的“数学味” ，但对高一的学生来说却是很必要的（要知道，正是因为有时我们过分追求理性思维才让学生产生 “数学就是繁和难的演绎与推理”这种想法，让他们畏惧数学！） 。有时这种“重过程轻实质”的方法，能减轻学生的学习负担，不会因技巧性强、冗长的证明过程冲淡本节课的主题。本节课的最终目的是要让学生感受到一点向量应用的广泛性，并希望能逐步增强学生应用向量解决数学问题的能力。若着眼点仅是这一节课，探索 的几何意义的过程对高一学生而言有些难，甚至可以说没必要。但若将这节课放到整个高中阶段这根知识大链上来看又是怎样的呢？仅从以下两个
16、例子就可见向量在中学数学知识中的地位了：1、向量与三角知识的融合。在推导正弦定理、余弦定理均用到了向量知识。但是在教学过程中这一点还没有引起我们足够的重视，甚至有些教师对教材中用向量方法证明正弦和余弦定理弃之不用，课堂教学中仅仅是为了得到一个结论，证明方法仍是沿用以前的老教材中的方法。应该说这是一种教学资源的浪费！正弦和余弦定理究竟要解决的是什么问题？初中解决角与边有哪些方法？高中与角和边有关的又有哪些知识？通过这种引导，让学生将所学的向量的数量积与三角形知识联系起来，这样既能让学生掌握这种证明方法，又能让学生树立应用向量的意识；2、向量在立体几何中的应用。这几年来高考对立体几何知识大题的考查
17、都是能建立直角坐标系，大题的得分率比以前大大提高。但这也给部分学生（甚至于我们的教师）留下了这样一些印象：只要会建立直角坐标系就行了；立体几何对逻辑推理和空间想像能力的要求降低了；向量在立体几何中的应用关键是能建立直角坐标系等等。比如高二数学教材下 B 第51 页例 2，题如下：已知在一个 的二面角的棱上有两个点 A、B，AC、BD 分别是在这个二面角的两个面60内，且垂直于 AB 的线段，又知 AB=4cm, AC=6cm, BD=8cm,求 CD 的长。对于高三的同学来说也很少想到用向量方法来解决的。在不建立直角坐标系的条件下用向量来证明线线平行、线面平行，求线面角、二面角的平面角这方面的
18、意识学生就更弱了！培养学生应用向量的意识不是一朝一夕就能实现的，而要把这种意识转化为一种能力那就更是需要一个长期的、不断训练的过程了。我从最不理想的角度考虑过这节课的效果，若有学生在上课时由于注意力不集中导致后面的内容听不懂了，若他看到用向量方法能这样简捷的解决平面几何问题时，他只要能这样想：哦，原来还可以这样呀！我就觉得是我这节课的收获了！从这个方面来看，这节课是及时的也是需要的。在三点共线的条件下让学生写向量表达式都能准确的写出来，但是在探求 的几何意义时还是应特别的注意.因为这需要在向量表达式和图形中反复观察，这也是学生最容易出问题的地方。此时应该放手让学生自己先探索，教师再去引导，这样
19、的效果会更好的，若探索这个环节处理得不好，后面的内容就会变成老师的独角戏了！另外，学生容易出错的是在例 1中求出了 的值，是代入 还是代入 求比值。解(1)BGABM12GBAC题到此时可再回顾三点共线的向量结论的形式特点，通过课堂上 3 个题目的和课外 1 题（课外作业的第一题是要求每个学生必做的，2 作为选做）共 4 个题的训练是能正确区分这一点的。根据新课改的教育教学理念，在课堂上探究知识时让学生经历：操作实践 观察 猜想、归纳，这是一种以学生为主，还课堂于学生的教学活动。根据本节课的内容特点，授课时是按照这样一种模式进行的：创设情景 数学活动 猜想、归纳 巩固、应用和拓展。在数学活动的过程中让学生知道了这样一种解决问题的方法：特例 观察 猜想 验证、完善猜想 归纳 证明。通过合作交流的方式探求知识，增强了他们应用向量解决数学问题的意识。当然，这节课是第一节向量应用课，其中 的几何意义是我的新发现（或许早就有资料介绍了，只是我孤陋寡闻吧！）有些语句描述学生以前没有听到过，学生课堂回答问题不够准确，我也没敢放手的让学生去探求，这是我最大的遗憾！注：作者联系电话：13017014172
